2.3.1直线与平面垂直的判定

我们 就说直线AB与地面垂直 A
B B1 C1 C
1.线面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l 平面 的垂线
垂足
新课讲授
l
P
直线 l 的垂面

直线与平面的 一条边垂直
(1) l为平面 的垂线
为直线
l 的垂面
A
C
A
D

B
D
B
C
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接 触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
A A
CC
A
A
D

B B
D D
B
C C
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直．
∴∠OA1B=30°，即所求为30°。
③ 3、以下命题中，正确命题的序号为______________. ①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这 个平面；②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这 条直线垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，则垂 直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；④若一条直线垂直 于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
D1 A1 B1 C1
D A B
C
例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， D （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角。 A （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
1 1
C1 B1
（1）∵在正方体中，AA1⊥平面ABCD ∴∠A1BA就是直线A1B与平面ABCD所成的角。 ∵在正方体中AA1B1B是正方形，即∠A1BA=45° ∴直线A1B与平面ABCD所成的角为45°
∴a⊥m,a⊥n ∵a//b，∴b⊥m,b⊥n 又 ∵m，n是两条相交直线 ∴ b⊥ α
a
b
n m

语言叙述:若两平行线中的一条垂直于一平面， 则另一条也垂直于此平面。
【课堂小结】
源:学_科_网]
1.线面垂直的定义 2 线面垂直的判定定理
[来
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直．
线线垂直
判定
线面垂直
定义
【反馈检测】
1、若两直线a、b与面所成的角相等，则a与b的位置关系是 2、过所在的平面α外的一点 平行、相交或异面 P，做PO⊥α,垂足为O， 连接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC，∠C=90° ,则点O是AB边的 ； (2)若PA=PB=PC，则点O是的 心； 中点 (3)若PA ⊥PB, PB⊥PC,PC⊥PA，则点O是的 心。 外心 ABCD是矩形，且 3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面 PA⊥平面ABCD， PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面 垂心 ABCD所成的角． 。
P为垂足 (2) 由定义:
l 于P
任意a , l a l l , 任意a l a
【思考一】 1、如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则直线l 和平面α互相垂直？
2、如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直 线l和平面α互相垂直？
l
α
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
P A C O
2题
∠PCA=45°
特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O
1)
P到三顶点距离相等
0是 ABC的外心 2) 对棱相互垂直
0是 ABC的垂心
PA、PB、PC两两垂直 3) P到三边AB、BC、AC距离相等 0是 ABC的内心或旁心
4、在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC. 证明： PA⊥平面ABC PA⊥BC
【典例探究】 展示与点评 例1.在三棱柱V-ABC中，VA=VC,AB=BC,O是AC的中点。 求证：（1）AC⊥平面VOB （2）VB⊥AC
[来源:]
V
O
A
C B
a
n
b
m

b ． 变式. 如图，已知 a // b, a ，求证：
例1.在三棱柱V-ABC中，VA=VC,AB=BC,O是AC的中点。 求证：（1）AC⊥平面VOB （2）VB⊥AC V
2.3.1 直线、平面垂直的判定
【学习目标】 1、借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义。 理解直线与平面垂直的定义； 2、通过直观感知，合作探究，归纳直线与平面垂直的判定定 理.并能进行初步的应用。 3、能运用简单几何体的特征描述现实生活中简单物体的结构。
重点： 合作探究并概括出线面垂直的定义和判定定理的过程。 难点：线面垂直的初步运用。
Ｐ
Ｆ Ｃ Ａ Ｂ
O
1.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证:
AC 平面BDM
D
M
2.如图，在空间四边形ABCD中, DA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE D ⊥ DB,AF ⊥ DC E 求证：EF⊥DB
F A C
A
C
O
B
B
直线与平面所成的角：
一条直线PA和一个平面 相交，但不和这个平面垂直， 斜足 这条直线叫做这个平面的斜线， 垂足 A 斜线和平面的交点A叫做斜足. O 过斜线上斜足以外的一点向平 斜线在平面 面引垂线段PO，过垂足O和斜 上的射影 足A的直线AO叫做斜线在这个 平面上的射影. 一条直线垂直于平面,
【预习自测】
1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1 A1 B1
C1
(1)与平面B1C1CB垂直的直线有：
BB1,BC,CC1,B1C1
D A B
Hale Waihona Puke C(2)与平面AA1垂直的平面有：
平面AC,平面A1C1
2、判断正误：（1）若直线 l⊥α ，直线m

α，则 l⊥m（ √ ）
（2）垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （ √ ）
问：直线与平面垂直应具有什么条件？
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面. 关键：线不在多，相交则行 图形语言
符号语言
m n mn P l l m α l n
线面垂直
l m
P
n
线线垂直
A
O
C B
D
（2）连接BC1交B1C于点O，连接A1O ∵在正方体中，A1B1⊥平面BC1 ∴A1B1⊥BC1 ∵B1BCC1为正方形，∴BC1⊥B1C 又∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，即∠BA1O就是所求的角
2 设正方体的棱长为a,则A1B= 2a ，BO= a 2 ∴sin∠OA1B=0.5，又∠OA1B∈（0°，90°）
[来源:]
（1）∵VA=VC，O是AC的中点 证明： ∴VO⊥AC 同理可证：VO⊥AC
A
O
C
∵VO∩BO=O，且VO、BO在平面VOB内 ∴AC⊥平面VOB （2）∵AC⊥平面VOB，VB在平面VOB内 ∴VB⊥AC
B
b ． 变式. 如图，已知 a // b, a ，求证： 证明：在平面α内作两条相交的直线m,n ∵a⊥α，m,n在平面α内
P
我们说它们所成的角是直角； 平面的一条斜线和它在平 一条直线和平面平行, 面上的射影所成的锐角，叫做 或在平面内,我们说它们所 这条直线和这个平面所成的角. 成的角是00的角。
直线与平面所成的角的取值范围是 [0,90]
例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角。 （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
BC⊥平面PAB AB⊥BC AD 平面PAB
AD ⊥平面PBC AD⊥PC AD⊥PB D为PB的中点 PA=AB
BC⊥ AD
证明异面直线垂直， 通常转化为证明线面垂直。
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备用练习：
1.如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是圆周上的一 点，ＰＡ垂直于⊙O所在的平面，ＡＦ⊥ＰＣ 求证：AF⊥平面ＰＢＣ．
【复习提问】
1.空间中两条直线的位置关系有哪几种?
平行、相交、异面
2.空间直线与平面的位置关系有哪些？
直线a在平面内
直线a与平面相交
直线a与平面平行
a
a
a

A
a//
a
a∩=A
问题情境
如何定义一条直线与一个平面垂直？
引入新课
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线