山东省枣庄市第八中学东校区2019-2020学年高一3月月考(网络测试)数学试题 Word版含答案
山东省枣庄市第八中学东校区2019届高三数学10月单元检测(月考)试题(文科)含答案
山东省枣庄市第八中学东校区2019届高三数学10月单元检测（月考）试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1. 复数2ii-=( ) A. -1-2iB. -1+2iC.1-2iD.1+2i2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=15,S 5=55,则数列{a n }的公差是( )A. B.4C. -4D. -33.已知m ,l 是直线,α,β是平面,给出下列命题:①若l 垂直于α,则l 垂直于α内的所有直线; ②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线;③若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β; ④若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,则m ∥l.其中正确的命题的个数是( ) A.4B.3C.2D.14.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则= ( )A.-a 2B.-a 2C. a 2D.a 25.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足:3a 1-+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( )A.9B.12C.16D.366.已知向量()()1,1,3,//a b m a b m =-==，若，则A ．2-B ．2C ．3-D ．37.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. +1B.+3C.+1D.+38.实数x ,y 满足则z=4x+3y 的最大值为( )A.3B.4C.18D.249..已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4),若λ为实数,(b +λa )⊥c ,则λ的值为( )A. 311-B. 113-C.12D.3510.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =,则a 2 017=( ) A.2 016B.2 017C.4 032D.4 03411.设实数m ,n 满足m>0,n<0,且=1,则4m+n ( )A.有最小值9B.有最大值9C.有最大值1D.有最小值112. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(34)n n S n n S ---22(3n -)0n -=，n ∈N *. 则数列{}n a 的通项公式是（A ）32n a n =- （B ）43n a n =- （C ）21n a n =- （D ）21n a n =+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量 ，则a 与b 夹角的大小为_________.14设公比为q (q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则a 1=15如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．M=a b16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若， 4,5AC BC ==，，则此球的表面积等于 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,S n =2a n +k ,等差数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n =n 2. (1)求k 和S n ;(2)若c n =a n ·b n ,求数列{c n }的前n 项和M n .18. 在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，向量()(=2sin m A C +u r，向量2cos 2,12cos 2B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且//m n u r r .（I ）求角B 的大小；（II ）若2sin sin sin A C B =，求a c -的值.19. 已知(3sin ,2)m x =，2(2cos ,cos )n x x =，函数．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角,,A B C 和边,,a b c 满足()2,2,sin 2sin a f A B C ===,求边c ．111C B A ABC -3=AB 21=AA20. 在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如左图).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如右图),已知D是AB的中点.求证:(1)CD∥平面AEF;(2)平面AEF⊥平面ABF.21.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上一点.(1)当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF;(2)若FD⊥B1D,求三棱锥B1-ADF的体积.22. 已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1- ,其中n∈N*.(1)设b n=221na-,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.2019届高三单元测试 数学（文）答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) ABCDD CADAB CA二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.6π 14. -1 15 . 85 16. 29π三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. .解 (1)∵S n =2a n +k , ∴当n=1时,S 1=2a 1+k.∴a 1=-k=2,即k=-2. ∴S n =2a n -2.∴当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2. ∴a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1. ∴a n =2a n-1. ∴数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列.∴{a n }=2n . ∴S n =2n+1-2.(2)∵等差数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n =n 2,∴当n ≥2时,b n =T n -T n-1=n 2-(n-1)2=2n-1.又b 1=T 1=1符合b n =2n-1,∴b n =2n-1.∴c n =a n ·b n =(2n-1)2n . ∴数列{c n }的前n 项和M n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n , ① ∴2M n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n +(2n-1)×2n+1,②由①-②,得-M n =2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n-(2n-1)×2n+1=2+2×-(2n-1)×2n+1,即M n =6+(2n-3)2n+1. 18.19. 解：（I ）()223sin cos 2cos f x m n x x x =⋅=+2cos21x x =++2sin(2)16x π=++.........................3分1sin(2)16x π-≤+≤，则函数()f x 的值域为[]1,3-；. ........................5分（II ）()2sin(2)126f A A π=++=，1sin(2)62A π∴+=， (6)分 又132666A πππ<+<，5266A ππ∴+=，则3A π=，.........................8分由sin 2sin B C =得2b c =，已知2a =，.........................10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得c =．.........................12分20. 证明 (1)取AF 中点M ,连接DM ,EM.∵D ,M 分别是AB ,AF 的中点, ∴DM 是△ABF 的中位线, ∴DM BF.又CE BF ,∴四边形CDME 是平行四边形, ∴CD ∥EM.又EM⊂平面AEF,CD⊄平面AEF,∴CD∥平面AEF.(2)由题意知CE⊥AC,CE⊥BC,且AC∩BC=C,故CE⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC,∴CE⊥CD.∴四边形CDME是矩形.∴EM⊥MD.在△AEF中,EA=EF,M为AF的中点,∴EM⊥AF,且AF∩MD=M,∴EM⊥平面ABF.又EM⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABF.21. (1)证明因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为B1B⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F.在矩形B1BCC1中,因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F,所以∠B1FD=90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD=D,所以B1F⊥平面ADF.(2)解由(1)可得AD⊥平面B1DF,因为D是BC的中点,所以CD=1,AD=2.在Rt△B1BD 中,BD=CD=1,BB1=3,所以B1D=.由FD⊥B1D,易得Rt△CDF∽Rt△BB1D,所以,所以DF=,所以·AD=×2.22. 解 (1)∵b n+1-b n===2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n.由b n=,得a n=.(2)由c n=,a n=,得c n=,∴c n c n+2==2,∴T n=2+…+=2<3,依题意要使T n<对于n∈N*恒成立,只需≥3,即≥3,解得m≥3或m≤-4.又m为正整数,∴m的最小值为3.。
山东省枣庄市第八中学东校区2021-2022高一数学3月月考(网络测试)试题.doc
山东省枣庄市第八中学东校区2021-2022高一数学3月月考（网络测试）试题(时间100分钟 ，满分100分) 2021.3.1 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共45分1.已知平面向量a (1,1),(1,1)b ==-，则向量13a-=22b ()A.(-2，-1)B.(-2，1)C.(-1，0)D.(-1，2)2. 计算(1+i)(2+i)= ( )A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i3.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设i 是虚数单位，复数2iiα+-是纯虚数，则实数α= ( )A.2B. 12C. 1-2D.-25.在△ABC 中，A=3π，BC=3，AB=6，则C 等于 ()A.3或44ππB.34π C.4πD.6π6.已知向量a,b 满足a 5,b 4==，b 61a -=，则a 与b 的夹角θ等于( )A.56πB.23πC.3πD.6π7.在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于 ( )A.1B. 12C. 13D. 238．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则∆ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能 9.（多选）已知a (1,2),(3,4)b ==，若a kb +与-a kb 互相垂直，则实数k= ( )A.5B. 5-5C. -5D.55三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 10.已知向量a(2,6),(-1,)b λ==.若a∥b ，则λ=________.11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a=13，b=3，A=60°，则边c =________.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32sin（+）=242B π，且a 2c +=，则△ABC 周长的取值范围是________.四、解答题(本大题共2小题，共40分.13.