线性代数xt1
线性代数第五章答案
0 0 1
解
| AE|
0 0
1 1
0 0
( 1)2( 1)2
1 0 0
故 A 的特征值为121 341 对于特征值121 由
A E 1100
0 1 1 0
0 1 1 0
1100 ~ 1000
0 1 0 0
0 1 0 0
1000
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量 p1 和 p2 是对应于特征值 121 的线性无关特征值向量
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0
记
k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr)
则 k1 k2 knr 不全为 0 否则 l1 l2 lnt 不全为 0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与 b1 b2 bnt 线性无关相矛盾
因此 0 是 A 的也是 B 的关于0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值 有公
a2,
a3)
1
0 1
1
1 1
0
1
0111
解 根据施密特正交化方法
b1
a1
0111
b2
a2
[b1,a2] [b1,b1]
b1
1 3
2311
b3
a3
[b1,a3] [b1,b1]
b1
[b2,a3] [b2,b2]
b2
1 5
4331
2 下列矩阵是不是正交阵:
1
(1)
1 2 1 3
对于特征值39 由
A
9E
8 2 3
2 8
3
333
大一线性代数知识点概述
大一线性代数知识点概述一、矩阵与行列式1.矩阵：矩阵是由一系列的数按照规则排列成的矩形阵列。
矩阵有加法、数乘和乘法等运算，还有转置等操作。
2.行列式：行列式是一个数，它可以通过矩阵的排列组合计算得出。
行列式的计算包括代数余子式、代数余子式的代数余子式等步骤。
二、向量空间1.向量：向量是由一组有序数按照一定规则组成的有方向和大小的量。
向量有加法和数乘等运算，还有长度、夹角和投影等性质。
2.向量空间：向量空间是一种由向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性，以及满足加法运算的交换律、结合律和数乘运算的结合律、分配律等性质。
3.线性相关与线性无关：向量空间中的向量可以通过线性组合来表示。
若存在一组不全为零的系数，使得线性组合等于零向量，则这组向量线性相关；否则，它们线性无关。
三、线性变换1.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘运算的保持。
2.线性变换的矩阵表示：线性变换可以通过矩阵来表示，线性变换后的向量等于矩阵与原向量的乘积。
3.线性变换的性质：线性变换保持向量空间的加法和数乘运算，还保持向量空间中向量之间的线性相关性。
四、特征值与特征向量1.特征值与特征向量：线性变换后，仍然与原向量方向相同或相反的非零向量称为特征向量，特征向量对应的比例因子称为特征值。
2.特征值与特征向量的计算：特征向量可以通过求解线性方程组得到，由此可以计算出特征值。
这些是大一线性代数的主要知识点概述。
通过学习这些内容，你可以理解矩阵和行列式的相关计算方法，掌握向量空间的基本概念和性质，了解线性变换及其矩阵表示以及特征值与特征向量的应用。
线性代数是数学基础学科，对于后续的高等数学、概率论和统计学等学科具有重要的作用。
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1
因为|A｜等于所有特征值之积又|A｜1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于（nr）(nt）n(nrt）n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使
k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0
记k1a1k2a2knranr（l1b1l2b2lnrbnr)
P[diag（1510）5diag（159）]P1
Pdiag（40)P1
。
(2)设 ，求(A）A106A95A8
解求得正交矩阵为
使得P1APdiag（115)APP1于是
（A）P（）P1P(106958)P1
P[8(E）（5E)]P1
Pdiag(1158）diag(204）diag（640）P1
Pdiag（1200）P1
(1）f2x123x223x334x2x3
解二次型的矩阵为 由
得A的特征值为122531
当12时,解方程(A2E)x0由
得特征向量(100）T取p1(100）T
当25时解方程（A5E）x0由
得特征向量(011)T取 。
当31时解方程(AE）x0，由
得特征向量（011）T取
于是有正交矩阵T(p1p2p3)和正交变换xTy使
（AE）p0，即 ，
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
工程数学线性代数第六版第一章
法3： (i1 , i2 ,, in )
数 i 前面比 i 大的数的个数
n
n
数 in1 前面比 in1 大的数的个数
数 i 前面比 i 大的数的个数
2
2
例1： 求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。
解：（法1） m1 3, m2 1, m3 0, m4 1, m5 0
(32514) 3 1 1 5
（法2） 前 后
(32514) 2 1 2 0 0 5
（法3） 后 前
(32514) 1 3 0 1 0 5
例2： 求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。 9
考虑，在 1，2，3 的全排列中
