【新课标Ⅰ卷】2020年全国统一高考数学(文)模拟试题(含答案)
2024年全国高考新课标Ⅰ卷数学真题(附详细答案解析)
2024年全国高考新课标Ⅰ卷数学真题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A =x ∣-5<x 3<5 ,B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =()A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D .{-1,0,2}2.若2z -1=1+i, 则z =()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知向量a =0,1 ,b =2,x ，若b ⊥b -4a，则x =()A.-2B.-lC.1D.24.已知cos α+β =m ,tanαtanβ=2，则cos α-β =()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3, 则圆锥的体积为()A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x +ln (x +1),x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sinx 与y =2sin 3x -π6的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数f x 的定义域为R ,f x >f x -1 +f x -2 ,且当x <3时，f x =x, 则下列结论中一定正确的是()A.f 10 >100B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值X=2.1, 样本方差S 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 。
2021年高考考前模拟(新课标Ⅰ卷)文科数学答案
2021年高考考前模拟【新课标Ⅰ卷】文科数学答案1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 BDBCDCDCDCBB1.【答案】B【解析】因为{}{}24022A x x x x x =-<=-或，2{|30}{|30}B x x x x x =+<=-<<，所以(3,2)A B ⋂=--.故选B 2.【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 3.【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B 4.【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===,故选择:C. 5.【答案】D【解析】根据图象知ABCE 大概在一条直线上，故排除D 后相关性最大. 故选：D. 6.【答案】C 【解析】如图，22||1(2)3OE +||1236BD =-， ||43AC =∴四边形ABCD 的面积为16431232⨯⨯故选：C ． 7.【答案】D【解析】因为sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以 ()22sin 2sin 333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可知函数()f x 的最小正周期2π，A 正确；当56x π=时，52sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线56x π=对称，B 正确；当3x π=时，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 正确； 因为52sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，()5326f f ππ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以D 错误．故选：D ． 8.【答案】C【解析】()()33332log log 9log log 36443314111log 42log 444333f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133log 36log 36143439--=⨯=⨯=故选：C 9.【答案】D【解析】A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立， 所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立， 所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D 10.【答案】C【解析】由等差数列的性质及求和公式得，11313713()1302a a S a +==>,11515815()1502a a S a +==<，故选C. 11.【答案】B 【解析】由120PF PF ⋅=得12PF PF ⊥，由勾股定理得(22221212100PF PF F F a +===，由双曲线的定义得128PF PF a -=，22221212126421002a PF PF PF PF a PF PF ∴=+-⋅=-⋅，所以21218PF PF a ⋅=，则12PF F ∆的面积为2121992PF PF a ⋅==，0a >，解得1a =. 故选：B. 12.【答案】B【解析】因为,4AB AC AB AC ⊥==，故△ABC 为等腰直角三角形且BC =E 为BC 的中点.故E 为△ABC 的外心，故OE ⊥平面ABC .因为PA ⊥平面ABC ，所以//OE PA ，故,,,P A E O 共面. 连接PE 交OG 于H 点，过O 作OD EH ⊥，垂足为D . 因为,AB AC BE EC ==，故AE BC ⊥，在直角三角形PAC 中，2,4PA AC ==，故25PC =，同理25PB =， 因为BE EC =，故PE BC ⊥，而PEAE E =，故BC ⊥平面GAEO ，因为BC ⊂平面PBC ，故平面GAEO ⊥平面PBC .因为平面GAEO ⋂平面PBC EH =，OD EH ⊥，OD ⊂平面GAEO ， 所以OD ⊥平面PBC .因为O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，故OG PA ⊥， 因为PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，故PA AE ⊥， 在平面PAEO 中，因为PA AE ⊥，OG PA ⊥，故//OG AE ， 故四边形AGOE 为矩形，且1OE GA PG ===，1222OG AE BC ===. 又因为90,,PGH EOH PG OE PHG EHO ∠=∠=︒=∠=∠， 故PGH EOH ≅△△，故122OH GH ==. 在直角三角形OEH 中，126312OD ⨯==+. 故选：B.13.【答案】92【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x y z +=，2y x z =-+， 显然当平行直线过点3(2A ，3)2时，z 取得最小值为：39322+=； 故答案为：92．14.【答案】1(,2)(2,)2-∞-⋃-【解析】因为a 与b 的夹角是钝角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线， 因为14202a b λλ⋅=-<⇒<， 又当a 与b 共线时242λλ-=⇒=-，所以若a 与b 的夹角是钝角，则1(,2)(2,)2λ∈-∞-⋃-. 故答案为：1(,2)(2,)2-∞-⋃- 15.【答案】0x y -=【解析】由()xf x xe =，得()x x f x e xe '=+，所以切线的斜率0(0)1k f e '===， 所以切线方程为00y x -=-，即0x y -=. 故答案为：0x y -= 16.【答案】11或13【解析】因为()1111nn n a a n ++=-+-，当n 为奇数时，11100n n S S n +--=->即9n ≤，所以2468101214S S S S S S S <<<<>>>.当n 为偶数时，11120n n S S n +--=->即12n ≤， 所以135********S S S S S S S S <<<<<=>>.通过比较只需比较11S 和10S 的大小即可， 又601a <<，所以111310S S S =>.6n =时，()676761161=6=6a a a a +=-+-∴-，， 7n =时，()7878761171=4=4=2a a a a a +=-+-∴--+，， 8n =时，()8989861181=4=4=6a a a a a +=-+-∴--，，9n =时，()910910961191=1=1=5a a a a a +=-+-∴--，， 10n =时，()1011101110611101=2=2=7a a a a a +=-+-∴--，， 又601a <<，所以110a >所以11101110S S a S =+>. 所以1113S S =最大. 故答案为：11或1317.【解析】（1）由题可知：[]130,140分数段的参赛学生频率为：0.005100.05⨯=，∴2==400.05N 总（人）. ∵成绩在[)100,120分数段的参赛学生频率为：()0.0450.02510=0.7+⨯，∴该校成绩在[)100,120分数段的参赛学生人数为：400.7=28⨯（人）.（2）由图可知：90分及以上的学生成绩的众数为110120=1152+（分）.