(20分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin（)8sin 2BA C +=.(1)求cos B ； (2)若a 6c +=，△ABC 的面积为2，求b.14.(20分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =(sin A ，sin B)，n =(cos B ，cos A)，m n =sin2C.(1)求角C 的大小. (2)若sin+sin B 2sin A C=，且·(-)=18，求边c 的长.高一数学单元检测参考答案2021.3.11. 【解析】选D.因为a=(1，1)，b=(1，-1)，所以a-b=(1，1)-(1，-1)=-=(-1，2).2. 【解析】选B.依题意得(1+i)(2+i)=2+i2+3i=1+3i.3.【解析】选C.z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i，故复平面内表示复数z=i(-2+i) 的点(-1，-2)位于第三象限.4. 【解析】选B.因为==是纯虚数，所以2a-1=0且a+2≠0，所以a=.5．【解析】选C.BC=a=3，AB=c=，由正弦定理，得sin C==，又a=3，c=，所以a>c，即A>C，故C为锐角.所以C=.6．【解析】选B.由|b-a|=可得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61，所以a·b=-10，所以cos θ==-=-，所以θ=120°.7.【解析】选D.因为=+=+，所以2=+，即=+.故λ+μ=+=. 8.解析 答案 C∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，∴∠A 的平分线所在的向量与BC →垂直，所以△ABC 为等腰三角形．又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3.故△ABC 为等边三角形． 9. 【解析】选BD.由已知a =(1，2)，b =(3，4)，若a +k b 与a -k b 互相垂直，则(a +k b )·(a -k b )=0，即a 2-k 2b 2=0，即5-25k 2=0，即k 2=，所以k=±.10. 【解析】因为a ∥b ，所以-1×6=2λ，所以λ=-3. 答案：-311.【解析】a 2=c 2+b 2-2cbcos A ⇒13=c 2+9-2c×3×cos 60°，即c 2-3c-4=0，解得c=4或c=-1(舍去). 答案：412.【解析】因为sin =，且角B 为三角形的内角，所以B=，所以B=.又b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-3ac=4-3ac ≥4-=1，当且仅当a=c=1时，取等号，所以b ≥1，所以a+c+b ≥3；又a+c=2>b ，所以a+c+b<4，所以△ABC 周长的取值范围是[3， 4). 答案：[3，4)13.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin(A+C)=sin B=8sin2，故sin B=4(1-cos B)，上式两边平方，整理得17cos2B-32cos B+15=0，解得cos B=1(舍去)，cos B=.(2)由cos B=得sin B=，故S△ABC=acsin B=ac，又S△ABC=2，则ac=，由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4，所以b=2.14.【解析】(1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A=sin(A+B)，对于△ABC，A+B=π-C，0<C<π，所以sin(A+B)=sin C，所以m·n=sin C，又m·n=sin2C，所以sin2C=sin C，cos C=，又因为C∈(0，π)，所以C=.(2)由已知可得2sin C=sin A+sin B，由正弦定理得2c=a+b.因为·(-)=18，所以·=18，即abcos C=18，ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab，所以c2=4c2-3×36，c2=36，所以c=6.。
2019-2020学年山东省枣庄市第三中学高一3月网上测试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年山东省枣庄市第三中学高一3月网上测试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知点()1,1A -，()2,3B -， 则与向量AB u u u v方向相同的单位向量为（ ）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A由题得()3,4AB =-u u u r ，设与向量AB u u u r 方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，利用1a =r列方程即可得解.解析：由题可得：()3,4AB =-u u u r，设与向量AB u u u r方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，则1a ==r ，解得：15λ=或15λ=-（舍去） 所以与向量AB u u u r方向相同的单位向量为34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r故选A 点评：本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题． 2．设复数20211iz i i-=-，则||z =（）. ABC ．2D ．1答案：A根据复数的运算法则计算出12z i =+，结合复数模长公式即可得结果. 解析：由21(1)12i i iz i i i i i --=-=-=+，得|z |=故选：A . 点评：本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m n αβ^，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，则αβ⊥ B ．若m n ⊥，则//αβ C ．若//m n ，则//αβ D ．若//m n ，则αβ⊥答案：D若αβ⊥,则需使得平面α内有直线平行于直线n ；若//αβ,则需使得n α⊥,由此为依据进行判断即可 解析：当//m n 时,,m n 可确定平面γ,当//γα时,因为n β⊥,所以γβ⊥,所以αβ⊥； 当平面γ交平面α于直线l 时, 因为//m α,所以//m l ,则//l n , 因为n β⊥,所以l β⊥,因为l α⊂,所以αβ⊥,故A 错误,D 正确；当//αβ时,需使得n α⊥,选项B 、C 中均缺少判断条件,故B 、C 错误； 故选:D 点评：本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力4．已知1a =v ，8b =v ，()5a b a ⋅-=-v v v，则向量a v 与b v 向量的夹角是( )A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 答案：A由()5a b a ⋅-=-r r r 可知4a b ⋅=-r r，再根据cos ,a b a b a b⋅=⋅r rr r r r ，求解即可. 解析：()()2215a b aa b aa b a a b ⋅-=⋅-=⋅-=⋅-=-r r r r r r r r r r rQ4a b ∴⋅=-r r41cos ,182a b a b a b ⋅-∴===-⨯⋅r rr r r r[],0,a b π∈r rQ∴2,3a b π=r r故选：A 点评：本题考查平面向量的夹角问题，属于较易题.5．如图，在复平面内点P 对应的复数12z i =+，将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转6π到点Q ，则点Q 对应的复数2z 的虚部为( )A 132B ．312+C ．132i ⎫⎪⎭D ．312i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭答案：B由题意求得点Q 对应的复数2z ，则其虚部可求． 解析：设P 点对应的向量为OP uuu r，向量OP uuu r绕坐标原点O 逆时针旋转6π得到OQ uuu r 对应的复数为(2)(cos sin )66i i ππ++ 3113(2)()(3)(1)22i i i =+=+， ∴点Q 对应的复数2z 31．故选：B ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒答案：B根据余弦定理可得2221cos 42b c a bc A +-=，再根据面积公式可得sin cos A A =，从而可求出角A ． 解析：解：由余弦定理得2222cos 1cos 442b c a bc A bc A +-==，又根据三角形面积公式得2221sin 42b c a bc A +-=，∴sin cos A A =， 又角A 为ABC V 的内角， ∴45A ︒=， 故选：B ． 点评：本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．7．在ABC V 中，3CD BD =u u u v u u u v，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ⋅=（ ） A ．34-B ．316-C ．34D ．316答案：B由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u ur u u u r 表示，求出,λμ，即可求出结论.解析：133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u ur u u u r ，133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-.故选:B. 点评：本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题. 8．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）A ．若为的外心，则B ．若为等边三角形，则C ．当时，与平面所成角的范围为D ．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 答案：B利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.解析： 若为的外心，则，由射线相等即可知，故A 正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B 错误； 当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C 正确； 取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D 正确点评：本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、多选题9．等边三角形ABC 中，BD DC =u u u v u u u v ，2EC AE =u u u v u u u v，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2AD AB AC =+u u u vu u uv u u u v B ．2133BE BC BA =+u u u vu u uv u u u v C ．12AF AD =u u u v u u u vD ．1123BF BA BC =+u u u v u u u v u u u v答案：AC根据向量线性运算，求得,,,AD BE AF BF u u u r u u u r u u u r u u u r的表达式，由此判断出正确选项.解析：由于BD DC =u u u r u u u r ，2EC AE =u u u r u u u r，所以：1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，A 选项正确.()22123333BE BC CE BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，B 选项错误.由于,,E F B 三点共线，所以()()1113AF AE AB AC AB λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r且()111222AF xAD x AB AC x AB x AC ==+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1121123x x λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得31,42x λ==.所以C 选项正确. ()11112222BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1124BA BC =+u uu r u u u r ，所以D 选项不正确. 故选：AC点评：。
枣庄市第八中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
