第19讲 定积分的应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
定积分的应用解析
定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。
一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。
例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。
首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。
最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。
因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。
1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。
通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。
2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。
假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。
工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。
功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分应用
(3)、 (3)、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
练习：P68 A3，A5，B4 作业题：P68 A4，A6，B3
F (x) = k q r2
（ k 是常数） 是常数） ，
当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴 处时， 移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功．
o
r
解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为
b
+q
• o
⋅• •• • a r
b
+1
• •• ⋅
b
r
kq = kq − 1 = kq 1 − 1 . w = ∫a 2dr r a a b r
4 A1 = ∫ [ x − ( − x )]dx = 0 3
1
第二块的面积： 9 x −3 28 A2 = ∫ [ x − ( )]d x = 1 2 3 32 则 总 面 积 ： A = A1 + A 2 = 3
分析 2 ： 若把围成的平面 区域看成y - 型区域：则 左曲线为： = y 2 , 右曲 x 线为： x = 2y + 3, 下直线 y = -1, 上直线为： y = 3 直接由 y 型区域面积的 计算公式得面积 2 A = ∫ ( 2y + 3 ) - y dy =10 . 3 -1
2 3
练 ： 习 1、 = sin x， = cos x在 2π]上 围 的 积 y y [0， 所 成 面 。
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a
例6 求由椭圆 绕 oy 轴旋转 体积
b 2
x y + 2 =1 2 a b
2 2
2
2
y x = a (1 − 2 ) b
y
2
b
x
V 2 = 2π ∫ x ( y )dy 0 2 b y 2 = 2π ∫ a (1 − 2 )dy 0 b
4 2 = πa b 3
a
小结 1. 用定积分算面积
2 0 2
π
A = 4ab ∫
π
2 0
1 − cos 2t dt 2 π
t sin 2t 2 = 4ab − 4 0 2
= πab
一.平面图形面积的计算 平面图形面积的计算 二.旋转体的体积 旋转体的体积
曲线 y=f (x) , x 轴 , 直线 x=a , x=b 所围图形绕旋转 得 所围图形绕旋转,得 一旋转体 , 求体积 V .
x = g1 ( y )
x = g2 ( y )
d
o
a
b
b
x
o
x
A=
∫ [f = ∫ [g
a d
2
( x ) − f 1 ( x )]dx
c
2
( y ) − g1 ( y )]dy
另一种解法： 另一种解法： 面积
=
(3,3)
1 ,3 3
∫
3
1
1 ( y − )dy y
2 3
(1,1)
第19讲 讲
定积分的应用
• 平面图形面积的计算 • 旋转体体积的计算
一.平面图形面积的计算 平面图形面积的计算
求由xy=1, y=x 及 y=3 例1 求由 所围图形的面积 解：画图求焦点
1 ,3 3
(3,3)
(1,1)
面积= 面积
3 1 ∫13 ( 3 − x )dx + ∫1 ( 3 − x )dx 1
A=
∫ [ f ( x ) − f ( x )]dx = ∫ [ g ( y ) − g ( y )]dy
a d 2 1
b
cLeabharlann 212. 求旋转体体积
V = π ∫ f ( x )dx = π ∫ y dx
2 2 a a b b
V = π ∫ g ( y )dy = π ∫ x dy
2 2 c c
d
d
3 2 2
y = x−4
y2 = 2x
(8,4)
4 2 = x 3
3 2
+
0
2 2 8
2 2 x x x − − + 4 x 2 2 3 2
( 2, −2 )
=18
解法2 解法 选 y 作为积分变量
y A = ∫ (y+4− )dy −2 2 4 2 3 y y = + 4y − 6 −2 2
x2 y2 + 2 =1 2 a b
所围面积. 所围面积
0 π/2 a 0
x=acost 则dx=-asint , y(x) =bsin t
A = 4 ∫ y( x )dx
0 a
x t
= 4 ∫π − ab sin tdt
2 2
0
= 4 ∫ 2 ab sin 2 tdt
0
π
= 4 ∫ ab sin tdt
y = − ln y 2 1
=4-ln3
求由y 例2 求由 2=2x 及 直线 y=x-4 所围图形的面积 解法1 解法 画图 求交点
( 2, −2 )
y = x−4
y2 = 2x
(8,4)
A = ∫ [ 2 x − ( − 2 x )]dx +
0
2
∫[
2
8
2 x − ( x − 4)]dx
y
x = g( y )
y
c
x = g( y )
c
d
d
o
x
o
x
分割区间 [ c , d ] 考察 [ y , y+∆y] 所对应的小片 其体积 因此
∆ V ≈ πg ( y ) ∆ y
2
y
x = g( y )
c
d
o
x
V = π ∫ g ( y )dy = π ∫ x dy
2 2 c c
d
d
例4 求 y=x2 , x=1 及 x 轴围成 的图形绕 x 轴旋转而成的立体 体积 V1.
y
y = f ( x)
o
x
a
b
分割区间 [ a , b ] 考察 [ x , x+∆x] 所对应的小片 其体积 因此
∆ V ≈ πf ( x ) ∆ x
2
V = π ∫ f ( x )dx = π ∫ y dx
2 2 a a
b
b
曲线 x=g (y) , y 轴 , 直线 y=c , y=d 所围图形绕旋转 得 所围图形绕旋转,得 一旋转体 , 求体积 V .
4 2
y = x−4
y2 = 2x
(8,4)
( 2, −2 )
=18
例3 求由椭圆 图形面积. 图形面积 解 A = 4A1
x2 y2 + 2 =1 2 a b
所围
y
b A1
o a
= 4 ∫ y ( x )dx
0
a
x
利用椭圆的参数方程 x=acost , y=bsint
例3 求由椭圆 即用换元法
x = (3 x − ln x ) + (3 x − ) 2 1
1 1 3
2
3
1 = [3 − 1 + ln ] 3
(3,3)
1 ,3 3
1 + [9 − 2 − 3 + ] 2
(1,1)
=4-ln3
换一种观点: 换一种观点
y
y = f2 ( x) y = f1 ( x )
y
c
V2 = π ∫ x dy
2 0 1
1
y = x2
= π ∫ ( y ) dy
2
1
= π ∫ ydy =
0
0 1
π
2
例6 求由椭圆 绕 ox 轴旋转 体积
a 2
x y + 2 =1 2 a b
2 2
2
2
x y = b (1 − 2 ) a
y
2
b
x
V1 = 2π ∫ y ( x )dx 0 2 a x 2 = 2π ∫ b (1 − 2 )dx 0 a
例4 求 y=x2 , x=1 及 x 轴围成的图 形绕 x 轴旋转而成的立体体积 V1.
解 V1 = π ∫0 ( x ) dx
2 2
1
= π ∫ x dx
4 0
1
=
x =π 5 π
5
5
1
0
, y 轴 , y=1围图形 例5 求由 围图形 绕 oy 轴旋转 ， 求体积 V2.
2 y=x
解 x= y