设90分及以上的学生成绩的中位数为x . ∵0.01100.02510=0.350.5⨯+⨯<， ∴()1100.0450.350.5113x x -⨯+=⇒≈， ∴90分及以上的学生成绩的中位数为113分. 90分及以上的学生成绩的平均数为：0.0110950.025101050.045101150.015101250.00510135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 112.7113=≈∴90分及以上的学生成绩的众数为115，中位数约为113，平均数约为113.18.【解析】（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+， 则2sin cos sin A B A =，在△ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =.（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-， 又5a c +=，所以163ac =，所以△ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19.【解析】（1）如图所示：取AC 的中点O ，连接OB ，OD ， 因为DA DC =，所以OD AC ⊥.又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ， 所以OD ⊥平面ABC ， 所以OD OB ⊥.因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 所以OB OC =，所以OBD OCD ≅△△， 所以DB DC =，且M 为BC 的中点，所以BC DM ⊥. （2）16D ABC V DO BC AB -=⋅⋅=所以33D ABM V -=-=. 在ABD △中，12ABD S =⨯=△ 设M 到平面ABD 的距离为h ，则13ABD D ABM S h V -⋅=△，解得h =所以M 到平面ABD. 20.【解析】（1）(1)()xa x f x e-'=，由0a <，可得(1,)x ∈+∞时，()0f x '>；(0,1)x ∈时，()0f x '< ∴函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减．1x ∴=时，函数()f x 取得极小值即最小值()1a f e=． （2）对a 分类讨论：若0a =，则()0f x =，不存在0x R ∈，使得()013f x e<-成立； 若0a >，则111113af a e e -⎛⎫-=-<-<- ⎪⎝⎭，满足题意； 若0a <，由（1）可知，函数()f x 的最小值为()1a f e=，∴13a e e <-，解得13a <-．综上可得，实数a 的取值范围是()1,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．21.【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得22222121914c a a b b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2a =，b =1c =．所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）12λλ+为定值．由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 因为直线l 过点()1,0F ，所以直线l 的方程为()1y k x =-． 令0x =，可得yk =-，即()0,E k -．联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，易知11x ≠，21x ≠，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+． ()11,EM x y k =+，()22,EN x y k =+，()111,MF x y =--，()221,NF x y =--．由1EM MF λ=，2EN NF λ=，可得1111x x λ=-，2221x x λ=- 所以()()121212121212122112211111x x x x x x x x x x x x λλ-++=+=+-=------++． 将2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+代入上式，化简可得1283λλ+=- 22.【解析】(1)由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πππ2cos 2cos cos 2sin sin 333ρθρθρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin 3ρθθ==,由于cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，则直线l的直角坐标方程为3y x =曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）由于直线l 的倾斜角为π6，直线PQ 的倾斜角为π3， 则直线l 与直线PQ 的夹角为π6，设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣.由于3||3|34222d πααα⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==≥，当且仅当7π2π4k α=+，k ∈Z 时等号成立，因此PQ ∣∣的最小值为323.【解析】（1）当2a =时，()332f x x x =++-，即()41,1,25,12,41,2,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩当1x ≤-时，不等式等价于：414x -->， 解得54x <-，所以54x <-； 当12x -<<时，不等式等价于：254x +>， 解得12x >-，所以122x -<<； 当2x ≥时，不等式等价于：414x +>， 解得34x >，所以2x ≥； 所以，不等式的解集为51,,42⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意知，当1x >-时，3334x x a x ++->+，即1x a ->恒成立，根据函数y x a =-的图象易知，1,11,a a <-⎧⎨--≥⎩解得，a 的取值范围为(],2-∞-.。
2023年高考数学真题-新高考Ⅰ卷数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题-新高考Ⅰ卷数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=（）A．{−2，−1，0，1}B．{0，1，2}C．{−2}D．{2}2．已知，则=（）A．−i B．i C．0D．13．已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（）A．λ+µ=1B．λ+µ=−1C．λµ=1D．λµ=−14．设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）A．(−∞，−2]B．[−2，0)C．(0，2]D．[2，+∞)5．设椭圆的离心率分别为.若，则（）A．B．C．D．6．过点(0，−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）A．1B．C．D．7．记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差10．噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限间值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）A．B．C．D．11．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).14．在正四棱台中，，则该棱台的体积为. 15．已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16．已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上.点在轴上，，则的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高.18．如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，，.（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求.19．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.20．设等差数列的公差为，且，令，记分别为数列，的前项和.（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求.21．甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则，记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求.22．在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.答案解析部分1．【答案】C【知识点】交集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】∵，∴，∴，即，则。