枣庄市第八中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 2． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 3． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）4． 已知f （x ）=m •2x+x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ）A ．（0，4）B ．[0，4）C ．（0，5]D ．[0，5]5． 已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 6． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ） A ．{x|x ＞3} B ．{x|﹣1＜x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}D ．{x|x ＜﹣1}7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．409． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ 11．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个12．在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.14．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________. 15．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019-2020学年 山东省枣庄市第三中学 高一3月网上测试数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省枣庄市第三中学高一3月网上测试数学试题一、单选题1．已知点()1,1A -，()2,3B -， 则与向量AB u u u v方向相同的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由题得()3,4AB =-u u u r ，设与向量AB u u u r方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，利用1a =r列方程即可得解.【详解】由题可得：()3,4AB =-u u u r，设与向量AB u u u r方向相同的单位向量为()3,4a λ=-r ，其中0λ>，则1a ==r ，解得：15λ=或15λ=-（舍去） 所以与向量AB u u u r方向相同的单位向量为34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r故选A 【点睛】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题． 2．设复数20211iz i i-=-，则||z =（）. AB C ．2D ．1【答案】A【解析】根据复数的运算法则计算出12z i =+，结合复数模长公式即可得结果. 【详解】 由21(1)12i i iz i i i i i--=-=-=+，得|z |=故选：A .本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m n αβ^，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，则αβ⊥ B ．若m n ⊥，则//αβ C ．若//m n ，则//αβ D ．若//m n ，则αβ⊥【答案】D【解析】若αβ⊥,则需使得平面α内有直线平行于直线n ；若//αβ,则需使得n α⊥,由此为依据进行判断即可 【详解】当//m n 时,,m n 可确定平面γ,当//γα时,因为n β⊥,所以γβ⊥,所以αβ⊥； 当平面γ交平面α于直线l 时, 因为//m α,所以//m l ,则//l n , 因为n β⊥,所以l β⊥,因为l α⊂,所以αβ⊥,故A 错误,D 正确；当//αβ时,需使得n α⊥,选项B 、C 中均缺少判断条件,故B 、C 错误； 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力4．已知1a =v ，8b =v ，()5a b a ⋅-=-v v v，则向量a v 与b v 向量的夹角是( )A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 【答案】A【解析】由()5a b a ⋅-=-r r r 可知4a b ⋅=-r r，再根据cos ,a b a b a b⋅=⋅r rr r r r ，求解即可. 【详解】()()2215a b a a b aa b a a b ⋅-=⋅-=⋅-=⋅-=-r r r r r r r r r r rQ4a b ∴⋅=-r r41cos ,182a b a b a b ⋅-∴===-⨯⋅r rr r r r[],0,a b π∈r rQ∴2,3a b π=r r故选：A 【点睛】本题考查平面向量的夹角问题，属于较易题.5．如图，在复平面内点P 对应的复数12z i =+，将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转6π到点Q ，则点Q 对应的复数2z 的虚部为( )A 132B 31C ．132i ⎫⎪⎭D ．31i ⎫+⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意求得点Q 对应的复数2z ，则其虚部可求． 【详解】设P 点对应的向量为OP uuu r，向量OP uuu r 绕坐标原点O 逆时针旋转6π得到OQ uuu r 对应的复数为(2)(cos sin )66i i ππ++3113(2)()(3)(1)22i i i =+=+， ∴点Q 对应的复数2z 的虚部为312+．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】根据余弦定理可得2221cos 42b c a bc A +-=，再根据面积公式可得sin cos A A =，从而可求出角A ．【详解】解：由余弦定理得2222cos 1cos 442b c a bc A bc A +-==，又根据三角形面积公式得2221sin 42b c a bc A +-=，∴sin cos A A =， 又角A 为ABC V 的内角， ∴45A ︒=， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．7．在ABC V 中，3CD BD =u u u v u u u v，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则λμ⋅=（ ） A ．34-B ．316-C ．34D ．316【答案】B【解析】由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，求出,λμ，即可求出结论. 【详解】133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u ur u u u r ，133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-.故选:B.本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（）A．若为的外心，则B．若为等边三角形，则C．当时，与平面所成角的范围为D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、多选题9．等边三角形ABC 中，BD DC =u u u v u u u v ，2EC AE =u u u v u u u v，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2AD AB AC =+u u u v u u u v u u u vB．2133BE BC BA =+u u u v u u u v u u u vC ．12AF AD =u u u v u u u vD ．1123BF BA BC =+u u u v u u u v u u u v【答案】AC【解析】根据向量线性运算，求得,,,AD BE AF BF u u u r u u u r u u u r u u u r的表达式，由此判断出正确选项.【详解】由于BD DC =u u u r u u u r ，2EC AE =u u u r u u u r，所以：1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，A 选项正确.()22123333BE BC CE BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，B 选项错误.由于,,E F B 三点共线，所以()()1113AF AE AB AC AB λλλλ=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r且()111222AF xAD x AB AC x AB x AC ==+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以1121123x x λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得31,42x λ==.所以C 选项正确. ()11112222BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1124BA BC =+u uu r u u u r ，所以D 选项不正确. 故选：AC【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A ．EP ⊥ACB ．EP BD ∥C ．EP ∥面SBD D ．EP ⊥面SAC【答案】AC【解析】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN ，由正四棱锥性质可得SO ⊥底面，AC BD ⊥，进而得到SO AC ⊥，可得AC ⊥平面SBD ，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面//EMN 平面SBD ，进而得到AC ⊥平面EMN ，随即可判断A ；由异面直线的定义可知不可能//EP BD ；由A 易得C 正确；由A 同理可得：EM ⊥平面SAC ，可用反证法可说明D . 【详解】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN .由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，所以SO AC ⊥. 因为SO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 因为E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， 所以//EM D ，//MN SD ，而EM MN N ⋂=，所以平面//EMN 平面SBD ，所以AC ⊥平面EMN ，所以AC EP ⊥，故A 正确； 由异面直线的定义可知:EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此B 不正确； 平面//EMN 平面SBD ，所以//EP 平面SBD ，因此C 正确；EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EP EM E =I 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即D 不正确. 故选:AC .【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.三、填空题11．已知复数z 满足1z =，则2z i -的取值范围为______. 【答案】[]1,3【解析】根据复数模的几何意义，求得2z i -的取值范围. 【详解】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点.2z i -的几何意义表示单位圆上的点和()0,2之间的距离，所以最小距离为211-=，最大距离为213+=.所以2z i -的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3 【点睛】本小题主要考查复数模、复数减法的模的几何意义的运用，属于基础题.12．已知(sin ,cos )a αα=r ，b =r ，且a b ⊥r r ，那么sin 2α=________.【答案】【解析】可根据a b ⊥rr得出0a b ⋅=rr ，进行数量积的坐标运算即可得出tan 3α=-，根据齐次式的特征即可求得结果. 【详解】因为a b ⊥rr，所以cos 0a b αα⋅=+=rr ；所以cos αα=，所以tan α=所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα====++.故答案为:.本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13．在ABC V 中，若2a =，cos B =ABC V 的面积为1，则b =_____.【解析】先求出sin B 的值，然后根据ABC V 的面积求出c ，再利用余弦定理，得到b 的值. 【详解】因为cos B =B 为ABC V 内角，所以sin 2B ==，因为11sin 21222ABC S ac B c ==⨯⨯=V ， 所以c =由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得22-=解得b =.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于简单题.14．