第六章 数值计算

一、代数方程组求解
matlab中有两种除运算——左除和右除。 对于方程ax=b，a 为am×n矩阵，有三种情 况： 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当n<m时，此方程成为“超定”方程 当n>m时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上 述三种方程
1.恰定方程组的解
【例2】分别查找下面3×4的二维数组x 中各列和各行元素中的最大值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 产生二维数组x x= 1 8 4 2 9 6 2 5 3 6 7 1 y=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大 值产生赋予行向量y y= 9 8 7 5
[y,l]=max(x) y= 9 8 7 l= 2 1 3 [y,l]=max(x,[ ],1) y= 9 8 7 l= 2 1 3 [y,l]=max(x,[ ],2) y= 8 9 7 l= 2 1 3
4、求和 命令格式有： Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋
予行向量Y；若X为向量，则Y为单变量。
Y=sum(X,DIM)： 按数组X的第DIM维的方向的
元素求其和赋予Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2， 为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一 维数组，则Y为单变量。
x=a\b x= 2.00 3.00
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九 十四足，问雉兔各几何？
[1,1;2,4] \ [35;94] = [23;12]
2.超定方程组的解
方程 ax=b ,m>n时此时不存在唯一解。 方程解 (a ' a)x=a ' b
x=(a' a)-1 a ' b —— 求逆法
例如：
x=[4 5 6;1 4 8]; y1= prod(x,1) y1 = 4 20 48 y2= prod(x,2) y2 = 120 32
7、 求累计和、累积积、标准方差与升序排序
MATLAB提供的求累计和、累积积、标 准差、方差、协方差与升序排序等函数分 别为cumsum、cumprod、std、var、cov和 sort。 这些函数调用的参数与操作方式都与上 小节的median（中值）函数基本上一样，
% 查出二维数组x中各列元素的最大值 % 及其这些元素的行下标赋予y,l 5 2 % 本命令的执行结果与上面命令完全相同 5 2 % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各行 %中进行
【例3】试取下面两个2×3的二维数组x、 y所有同一位置上的元素值大者构成一个 新矩阵p。
x=[4 5 6;1 4 8] % 产生二维数组x x= 4 5 6 1 4 8 y=[1 7 5;4 5 7] % 产生二维数组y y= 1 7 5 4 5 7 p=max(x,y) % 在x,y同一位置上的两个元素中查找出最大值 % 赋予与x,y同样大小的二维数组p p= 4 7 6 4 5 8
Y= mean(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向
的元素求其平均值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作； 若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量； 若X为一维数组，则Y为单变量。
例如：
x=[4 5 6;1 4 8]; y1= mean(x,1) y1 = 2.5000 4.5000 y2= mean(x,2) y2 = 5.0000 4.3333
x1
1 2 3
x2 = 2 3 4 2 x3
1
a
x = b
x=pinv(a)b
0.83 0.33
0
-0.17
二、 多项式运算及其求根
p x an x an 1 x
n
n 1
a2 x a1 x a0
2
借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事 情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。 一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用中如 对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多项式 ；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。 多项式函数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数， 从理论上讲，它可以表示绝大多数复杂函数。 在许多计算机的计算和编程中，很多函数值如sin(x),cos(x) 等的计算都是先将函数进行Tailor展开为多项式进行逼近计算的 ，并且都能达到很高的精度。
的中值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。
Y=median(X,DIM)： 按数组X的第DIM维方向
的元素求其中值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作； 若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量； 若X为一维数组，则Y为单变量。