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做一、单选题1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）A ．60B ．80C ．90D ．100【答案】A 【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以101091015(2)602⨯=⨯+⨯-=S . 故选：A2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+=∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A 【分析】 显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得112n n a a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +<11122nn n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】1,n n a a +24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负【答案】C 【分析】根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，()0f x >求解.【详解】因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为117x ±=同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ22⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．176【答案】B 【分析】化简n a 可得22cos3n n a n π=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】22222cos sin cos sin cos33333n n n n n n a n n n n πππππ22⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n k =()k N *∈ 时，()233k a k =；31n k =-()k N *∈时，()231312k k a --=-；32n k =-()k N *∈时，()232322k k a --=-()()()223212333231592223k k kk k a a a k k ----++-=-+=-所以()()18166530912669174222S +⨯=+++-⨯=⨯-= 故选：B二、填空题13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________． 【答案】10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】11本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】20212022【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，试卷第12页，共12页因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.故答案为：36.13。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C ．D．22．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p ＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）（x +）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年高考文科数学试卷全国Ⅰ卷(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x^2-3x-4<0\}$，$B=\{-4,1,3,5\}$，则$A$ 为A。
$ \{-4,1\}$B。
$\{1,5\}$C。
$\{3,5\}$D。
$\{1,3\}$2.若 $z=1+2i+i^3$，则 $|z|$ 等于A。
$1$B。
$2$___$D。
$3$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\dfrac{1}{2}$C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$D。
$\dfrac{5+\sqrt{10}}{2}$4.设 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，在 $O$，$A$，$B$，$C$，$D$ 中任取 $3$ 点，则取到的 $3$ 点共线的概率为A。
$\dfrac{1}{5}$B。
$\dfrac{2}{5}$C。
$\dfrac{4}{5}$D。
$1$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\dots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
汇编全国质检试卷整理不易，感谢点赞收藏2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)与答案(新课标Ⅰ)
当 b = 2 时，f(a) - f(b2) =-1 < 0，此时 f(a) < f(b2)，有 a < b2，所以 C、D 错误 .
故选：B.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x + y - 2 ≤ 0, 13. 若 x，y 满足约束条件 x - y - 1 ≥ 0, 则 z = x + 7y 的最大值为 ______________.
型的是 ( )
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + blnx
【答案】D
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 y = a + blnx.
故选：D.
6. 函数 f(x) = x4 - 2x3 的图像在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 ( )
求解一次不等式 2x + a ≤ 0 可得：B = x|x ≤-a2 .
由于 A ∩ B = x| -2 ≤ x ≤ 1 ，故：-a2 = 1，解得：a =-2.
故选：B.
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为( )
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
【答案】B
【详解】设 f(x) = 2x + log2x，则 f(x) 为增函数，因为 2a + log2a = 4b + 2log4b = 22b + log2b
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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．2 D ．225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．学,科网 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 20．（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 21．（12分）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()11f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()01x ∈，时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A8．B9．B10．C11．B12．D二、填空题 13．-7 14．6 15．22 16．23三、解答题17．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n-=，所以a n =n ·2n -1．18．解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32又23BP DQ DA ==，所以22BP =． 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =P 13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin 451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．19．解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．20．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．21．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为 22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．。