在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】68π 【解析】先由题中数据，得到AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，从而得到OA OB OC OS ====O ，进而可求出其外接球的表面积；再由SO AB ⊥，底面三角形ABC 的面积为定值，SO 的长也为确定的值，结合几何体直观图，可得当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，即可求出结果.因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，5BC =，3AC =，所以222AB SA ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则2OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为2OC =，所以该四面体外接球的表面积为24(2)8S ππ=⋅=； 又因为SA SB =，所以SO AB ⊥； 因为底面三角形ABC 的面积为定值11522AC BC ⋅=，SO 的长也为确定的值2， 因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为1303ABC V S SO =⋅=V . 故答案为：(1).30(2). 8π【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及三棱锥体积的有关计算，熟记三棱锥结构特征，以及球的表面积公式与三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.四、解答题15．已知复数2()z m mi m R =-∈，若|2|z =且z 在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求复数z ；（2）若21z az b i ++=+，求实数a ，b 的值． 【答案】（1）z ＝1﹣i ； （2）a ＝﹣3，b ＝4．【解析】（1）由已知求得1m =±，结合z 在复平面内对应的点位于第四象限可得1m =-，则复数z 可求；（2）把z 代入21z az b i ++=+，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解．【详解】解：（1）2z m mi =-Q ，||z =422m m ∴+=，得21m =． 又z Q 在复平面内对应的点位于第四象限，1m ∴=-，即1z i =-；（2）由（1）得1z i =-，21z az b i ∴++=+，2(1)(1)1i a i b i ∴-+-+=-，()(2)1a b a i i ∴+-+=+，∴121a b a +=⎧⎨+-⎩解得3a =-，4b =．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r .（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+r r r r ，求实数k 的值； （Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r ，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】（Ⅰ）求出向量3a b -r r 和a kb +r r 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可； （Ⅱ）由()a tb b -⊥r r r 得出()0a tb b -⋅=r r r ，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ）()1,2a =-r Q ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r ，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r ， ()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r ，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC AC =，22AB DC ==，13AA =.（1）求证：平面1A DC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A DC 的距离.【答案】（1）证明见解析（23【解析】（1）通过证明1,CD AA CD AB ⊥⊥证得CD ⊥平面11ABB A ，由此证得平面1A DC ⊥平面11ABB A .（2）解法一：利用等体积法计算出点A 到平面1A DC 的距离；解法二：在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，证得AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，利用等面积法求得点A 到平面1A DC 的距离.【详解】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥，∵BC AC =，D 是的AB 的中点，∴CD AB ⊥，又1AA AB A =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵CD ⊂平面1A DC ，∴平面1A DC ⊥平面11ABB A ；（2）解法一∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA 是三棱锥1A ADC -的高，且1AA AD ⊥，由（1）及已知得ADC ∆是腰长为1的等腰直角三角形， 111122ADC S ∆=⨯⨯=，∴1111133332A ADC ADC V S AA -∆=⨯=⨯⨯=， 又13AA =，所以22112A D A A AD =+=，由（1）得CD ⊥平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，∴1CD A D ⊥， ∴111121122A DC S A D CD ∆=⨯=⨯⨯=，设点A 到平面1A DC 的距离为h ， 由11A A DC A ADC V V --=，得113S 3A DC h ∆⨯=， ∴3h =因此，点A 到平面1A DC 的距离为3.解法二：由（1）平面1A DC ⊥平面11ABB A ，平面1A DC I 平面111ABB A A D =， 在平面1A AD 内，过A 作1AE A D ⊥，则AE ⊥平面1A DC ，故AE 就是点A 到平面1A DC 的距离，∵1AA ⊥平面ABC ，∴在1Rt A AD ∆中，22112A D A A AD =+=. 利用等面积得1131322A A AD AE A D ⋅===， 因此，点A 到平面1A DC 3【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知O 为坐标原点，(2cos 3)OA x =u u u v ，(sin 3,1)OB x x =-u u u v，()2f x OA OB =⋅+u u u v u u u v .（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[2)m ∈- 【解析】（1）通过向量的坐标运算求出()2f x OA OB =⋅+u u u r u u u r ，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程()0f x m +=有根转化为()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，求出()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的值域即可. 【详解】（1）()2f x OA OB =⋅+u u u r u u u r22cos sin 2x x x =+-sin 222x x =++2sin 223x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则此函数单调增区间：222()232k x k k πππ-+π++π∈Z ≤≤， ()1212k x k k 5ππ-+π+π∈Z ≤≤， 设5,()1212A k k k Z ππππ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，[0,]B π=， 则70,,1212A B πππ⎡⎤⎡⎤⋂=⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在[0,]π上的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根， 所以()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以3sin 213x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，则23()4f x -<≤， 所以[4,32)m ∈--.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 【解析】（1）连接AC ,BD ,AC I BD=O ，连接OE ，由O 为AC 中点，E 为PC 中点，得OE //PA ，推出AP //平面EBD ；（2）(Ⅰ) 当点M 在线段PA 中点时，由线面垂直的判定定理得DM ⊥平面PAB ；(Ⅱ)当1PN PB 4=时由(Ⅰ)得PB ⊥平面DMN ，推出平面DMN ⊥平面PBC .【详解】（1）证明：连接AC ,BD ,AC BD ⋂=O ，因为ABCD 是平行四边形，则O 为AC 中点，连接OE ，又E Q 为PC 中点，OE //PA,OE ∴⊂面EBD ，PA ⊄面EBD ∴ AP //平面EBD . （2）解(Ⅰ)当点M 在线段PA 中点时，有DM ⊥平面PAB取PA 中点M ，连接DM CD PD ⊥Q ，又AB//CDAB PD ∴⊥，又AB PA ⊥，PA PD P ⋂=，AB ∴⊥平面PADAB DM ∴⊥，又ΔPAD 是正三角形，DM PA,PA AB A,∴⊥⋂=∴ DM ⊥平面PAB(Ⅱ)当1PN PB 4=时，有平面DMN ⊥平面PBC 过M 作MN PB ⊥于N ，由(Ⅰ)知DM PB,MN DM M ⊥⋂=，PB ∴⊥平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面PBC 易得1PN PB 4=【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直，面面垂直的判定定理，数量掌握判定定理的内容是关键，属于中档题.。
山东省枣庄第八中学南校区_学年高一数学3月单元检测试题【含答案】
高一年级单元检测（数学）2016.3一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是( )A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若sin cos 0θθ>，则θ在( )．A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．下列说法正确的是( )A ．共线向量的方向相同B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量 4.设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin cos αα+的值是( )A ． -25B ． 25C ．-25或25 D ．15．454sin cos tan()363πππ-= ( )．A ．-4B ．4C ．-4D ．46．若cos cos θθ=|，tan tan θθ=-，则2θ的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上7．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ，且当2x =时取得最大值，那么( ) A ．2,2T πθ==B ．1,T θπ==C ．2,T θπ==D ．1,2T πθ==8．若sin 22x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，且2x ππ<<，则x 等于( )A.43π B. 76π C. 53π D. 116π 9．将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位长度后，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则ϕ＝( ) A.6π B.56π C. 76π D. 116π10．函数tan ()1cos xf x x=+的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 11．在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 取值范围为( )．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，πB ．⎪⎭⎫⎝⎛π ，4π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π512．函数()cos f x x 在()0,+∞内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填在题中横线上) 13．