直线与平面垂直的判定经典例题

2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
一、基础达标
1．下列说法中正确的个数是()
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.
②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
答案 B
解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45°
C．60°D．120°
答案 C
解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α
内的射影，则BC＝1
2AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与
平面α所成的角．
4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交
答案 C
解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.
5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心
解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．
6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．
答案 4 解析
⎭
⎬⎫
P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒
⎭
⎬⎫
P A ⊥BC
AC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC . 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D . 证明 如图，连接AC ，所以AC ⊥BD .
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
二、能力提升
8．(2014·青岛高一检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
A.
6
3 B.
26
5
C.15
5 D.
10
5
答案 D
解析如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.
又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，
∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，
∴OC1⊥平面BB1D1D.
∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．
∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．
在正方形A1B1C1D1中，
OC 1＝12A 1C 1＝1
222＋22＝ 2.
在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25
＝105.
9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案
105
解析 如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO .
由已知正方体易知EO ⊥平面ABC 1D 1，所以∠EAO 为AE 与平面ABC 1D 1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12A 1D ＝2
2，AE ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＋12＝52，sin ∠
EAO ＝EO AE ＝105.所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为10
5. 10.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ， 所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ， 所以QD ⊥平面P AQ ，所以AQ ⊥QD .
①当0<a <2时，由四边形ABCD 是矩形且AB ＝1知，以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对BC 上任一点Q ，都有∠AQD <90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ；
②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；
③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D
＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
11.(2014·南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E ⊥平面AB1F.
解连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，
又D1E⊂面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
三、探究与创新
12．已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.
证明如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，
∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.
∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.
即AB⊥平面PQRO.
又∵QR⊂平面PQRD，∴QR⊥AB.
13．已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．
解过点A作AO⊥平面BCD，
连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，
∴QP⊥平面BCD.
连接CP，
则∠QCP即为CQ与平面DBC所成的角．
设四面体的棱长为a，
∵在正△ACD中，Q是AD的中点，
∴CQ＝
3 2a.
∵QP∥AO，Q是AD的中点，O为△BCD的重心，
∴QP＝1
2AO＝
1
2a
2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
3×
3
2a
2
＝1
2×
6
3a＝
6
6a，
即sin∠QCP＝QP
CQ＝
2 3.
∴CQ与平面DBC所成角的正弦值为
2 3.。