有 3 个偶排列： 有 3 个奇排列：
123，231，312 132，213，321
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国， 当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数 学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至 今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的 一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法） 则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻变换，再证一般对换。
定理2： n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占 一半，各为 n! 个。 2
a a a 其任一项可写成： 1 j1 2 j2 3 j3
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
大一线性代数知识点概述
大一线性代数知识点概述线性代数是大一学习数学的一个重要领域，它主要研究向量空间、线性映射和矩阵等代数结构及其相互关系。
在大一学习线性代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和概念，本文将对这些知识点进行概述。
一、向量及其运算向量是线性代数中最基本的概念之一。
在大一线性代数中，我们主要学习二维和三维向量。
二维向量通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
三维向量通常表示为(a,b,c)，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法和数乘运算是学习线性代数时必须掌握的基本运算。
二、矩阵及其运算矩阵也是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，在大一线性代数中，我们主要学习二维矩阵。
矩阵的加法、数乘和乘法是线性代数中常用的运算。
特别地，矩阵乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，掌握好矩阵乘法的规则对于理解线性代数的许多概念和理论具有重要意义。
三、行列式行列式是线性代数中一种重要的数学工具，用于求解线性方程组的解以及判断矩阵的可逆性。
在大一线性代数中，我们主要学习二阶和三阶行列式的计算。
行列式的计算方法有多种，例如拉普拉斯展开、三角形形式等，理解和掌握这些计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
四、向量空间向量空间是线性代数中一个基本的概念，它是由若干个向量组成的集合，并满足一定的条件。
在大一线性代数中，我们需要学习如何判断一个向量集合是否构成一个向量空间，以及如何求解向量空间的基、维数等问题。
了解向量空间的概念和性质有助于我们进一步学习线性代数的高级内容。
五、线性变换和特征值线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是一个向量空间到另一个向量空间的映射。
在大一线性代数中，我们主要关注二维和三维空间中的线性变换。
线性变换的矩阵表示和线性变换的性质是学习线性代数中的重要内容。
特征值和特征向量是线性代数中另一个重要的概念，它们在矩阵对角化和求解差分方程等问题中具有重要的应用。
线性代数知识点总结大一上
线性代数知识点总结大一上线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了多个变量之间的线性关系。
在大一上学期，我们学习了线性代数的一些基础知识点，下面将对这些知识点进行总结。
1. 矩阵和向量矩阵是由数字排列成的矩形阵列，用于表示线性关系。
向量是一种特殊的矩阵，它只有一列。
2. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数量乘法是线性代数中常见的运算。
此外，我们还学习了矩阵的乘法和转置。
3. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
解线性方程组可以使用消元法、矩阵法或克莱姆法则等方法。
4. 矩阵的行列式行列式是一个用于表示矩阵的标量值，它具有重要的几何和代数意义。
行列式的计算可以使用递推法或拉普拉斯展开等方法。
5. 矩阵的逆对于某些矩阵，存在一个逆矩阵，使得它们的乘积为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否可以使用行列式来判断。
6. 向量空间和子空间向量空间是由一组向量构成的集合，满足一定的条件。
子空间是向量空间的一个子集，同时也是向量空间。
7. 线性相关性和线性无关性向量的线性相关性与线性无关性是研究向量组内向量之间关系的重要概念。
线性相关的向量组可以通过线性组合得到零向量，而线性无关的向量组则不能。
8. 特征值和特征向量特征值和特征向量是研究矩阵变换的重要工具。
特征值表示矩阵变换的缩放因子，而特征向量表示变换方向。
9. 对角化和相似矩阵对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
10. 正交性和正交变换正交性是指向量之间的垂直关系。
正交变换是一种保持向量长度不变且保持向量之间角度不变的变换。
以上是线性代数知识点在大一上学期的内容总结。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用线性代数在数学和科学问题中的重要性。
希望这个总结对您的复习和理解有所帮助。