已知1sin ,(,0)232ππαα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭，则tan α＝________. 14．函数3cos (0)y x x π=≤≤的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________． 15．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB AD -＝________．16．给出下列命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数；②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；③若,αβ是第一象限角且α<β，则tan tan αβ<；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴； ⑤函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确命题的序号为__________． 三、解答题(本大题共6小题，共74分)．17．(12分)已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求()sin()5cos(2)32sin sin 2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值．18．(12分)已知3()sin 2,62f x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调减区间；(3)函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样变换得到？19．(12分)在△ABC中，sin cos A A +=，求tan A 的值．20．(本小题满分12分)设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图像的一条对称轴是直线8x π=(1)求φ；(2)画出函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像．21．(12分)已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭，图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使0y ≤时，x 的取值范围．22．(14分)已知函数2()2tan 1,f x x x x θ⎡=+-∈-⎣，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. (1)当6πθ=-时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．高一年级单元检测答案（数学）2016.3一选择题 DBBAA DABDA CB 二填空题－2 2 3π 2 ①④ 三解答题17解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.18解 (1)T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以所求的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32个单位，即得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象．19解 ∵sinA ＋cosA ＝22，① 两边平方，得2si n A cos A ＝－12，从而知cos A <0，∴∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴sin A －cos A ＝ A ＋cos A2－4sin A cos A＝12＋1＝62.②由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋24， ∴tan A ＝sin Acos A＝－2－ 3.20解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f(x)的图像的对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1. 所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎛⎪⎫2x －3π，列表如下：描点连线，可得函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．21解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A ＝5，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k π＋π3(k ∈Z )．(3)∵5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．22解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
山东省枣庄2019-2020学年高一数学下册3月月考试题1(已纠错)
枣庄八中东校2019-2020学年度月考试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）若弧度的圆心角所对的弧长为cm 2，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．24cm B ．22cm C ．24cm π D ．21cm2.设θ是第三象限角，且2cos-2cosθθ=，则2θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角3.)310(s π-in 的值等于( ) A ．21-B ．21C ．23-D ．234.在直角坐标系中，一动点从点()0,1A 出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π32弧长，到达点B ，则点B 的坐标为( ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23 5.把函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin πx x f 的图像向右平移()πϕϕ<<0个单位可以得到函数()x g 的图像，若()x g 为偶函数，则ϕ的值为（ ）A ．65π B ．3π C ．12712ππ或 D 1211125ππ或．6.已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=41,cos 1,cos 1,2θθ,, 且//，则钝角θ等于（ ）A ．o45 B. o135 C. o150 D.o1207.若向量()()3,2,2,1-==分别表示向量与=+( )A. 26 B ．25 C ．2 D ．268.下列各组向量中，可以作为基底的是A.()()2,1,0,021-==e eB. ()()7,5,2,121=-=e eC.()()10,6,5,321==e eD.()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=43,21,3,221e e9.已知()()0＞3sin ωπω⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f 的图象与1-=y 的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到()x f y =的图象，只需把x y 2cos =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移125π个单位 D ．向右平移125π个单位 10.已知点()()2,4,1,1B A ，和向量()λ,2=，若AB a //，则实数λ的值为（ ）A.32-B. 32C. 23D. 23-二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()y P ,4是角θ终边上一点，552sin -=θ，则=y ______.12.已知向量()()()10,,5,4,12,k k -===，且C B A 、、三点共线，则k =________._ 13.在ABC ∆中，已知D 是BC 上的点，且BD CD 2=．设b AC a AB ==,,则=．（用,表示）14.函数()()()＞0＞0,,,sin w A w A wx A x f ，是常数，ϕϕ+=的部分图象如图所示，则()=0f .15.已知下列命题：①函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin πx y 的单调增区间是.,125,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ππππ.②要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos πx y 的图象，需把函数x y sin =的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度.③已知函数(),3cos 2cos 22+-=x a x x f 当2-≤a 时，函数()x f 的最小值为()a a g 25+=． ④()0>sin w wx y =在[0,1]上至少出现了100次最小值，则π2399≥w . ⑤函数()x y tan 1lg -=的定义域是Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,4,2ππππ.其中正确命题的序号是___________________．(将所有正确命题的序号都填上)三、解答题（共75分）16. （本题12分）已知向量()().4,1,0,2==b a-（2） 若向量k 2++与平行，求k 的值；17.（本题12分）已知角α是第二象限角，其终边上一点P 的坐标是()y ,2-，且y 42sin =α． （1）求αtan 的值； （2）求αααα22cos 2sin 4cos sin 3+⋅的值．18. （本题12分）已知()()()()παπαπααππααπα3tan 2cos 23sin cos 23cos 5sin -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=f .（1）化简()αf（2）若α是第三象限角，且5123cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，求()αf 的值．19. （本题12分）已知函数()2162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．（1）试用 “五点法”画出函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1211,12ππ的简图； （2）指出该函数的图象可由()R x x y ∈=,sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ （3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，函数()()m x f x g +=的最小值为2，试求出函数()x g 的最大值并指出x 取何值时，函数()x g 取得最大值．20. （本题13分）已知函数()()()πϕϕ<0,>w 0,>sin A h wx A x f ++=在一个周期内，当12π=x 时，y 取得最大值6，当127π=x 时，y 取得最小值0. （1）求函数()x f 的解析式；（2）求函数()x f 的单调递增区间与对称中心坐标； （3）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，函数()1-=x mf y 的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围． 21. （本题14分）定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,32上的函数()x f y =的图象关于直线6π=x 对称,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,32ππx 时函数()()()πϕϕ<<0,0>w 0,>sin A wx A x f +=图象如图所示.(1)求函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,32的表达式; (2)求方程()2=x f 的解;(3)是否存在常数m 的值,使得()2<m x f -在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππ,32x 上恒成立;若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.。
2018-2019学年山东省枣庄八中高一(下)3月月考数学试卷