【例4】试分别求下面数列x1与x2的中值。
x1=[9 -2 5 7 12]; y1=median(x) y1 = 7 x2=[9 -2 5 6 7 12]; y2=median(x) y2 = 6.5000 % 奇数个元素
方程ax=b(a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆 两种解: x=inv(a)b — 采用求逆运算解方程 x=a\b — 采用左除运算解方程
例:
x1+2x2=8 2x1+3x2=13
1 2 x1 8 = 2 3 x2 13
方程ax=b
a
x = b
a=[1 2;2 3];b=[8;13]; x=inv(a)*b x= 2.00 3.00
鉴于MATLAB无零下标，故把多项式的一 般形式表达为：
a1 x a 2 x
n
n 1
a n x a n 1
在MATLAB中可以用长度n+1的行向量表 示为：
[a1，a2， ，an，an1 ]
1. 多项式求根
命令格式：x=roots(A)。这里A为多项式的系
数A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)；解得的根赋值给数组X， 即X(1),X(2), …,X(N)。 【例6】试用ROOTS函数求多项式x4+8x3-10的根
本命令将POLYVAL函数返回的多项式的值赋 值给Y。若x为一数值，则Y也为一数值；若x为 向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其 多项式的值。
【例8】以4次多项式、分别取x=1.2和下 面的矩阵的2×3个元素为自变量计算该多 项式的值。
A=[1 8 0 0 -10]; % 例7.8的4次多项式系数 x=1.2; % 取自变量为一数值 y1=polyval(A,x) y1 = -5.8976 x=[-1 1.2 -1.4;2 -1.8 1.6] % 给出一个矩阵x y1=polyval(A,x) y1 = -17.0000 5.8976 -28.1104 70.0000 -46.1584 29.32ห้องสมุดไป่ตู้6
若已知多项式的全部根，则可以用POLY函数 建立起该多项式；也可以用POLY函数求矩阵的 特征多项式。POLY函数是一个MATLAB程序， 调用它的命令格式是： A=poly(x) 若x为具有N个元素的向量，则poly(x)建立以x 为其根的多项式，且将该多项式的系数赋值给向 量A。在此种情况下，POLY与ROOTS互为逆函 数；若x为N×N的矩阵x，则poly(x)返回一个向 量赋值给A，该向量的元素为矩阵x的特征多项 式之系数：A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)。
元素值及其该元素的位置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I 为单变量。
[Y,I]=max(X,[],DIM)：按数组X的第DIM维的方向
查取其最大的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I。
【例1】查找下面数列x的最大值。
x=[3 5 9 6 1 8] % 产生数列x x= 3 5 9 6 1 8 y=max(x) % 查出数列x中的最大值赋予y y= 9 [y,l]=max(x) % 查出数列x中的最大值及其该元素的位置赋予y,l y= 9 l= 3
【例7】试用POLY函数对例7.8所求得 的根，建立相应的多项式。
x=[-8.0194 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 1.0344];
z=poly(x) z= 1.0000 8.0000
0.0000
0.0000 -9.9996
3. 求多项式的值
POLYVAL函数用来求代数多项式的值， 调用的命令格式为： Y=polyval(A,x)
% 偶数个元素
【例5】对下面二维数组x，试从不同维方向求出其中值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 产生一个二维数组x x= 1 8 4 2 9 6 2 5 3 6 7 1 y0=median(x) % 按列操作 y0 = 3 6 4 2 y1=median(x,1) % 此时DIM=1,故按列操作,结果y1为行向量 y1 = 3 6 4 2 y2=median(x,2) % 此时DIM=2,故按行操作, 结果y2为列向量 y2 = 3.0000 5.5000 4.5000
3.欠定方程组的解
当方程数少于未知量个数时,即不定 情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解： 一个是用除法求的解，是具有最多零 元素的解 一个是具有最小长度或范数的解，这 个解是基于伪逆pinv求得的。
x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2]; x=a\b x= 1.00 0 x=
例如：
x=[4 5 6;1 4 8] x= 4 5 6 1 4 8 y=sum(x,1) y= 5 9 14 y=sum(x,2) y= 15 13
5、求平均值 mean函数调用的命令格式有： Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之
的平均值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。
2、查取最小值 min函数用来查取数据序列的最小值。 它的用法与命令格式与max函数完全一样， 所不同的是执行的结果是最小值。