2018-2019学年山东省枣庄八中高一（下）3月月考数学试卷试题数：23.满分：1501.（单选题.4分）下列角的终边位于第二象限的是（）A.420°B.860°C.1060°D.1260°2.（单选题.4分）半径为πcm.中心角为60°的扇形的弧长为（）cmA. π3cmB. π23C. 2πcm3cmD. 2π233.（单选题.4分）要得到y=sin（2x- π）的图象.只需将y=cos2x的图象（）3个单位长度A.向右平移π6B.向右平移π个单位长度3个单位长度C.向右平移5π6D.向右平移5π个单位长度12的值是（）4.（单选题.4分）tan300°+ cos(−405°)sin765°A.1+ √3B.1- √3C.-1- √3D.-1+ √35.（单选题.4分）圆心为C（2.0）的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切.则圆C的方程为（）A.x2+y2-4x=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x+2=0D.x2+y2+4x=06.（单选题.4分）经过点M （2.-1）作圆x 2+y 2=5的切线.则切线的方程为（ ） A. √2 x+y=5 B. √2 x+y+5=0 C.2x-y-5=0 D.2x+y+5=07.（单选题.4分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）.（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2）满足f （x+ π2）=f （x- π2）.且f （ π6+x ）=f （ π6-x ）.则下列区间中是f （x ）的单调减区间的是（ ） A.[- 5π6 .- π3 ] B.[- 4π3 .- 5π6 ] C.[ 2π3 . 7π6 ] D.[- π3 .0]8.（单选题.4分）已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x-3）2+（x+4）2=16.则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A.外切 B.内切 C.相交 D.相离9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=8sin （ωx - π3 ）（ω＞0）的最小正周期为π.若f （x ）在[-π24 . m 3 ]上单调递增.在[ m 2 . 2π3]上单调递减.则实数m 的取值范围是（ ）A.[π. 32 π] B.[ 56 π. 54 π] C.[ π3 . π2 ] D.[- π8 . 43 π]10.（单选题.4分）若直线l 过点A （0.a ）斜率为1.圆x 2+y 2=4上恰有3个点到l 的距离为1.则a 的值为（ ） A.± √2 B. √2 C.±2 D.±411.（多选题.4分）设函数 f (x )=4sin (2x +π3)+1 的图象为C.则下列结论中正确的是（ ）A.图象C关于直线x=−5π12对称B.图象C关于点(−π6，0)对称C.函数f（x）在区间(−5π12，π12)内是增函数D.把函数f(x)=4sin(x+π6)+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C12.（多选题.4分）下列命题中正确的是（）A.若角α是第三象限角.则α3可能在第三象限B. cos(3π2−α)+cos(5π2+α)=0C.若tanα＜0且sinα＞0.则α为第二象限角D.锐角α终边上一点坐标为P（-cos2.sin2）.则α=π-213.（多选题.4分）已知曲线C1：y=2sinx.y=2sin（x3+π6）.则下列结论正确的是（）A.把C1上所有的点向右平移π6个单位长度.再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变）.得到曲线C2B.把C1上所有点向左平移π6个单位长度.再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变）.再把所得图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.再把所得图象上所有的点向左平移π2个单位长度.得到曲线C214.（填空题.4分）计算：2sin (−31π6)+cos12π+tan 7π4=___ ．15.（填空题.4分）已知sin（π3 -α）= 13.则cos（π6+α）=___ ．16.（填空题.4分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示.则ω=___ .φ=___ ．17.（填空题.4分）已知函数y=sin(2x+φ)(−π2＜φ＜π2) .它的周期为___ ；若它的图象关于x=π6对称.则φ的值为___ ．18.（问答题.12分）计算下列各式的值．（1）已知tanα=3.求cos2α-2sinαcosα-1；（2）若角α是第三象限角.且cos(3π2−α)=15. f(α)=sin(2π−α)cos(α−π2)cos(11π2−α)sin(α−3π)sin(π−α)sin(5π2+α).求f（α）．19.（问答题.14分）已知第二象限角θ的终边与以原点为圆心的圆交于点（-12.5）．（1）写出三角函数sinθ.cosθ.tanθ的值；（2）若f(θ)=cos(π2+θ)cos(−θ)tan(π+θ)sin(π2−θ)sin(π−θ).求f（θ）的值．20.（问答题.14分）已知函数y=2sin(2x−π3)+3 .x∈R．（1）用五点法作出函数一个周期上的简图；（2）求出函数的值域与单调区间．21.（问答题.14分）已知定点A（0.-4）.点P圆x2+y2=4上的动点．（1）求AP的中点C的轨迹方程；（2）若过定点 B (−12，−1) 的直线l 与C 的轨迹交于M.N 两点.且 |MN |=√3 .求直线l 的方程．22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=- √22 sin （2ax+ π4 ）+ 12 +b （a ＞0.b ＞0）的图象与x 轴相切.且图象上相邻两个最高点之间的距离为 π2 ． （1）求a.b 的值；（2）求f （x ）在[0. π4 ]上的最大值和最小值．23.（问答题.14分）已知函数f （x ）=2sin2x.将函数y=f （x ）的图象向左平移 π6个单位.再向上平移1个单位.得到函数y=g （x ）的图象． （Ⅰ）求函数y=g （x ）的解析式（Ⅱ）若对任何实数x.不等式mg （x ）+2m≥g （x ）恒成立.求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若区间[a.b]（a.b∈R 且a ＜b ）满足：y=g （x ）在[a.b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a.b]中.求b-a 的最小值．2018-2019学年山东省枣庄八中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.4分）下列角的终边位于第二象限的是（）A.420°B.860°C.1060°D.1260°【正确答案】：B【解析】：根据终边相同的角的定义和表示方法.判断每个角的终边所在的象限.从而得到结论．【解答】：解：∵420°=360°+60°.∴420°的终边在第一象限.∵860°=720°+140°.∴860°的终边在第二象限.∵1060°=720°+340°.∴1060°的终边在第四象限.∵1260°角是3圈半.终边在x轴负轴上.∴不属于任何象限．故选：B．【点评】：本题考查终边相同的角的定义和表示方法.象限角的定义.判断每个角的终边所在的象限.是解题的关键.是基础题．2.（单选题.4分）半径为πcm.中心角为60°的扇形的弧长为（）A. π3cmB. π23cmC. 2π3cmD. 2π23cm【正确答案】：B【解析】：先将圆心角角度化成弧度制.然后直接利用弧长公式l=|α|•r进行求解即可．【解答】：解：圆弧所对的中心角为60°即为π3弧度.半径为πcm弧长为l=|α|•r= 2π3×π= π23cm故选：B．【点评】：本题主要考查了弧长公式l=|α|•r.主要圆心角为弧度制.掌握好其公式并能熟练应用.属于基础题．3.（单选题.4分）要得到y=sin（2x- π3）的图象.只需将y=cos2x的图象（）A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向右平移5π6个单位长度D.向右平移5π12个单位长度【正确答案】：D【解析】：由于平移前后两个函数名称不一致.故可先将函数y=cos2x的图象向右平移T4（即π4）个单位得到函数y=sin2x的图象.再由正弦函数的图象平移变换法则.继续平移得到函数y=sin(2x−π3)的图象.最后将两个平移量累加即可得到答案．【解答】：解：要想得到函数y=sin(2x−π3)的图象.可先将函数y=cos2x的图象向右平移π4个单位得到函数y=sin2x的图象再将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位得到函数y=sin(2x−π3)的图象故将函数y=cos2x的图象向右平移5π12个单位可得到函数y=sin(2x−π3)的图象．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.当平移前后两个函数名称不一致时.可先将函数y=cosωx的图象向右平移T4个单位得到函数y=sinωx的图象．4.（单选题.4分）tan300°+ cos(−405°)sin765°的值是（）A.1+ √3B.1- √3C.-1- √3D.-1+ √3【正确答案】：B【解析】：直接利用诱导公式求解即可．【解答】：解：tan300°+ cos (−405°)sin765° =-tan60°+ cos45°sin45°=1- √3 ． 故选：B ．【点评】：本题考查诱导公式的应用.注意正确利用诱导公式的化简求值.考查计算能力． 5.（单选题.4分）圆心为C （2.0）的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切.则圆C 的方程为（ ） A.x 2+y 2-4x=0 B.x 2+y 2-4x+2=0 C.x 2+y 2+4x+2=0 D.x 2+y 2+4x=0 【正确答案】：A【解析】：根据两圆关系求出圆C 的半径.从而得出圆C 的方程．【解答】：解：圆x 2+y 2+4x-6y+4=0的圆心为M （-2.3）.半径为r=3. CM= √(2+2)2+(−3)2 =5. ∴圆C 的半径为5-3=2.∴圆C 的标准方程为：（x-2）2+y 2=4.即x 2+y 2-4x=0． 故选：A ．【点评】：本题考查了圆与圆的位置关系.属于中档题．6.（单选题.4分）经过点M （2.-1）作圆x 2+y 2=5的切线.则切线的方程为（ ） A. √2 x+y=5 B. √2 x+y+5=0 C.2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 【正确答案】：C【解析】：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径.然后求出M 与圆心的距离判断出M 在圆上即M 为切点.根据圆的切线垂直于过切点的直径.由圆心和M 的坐标求出OM 确定直线方程的斜率.根据两直线垂直时斜率乘积为-1.求出切线的斜率.根据M 坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】：解：由圆x 2+y 2=5.得到圆心A 的坐标为（0.0）.圆的半径r= √5 . 而|AM|= √4+1 = √5 =r.所以M 在圆上.则过M 作圆的切线与AM 所在的直线垂直. 又M （2.-1）.得到AM 所在直线的斜率为- 12 .所以切线的斜率为2.则切线方程为：y+1=2（x-2）即2x-y-5=0．故选：C．【点评】：此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系.掌握两直线垂直时斜率所满足的关系.会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程.是一道综合题．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）.（A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）满足f（x+ π2）=f（x- π2）.且f（π6+x）=f（π6-x）.则下列区间中是f（x）的单调减区间的是（）A.[- 5π6 .- π3]B.[- 4π3 .- 5π6]C.[ 2π3 . 7π6]D.[- π3.0]【正确答案】：A【解析】：首先利用函数的关系式求出函数的周期和对称轴.进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．【解答】：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）.（A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.满足f（x+ π2）=f（x- π2）.则：f（x+ π2+π2）=f（x- π2+π2）=f（x）.所以：T= 2πω=π . 解得：ω=2．且f（π6 +x）=f（π6-x）.所以函数的对称轴为x= π6.则：2•π6+φ=kπ+π2（k∈Z）.解得：φ=k π+π6（k∈Z）.当k=0时.φ= π6．则：f（x）=sin（2x+ π6）．令：π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+3π2（k∈Z）.解得：π6+kπ≤x≤kπ+2π3.（k∈Z）.当k=-1时.函数的单调区间为： [−5π6，−π3] ．故选：A ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换.正弦型函数性质的应用.主要考查学生的运算能力和转化能力.属于基础题型．8.（单选题.4分）已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x-3）2+（x+4）2=16.则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A.外切 B.内切 C.相交 D.相离【正确答案】：A【解析】：先求出两个圆的圆心和半径.再根据它们的圆心距等于半径之和.可得两圆相外切．【解答】：解：圆O 1的圆心为O （0.0）.半径等于1.圆O 2的圆心为（3.-4）.半径等于4. 它们的圆心距等于 √(0−3)2+(0+4)2 =5.等于半径之和. 故两个圆相外切. 故选：A ．【点评】：本题主要考查圆的标准方程.圆和圆的位置关系的判定方法.属于中档题． 9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=8sin （ωx - π3 ）（ω＞0）的最小正周期为π.若f （x ）在[-π24 . m 3 ]上单调递增.在[ m 2 . 2π3]上单调递减.则实数m 的取值范围是（ ）A.[π. 32 π] B.[ 56 π. 54 π] C.[ π3 . π2 ] D.[- π8 . 43 π] 【正确答案】：B【解析】：先求出ω=2.然后当x∈[- π24 . m3 ]时.2x- π3 ∈[- 5π12 .2m−π3 ].∴ −5π12 ＜ 2m−π3 ≤π2 .解得- π8＜m≤ 5π4 ；当x∈[ m 2 . 2π3 ]时.2x- π3 ∈[m - π3 .π].∴ π2 ≤m - π3 ＜π.解得 5π6 ≤m ＜ 4π3 . 最后将所得两个范围取交集．【解答】：解：∵T=π.∴ω= 2πT =2.∴f （x ）=8sin （2x- π3 ）. 当x∈[- π24 . m3 ]时.2x- π3 ∈[- 5π12 .2m−π3 ].∴ −5π12 ＜ 2m−π3 ≤π2 .解得- π8 ＜m≤ 5π4； 当x∈[ m 2 . 2π3 ]时.2x- π3 ∈[m - π3 .π].∴ π2 ≤m - π3 ＜π.解得 5π6 ≤m ＜ 4π3 . 综上所述： 5π6 ≤m≤ 5π4 . 故选：B ．【点评】：本题考查了正弦函数的单调性.属中档题．10.（单选题.4分）若直线l 过点A （0.a ）斜率为1.圆x 2+y 2=4上恰有3个点到l 的距离为1.则a 的值为（ ） A.± √2 B. √2 C.±2 D.±4【正确答案】：A【解析】：设l ：x-y+a=0.由题意得： √2=2−1 .由此能求出结果．【解答】：解：∵直线l 过点A （0.a ）斜率为1. ∴设l ：x-y+a=0.∵圆x 2+y 2=4上恰有3个点到l 的距离为1. ∴圆心到直线的距离等于半径的一半. ∴圆心（0.0）到直线l ：y=x+a 的距离为： √2=2−1 .解得a= ±√2 ． 故选：A ．【点评】：本题考查满足条件的实数值的求法.是基础题.解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．11.（多选题.4分）设函数 f (x )=4sin (2x +π3)+1 的图象为C.则下列结论中正确的是（ ） A.图象C 关于直线 x =−5π12 对称 B.图象C 关于点 (−π6，0) 对称C.函数f （x ）在区间 (−5π12，π12) 内是增函数D.把函数f(x)=4sin(x+π6)+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C【正确答案】：ABC【解析】：根据正弦函数的性质进行分析.采用整体法来求解．【解答】：解：当x=−5π12时. 2x+π3=−5π12×2+π3=−π2.所以A正确；当x=−π6时. 2x+π3=0=kπ .所以B正确．由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z .解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z .取k=0.可知C正确；函数f(x)=4sin(x+π6)+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到f(x)=4sin(2x+π6)+1的图象.所以D错误；故选：ABC．【点评】：本题考查三角函数的性质与图象平移.属于中档题目．12.（多选题.4分）下列命题中正确的是（）A.若角α是第三象限角.则α3可能在第三象限B. cos(3π2−α)+cos(5π2+α)=0C.若tanα＜0且sinα＞0.则α为第二象限角D.锐角α终边上一点坐标为P（-cos2.sin2）.则α=π-2【正确答案】：ACD【解析】：运用象限角知识.诱导公式.三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案．【解答】：解：A．若角α是第三象限角.即2kπ+π＜α＜2kπ+ 32π.k∈Z.所以23kπ+ 13π＜α3＜32kπ+ 12π.k∈Z.当k=3n.n∈Z时. α3为第一象限角.当k=3n+1.n∈Z时. α3为第三象限角.当k=3n+2.n∈Z时. α3为第四象限角.所以α3可能在第三象限正确.B．由诱导公式可得cos（32π-α）+cos（52π+α）=-sinα-sinα=-2sinα.所以cos(3π2−α)+cos(5π2+α)=0错误.C．若tanα＜0.则α为第二象限或第四象限角.若sinα＞0.则α为第一象限角或第二象限角.同时满足两条件可得.若tanα＜0且sinα＞0.则α为第二象限角正确.D．锐角α终边上一点坐标为P（-cos2.sin2）.由三角函数的定义可得.tanα= sin2−cos2=-tan2=tan（π-2）.因为α是锐角α.则α=π-2正确．故下列命题中正确的是A、C、D.故选：ACD．【点评】：本题考查了象限角.诱导公式.三角函数的定义等知识.考查定义和运算能力.属于中档题．13.（多选题.4分）已知曲线C1：y=2sinx.y=2sin（x3+π6）.则下列结论正确的是（）A.把C1上所有的点向右平移π6个单位长度.再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变）.得到曲线C2B.把C1上所有点向左平移π6个单位长度.再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变）.再把所得图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.再把所得图象上所有的点向左平移π2个单位长度.得到曲线C2【正确答案】：BD【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：已知曲线C1：y=2sinx.C2：y=2sin（x3+π6）.故把C1上所有点向左平移π6个单位长度.可得y=2sin（x+ π6）的图象.再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到曲线C2.y=2sin（x3+π6）的图象.故B正确．把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.可得y=2sin 13x的图象；再把所得图象上所有的点向左平移π2个单位长度.得到曲线C2：y=2sin（x3+π6）的图象.故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（填空题.4分）计算：2sin (−31π6)+cos12π+tan 7π4=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用诱导公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：2sin (−31π6)+cos12π+tan 7π4=-2sin（5π+ π6）+1+tan（2π- π4）=2sin π6+1-tan π4=1+1-1=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了诱导公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．15.（填空题.4分）已知sin（π3 -α）= 13.则cos（π6+α）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：结合已知及诱导公式可得cos（π6+α）=sin（13−α）.即可求解．【解答】：解：因为sin(π3−α)=13.则cos(π6+α) = sin(π3−α)=13.故答案为：13．【点评】：本题主要考查了利用诱导公式对三角化简求值的应用.属于基础试题．16.（填空题.4分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示.则ω=___ .φ=___ ．【正确答案】：[1]π; [2] π6【解析】：通过函数的图象.求出T然后求出ω.利用图象经过（0.1）求出φ的值．【解答】：解：由图象可知T=3-1=2.ω= 2πT = 2π2=π.∵函数经过点（0.1）.∴1=2sin（0×π+φ）.解得：sinφ= 12.∵|φ|＜π2.∴φ= π6；故答案为：π. π6．【点评】：本题考查三角函数的图象的应用以及由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.考查了数形结合思想.属于基础题．17.（填空题.4分）已知函数y=sin(2x+φ)(−π2＜φ＜π2) .它的周期为___ ；若它的图象关于x=π6对称.则φ的值为___ ．【正确答案】：[1]π; [2] π6【解析】：由题意利用正弦函数的周期性以及图象的对称性.得出结论．【解答】：解：∵函数y=sin(2x+φ)(−π2＜φ＜π2) .∴它的周期为2π2=π．若它的图象关于x=π6对称.则2× π6+φ= π2.∴φ= π6.故答案为：π；π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性.属于基础题．18.（问答题.12分）计算下列各式的值．（1）已知tanα=3.求cos2α-2sinαcosα-1；（2）若角α是第三象限角.且cos(3π2−α)=15. f(α)=sin(2π−α)cos(α−π2)cos(11π2−α)sin(α−3π)sin(π−α)sin(5π2+α).求f（α）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．（2）由诱导公式可求sinα的值.根据同角三角函数基本关系式可求cosα.tanα的值.进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】：解：（1）∵tanα=3.∴cos 2α-2sinαcosα-1=cos 2α-2sinαcosα-（sin 2α+cos 2α）=−2sinαcosα−sin 2αsin 2α+cos 2α = −2tanα−tan 2αtan 2α+1=−2×3−3232+1 =- 32； （2）∵角α是第三象限角.且 cos (3π2−α)=15 .可得si nα=- 15.∴cosα=- √1−sin 2α =- 2√65 .tanα= sinαcosα = √612． ∴ f (α)=sin (2π−α)cos(α−π2)cos(11π2−α)sin (α−3π)sin (π−α)sin(5π2+α)=(−sinα)sinα(−sinα)(−sinα)sinαcosα =-tanα= √612．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.诱导公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．19.（问答题.14分）已知第二象限角θ的终边与以原点为圆心的圆交于点（-12.5）． （1）写出三角函数sinθ.cosθ.tanθ的值； （2）若 f (θ)=cos(π2+θ)cos (−θ)tan (π+θ)sin(π2−θ)sin (π−θ).求f （θ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的定义.求出正弦函数余弦函数值正切函数值即可． （2）利用诱导公式化简函数的解析式.即可得到结果．【解答】：解：（1）第二象限角θ的终边与以原点为圆心的单位圆交于点（-12.5）．可得r= √(−12)2+52 =13.由三角函数的定义得sinθ= 513 .cosθ=- 1213 .tanθ=- 512 ； （2） f (θ)=cos(π2+θ)cos (−θ)tan (π+θ)sin(π2−θ)sin (π−θ)=(−sinθ)cosθtanθcosθsinθ=-tanθ= 512 ．【点评】：本题考查三角函数的定义.三角函数的诱导公式的应用.考查计算能力．20.（问答题.14分）已知函数y=2sin(2x−π3)+3 .x∈R．（1）用五点法作出函数一个周期上的简图；（2）求出函数的值域与单调区间．【正确答案】：【解析】：（1）令2x−π3分别取- π2.0. π2.π. 3π2.并算出对应的x与y的值.然后在坐标系中描点、连线即可；（2）结合正弦函数的值域与单调性.即可得解．【解答】：解：（1）五点作图法列表如下：2x−π3- π2π2π3π2x −π12π65π122π311π12y 1 3 5 3 1作出的图象如下所示：（2）因为 sin (2x −π3)∈[−1，1] .所以 y =2sin (2x −π3)+3 ∈[1.5].即函数的值域为[1.5]． 令 2x −π3∈(−π2+2kπ，π2+2kπ) .则 x ∈(−π12+kπ，5π12+kπ)，k ∈Z .即函数的单调递增区间为 (−π12+kπ，5π12+kπ)，k ∈Z ； 令 2x −π3∈(π2+2kπ，3π2+2kπ) .则 x ∈(5π12+kπ，11π12+kπ)，k ∈Z .即函数的单调递减区间为 (5π12+kπ，11π12+kπ)，k ∈Z ．【点评】：本题考查五点作图法和三角函数的图象与性质.熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键.考查学生的作图能力和运算能力.属于基础题．21.（问答题.14分）已知定点A （0.-4）.点P 圆x 2+y 2=4上的动点． （1）求AP 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点 B (−12，−1) 的直线l 与C 的轨迹交于M.N 两点.且 |MN |=√3 .求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设C （x.y ）.P （x 0.y 0）.列出 {x =x 0+02y =y 0−42x 02+y 02=4.消去参数x 0.y 0.即可得到C 的轨迹方程．（2）当直线l 的斜率不存在时.直线l 的方程为 x =−12 .验证是否满足题意.当直线l 的斜率存在时.设直线l 的方程为 y +1=k (x +12) .利用圆心距.半径半弦长的关系.求解即可．【解答】：解：（1）设C （x.y ）.P （x 0.y 0）.由题意知： {x =x 0+02y =y 0−42x 02+y 02=4.…（4分）化简得x 2+（y+2）2=1.故C 的轨迹方程为x 2+（y+2）2=1．…（6分）（2）当直线l 的斜率不存在时.直线l 的方程为 x =−12 .此时 |MN |=√3 .满足条件；…（8分） 当直线l 的斜率存在时.设直线l 的方程为 y +1=k (x +12) . 因为半径r=1. |MN |=√3 .故圆心到直线l 的距离 d =12 . 由点到直线的距离公式得 d =12=|k 2+1|√1+k2.解得 k =−34 . 直线l 的方程为 y +1=−34(x +12) .…（11分） 故直线l 的方程为 x =−12 或6x+8y+11=0．…（12分）【点评】：本题考查轨迹方程的求法.直线与圆的位置关系的应用.考查计算能力．22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=- √22sin （2ax+ π4）+ 12+b （a ＞0.b ＞0）的图象与x 轴相切.且图象上相邻两个最高点之间的距离为 π2 ． （1）求a.b 的值；（2）求f （x ）在[0. π4 ]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）函数f （x ）=- √22 sin （2ax+ π4 ）+ 12 +b （a ＞0.b ＞0）的图象上相邻两个最高点之间的距离为 π2 ⇒T= 2π2a = π2 ⇒a=2；函数f （x ）=- √22 sin （4x+ π4 ）+ 12 +b （a ＞0.b ＞0）的图象与x 轴相切⇒- √22+ 12+b=0.可解得：b=√2−12． （2）由（1）知.f （x ）=- √22sin （4x+ π4）+ √22.x∈[0. π4]⇒4x+ π4∈[ π4 . 5π4]⇒sin （4x+ π4）∈[-√22.1].从而可得f （x ）在[0. π4 ]上的最大值为√2+12.最小值为0．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=- √22sin （2ax+ π4）+ 12+b （a ＞0.b ＞0） 的图象上相邻两个最高点之间的距离为 π2 . ∴T= 2π2a = π2 . ∴a=2．又函数f （x ）=- √22 sin （4x+ π4 ）+ 12 +b （a ＞0.b ＞0）的图象与x 轴相切. ∴- √22 + 12 +b=0. 解得：b=√2−12． （2）由（1）知.f （x ）=- √22 sin （4x+ π4 ）+ √22 . ∵x∈[0. π4 ]. ∴4x+ π4 ∈[ π4 . 5π4 ]. ∴sin （4x+ π4）∈[- √22.1].∴f （x ）=- √22 sin （4x+ π4 ）+ √22 ∈[0. √2+12]. ∴f （x ）在[0. π4 ]上的最大值为 √2+12.最小值为0．【点评】：本题考查正弦函数的图象与性质.着重考查正弦函数的周期性与最值.考查方程思想与运算能力.属于中档题．23.（问答题.14分）已知函数f （x ）=2sin2x.将函数y=f （x ）的图象向左平移 π6 个单位.再向上平移1个单位.得到函数y=g （x ）的图象． （Ⅰ）求函数y=g （x ）的解析式（Ⅱ）若对任何实数x.不等式mg （x ）+2m≥g （x ）恒成立.求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若区间[a.b]（a.b∈R 且a ＜b ）满足：y=g （x ）在[a.b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a.b]中.求b-a 的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.求得函数y=g （x ）的解析式． （Ⅱ）由题意可得m≥ g (x )g (x )+2 =1- 2g (x )+2 .令t=g （x ）∈[-1.3].则 m≥1- 2t+2 .利用单调性求得1-2t+2的最大值.可得实数m 的取值范围．（Ⅲ）由g （x ）=0.求得x 的值.可得g （x ）的零点相离间隔依次为 π3 和 2π3 .结合y=g （x ）在[a.b]上至少含有30个零点.求得b-a 的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）把函数f （x ）=2sin2x 的图象向左平移 π6 个单位.可得y=2sin （2x+ π3 ）的图象；再向上平移1个单位.得到函数y=g （x ）=2sin （2x+ π3 ）+1 的图象.（Ⅱ）∵不等式mg （x ）+2m≥g （x ）恒成立.即m[g （x ）+2]≥g （x ）.∴m≥ g (x )g (x )+2 =1- 2g (x )+2 ． 令t=g （x ）∈[-1.3].则 m≥1- 2t+2． 由于函数y=1-2t+2在区间[-1.3]上单调递增.故当t=3时.1-2t+2 取得最大值为 35 .∴m≥ 35． （Ⅲ）由g （x ）=0.可得sin （2x+ π3）=- 12.可得2x+ π3=2kπ- π6.或2x+ π3=2kπ- 5π6.k∈Z ． 求得x=kπ- π4 .或x=kπ- 7π12 .即g （x ）的零点相离间隔依次为 π3 和 2π3 . 故若y=g （x ）在[a.b]上至少含有30个零点. 则b-a 的最小值为14• 2π3 +15• π3 = 43π3 ．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.函数的恒成立问题.求函数的最值.正弦函数的图象和性质.属于中档题．。
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高一数学必修二模块素养评价
(时间100分钟 ，满分100分)
2020.3.1
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共45分
1.已知平面向量a (1,1),(1,1)b ==-r r ，则向量13a-=22
b r r
( ) A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(-1，0)
D.(-1，2)
2. 计算(1+i)(2+i)= ( )
A.1-i
B.1+3i
C.3+i
D.3+3i
3.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.设i 是虚数单位，复数2i i
α+-是纯虚数，则实数α= ( ) A.2 B. 12 C. 1-2
D.-2 5.在△ABC 中，A=3
π，BC=3，
，则C 等于 ( ) A. 3或44π
π B. 34π C. 4
π D. 6
π 6.已知向量a,b r r 满足a 5,b 4==r r
，b a -=r r ，则a 与b r r 的夹角
θ等于( )
A. 56π
B. 23π
C. 3π
D. 6
π 7.在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于 ( )
A.1
B. 12
C. 13
D. 23
8．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|
＝12，则∆ABC 的形状是( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．以上均有可能
9.（多选）已知a (1,2),(3,4)b ==r r ，若a kb +r r 与-a kb r r 互相垂直，
则实数k= ( )
A.
5 B. 5-5 C. 5 D.55
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 10.已知向量a (2,6),(-1,)b λ==r r
.若a r ∥b r ，则λ=________.
11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a=13b=3，A=60°，则边c =________.
12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32sin （+）=242
B π，且a 2c +=，则△AB
C 周长的取值范围是
________.
四、解答题(本大题共2小题，共40分.
13.(20分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin （)8sin 2B
A C +=.
(1)求cos B ；
(2)若a
6c +=，△ABC 的面积为2，求b.
14.(20分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m r =(sin A ，sin B)，n r =(cos B ，cos A)，m n r r g
=sin2C. (1)求角C 的大小.
(2)若sin +sin B 2sin A C =，且·(-)=18，求边c 的长.
高一数学单元检测参考答案
2020.3.1
1.【解析】选D.因为a=(1，1)，b=(1，-1)，
所以a-b=(1，1)-(1，-1)
=-=(-1，2).
2.【解析】选B.依题意得(1+i)(2+i)=2+i2+3i=1+3i.
3.【解析】选 C.z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i，故复平面内表示复数z=i(-2+i) 的点(-1，-2)位于第三象限.
4.【解析】选B.因为=
=是纯虚数，
所以2a-1=0且a+2≠0，所以a=.
5．【解析】选C.BC=a=3，AB=c=，由正弦定理，得sin C==，又a=3，c=，所以a>c，即A>C，故C为锐角.所以C=.
6．【解析】选B.由|b-a|=可得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61，所以a·b=-10，所以cos θ==-=-，所以θ=120°.
7.【解析】选D.因为=+=+，
所以2=+，即=+.
故λ+μ=+=.
8.解析 答案 C
∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，∴∠A 的平分线所在的向量与BC →垂直，所以△ABC 为等腰三角形．又AB →|AB →|·AC →
|AC →
|
＝12，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3.故△ABC 为等边三角形． 9. 【解析】选BD.由已知a =(1，2)，b =(3，4)，若a +k b 与a -k b 互相垂直，则(a +k b )·(a -k b )=0，即a 2-k 2b 2=0，即5-25k 2=0，即k 2=，所以k=±.
10. 【解析】因为a ∥b ，所以-1×6=2λ，所以λ=-3.
答案：-3
11.【解析】a 2=c 2+b 2-2cbcos A ⇒13=c 2+9-2c ×3×cos 60°，即c 2-3c-4=0，解得c=4或c=-1(舍去).
答案：4
12.【解析】因为sin =，且角B 为三角形的内角，所以B=，
所以B=.又b 2=a 2+c 2-2accos B=(a+c)2-3ac=4-3ac ≥4-
=1，当且仅当a=c=1时，取等号，所以b ≥1，所以a+c+b ≥3；又a+c=2>b ，
所以a+c+b<4，所以△ABC周长的取值范围是[3， 4).
答案：[3，4)
13.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin(A+C)=sin B=8sin2，故sin B=4(1-cos B)，上式两边平方，整理得17cos2B-32cos B+15=0，
解得cos B=1(舍去)，cos B=.
(2)由cos B=得sin B=，
故S△ABC=acsin B=ac，又S△ABC=2，
则ac=，
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=
36-2××=4，所以b=2.
14.【解析】(1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A
=sin(A+B)，对于△ABC，A+B=π-C，0<C<π，
所以sin(A+B)=sin C，所以m·n=sin C，
又m·n=sin2C，所以sin2C=sin C，cos C=，
又因为C∈(0，π)，所以C=.
(2)由已知可得2sin C=sin A+sin B，
由正弦定理得2c=a+b.因为·(-)=18，所以·=18，
即abcos C=18，ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab，所以c2=4c2-3×36，c2=36，所以c=6.。