19-20学年重庆一中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年重庆一中高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2x+y+1=0的斜率是()A. −12B. 12C. −2D. 22.双曲线x2m2+5−y24−m2=1的焦距是()A. 4B. 2√5C. 6D. 与m有关3.若抛物线y2=2px(p>0)的准线为圆x2+y2=4的切线，则p=()A. 2B. 8C. 6D. 44.函数f(x)=x3−x2−x+a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于()A. 3B. 1C. 2D. −15.已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是()A. 若a//b，b//α，则a//αB. a⊥b，b⊥α，则a//αC. 若a//b，b⊥α，则a⊥αD. 若a⊥b，b//α，则a⊥α6.已知y=f(x)在R上可导，且f(1)=2，若f′(x)>2，则不等式f(x)>2x的解集为()A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)7.函数f(x)=x+x2e x的图象大致为()A. B.C. D.8.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2√2，PB⊥面ABC，M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=√3，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为()A. √105B. √155C. 35D. 459.经过点P(2,−2)，且渐近线方程为x±√2y=0的双曲线的方程是()A. x24−y22=1 B. y22−x24=1 C. x22−y24=1 D. y24−x22=110.已知定义在R上的函数f(x)=(12)|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记，，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. a<c<b11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=45，则C的离心率为()A. 35B. 57C. 45D. 6712.若方程2−alnx−2x=0的唯一解是x=1，则实数a的取值范围是()A. [−1,0]B. [−1,+∞)∪{−2}C. [0,+∞)∪{−2}D. (−∞,−1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=ax+sinx，f′(π3)=1，则a=______．14.已知函数f(x)=x3−4x2+4x+1，则f(x)的极小值点为________．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为_________。

16.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，则|PQ|=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))处的切线为2x−2y−1=0．(1)求实数a,b的值；(2)求f(x)的单调区间．18.如图，在正四棱锥P−ABCD中，F为AD的中点，E为BC的中点，M是棱PC的中点，AB=4．(Ⅰ)求证：直线PA//平面MFE；(Ⅱ)若PC=2√5，求三棱锥P−MFE的体积．19.已知点P为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，若点P的横坐标为3，且点P到抛物线C的焦点F的距离为5．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l1：x+y=0，不过原点且与直线l1垂直的直线l2与曲线C交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆恰好过原点，求△FAB的面积．20.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，E为AC的中点．(1)求证：AB⊥PE；(2)求平面APB与平面EPB夹角的余弦值．21. 已知A ，B 分别是离心率为√32的椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点与右顶点，右焦点F 2到直线AB 的距离为2√5−√155．(1)求椭圆E 的方程；(2)过M(0,2)作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ 的面积的最大值．22. 已知函数(1)若x =1是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)若f(x)⩾0在上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：(20152016)2016<1e (e 为自然对数的底数)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查直线的斜率，把直线方程化为斜截式即可得出．解：因为y=−2x−1，所以直线2x+y+1=0的斜率是−2．故选C．2.答案：C解析：解：由双曲线x2m2+5−y24−m2=1，可得4−m2>0，即有a2=5+m2，b2=4−m2，可得c2=a2+b2=9，解得c=3，即有双曲线的焦距为2c=6．故选：C．求出双曲线的a，b，由c2=a2+b2，解得c，即可得到双曲线的焦距2c．本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：∵抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，圆x2+y2=4的圆心是(0,0)，半径r=2，∴由圆x2+y2=4与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，知p2=2，解得p=4．故选：D．抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，圆x2+y2=4的圆心是(0,0)，半径r=2，由圆x2+y2=4与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，知p2=2，由此能求出p．本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．4.答案：B解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值，先求导，令f′(x)=0，解得x=1，比较极值与端点值得出最大值，即可得出a．解：f′(x)=3x2−2x−1，(舍去)或x=1，令f′(x)=0，解得x=−13又f(0)=a，f(1)=a−1，f(2)=a+2，则f(2)最大，即a+2=3，所以a=1．故选B．5.答案：C解析：解：A.a//b，b//α，则a//α或a⊂α，因此不正确；B.a⊥b，b⊥α，则a//α或a⊂α，因此不正确；C.a//b，b⊥α，则a⊥α，正确；D.a⊥b，b//α，则a⊥α，a//α，或相交，因此不正确．故选；C．利用空间线面平行与垂直的判定及其性质即可判断出正误．本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)>2x，即f(x)−2x>0，令g(x)=f(x)−2x，则g′(x)=f′(x)−2>0，∴g(x)单调递增，又f(1)=2，∴g(1)=f(1)−2=0，∴x>1时g(x)>0，即f(x)>2x，∴不等式f(x)>2x的解集为(1,+∞)，故选B．令g(x)=f(x)−2x，利用导数可判断g(x)的单调性及函数的零点，由此可得不等式的解集．该题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，根据条件恰当构造函数是解决该题的关键．7.答案：C解析：本题考查了根据函数解析式函数图象的问题，属基础题．根据f(x)解析式知x>0时f(x)>0，排除D，然后根据f(0)和x→−∞时f(x)>0，可排除B，A．解：∵f(x)=x+x2e x =x(1+x)e x，∴当x>0时，f(x)>0，故排除D，又f(0)=0，故排除B，当x→−∞时，f(x)>0，故排除A，故选C．8.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，是中档题．推导出AB⊥BC，又PB⊥面ABC，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与MN所成角的余弦值．解：∵在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2√2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又PB⊥面ABC，∴以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PB =t ，∵M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，MN =√3，∴P(0,0，t)，N(0,0，t 2)，A(2,0，0)，C(0,2，0)，M(1,1，0)，∴MN =√12+12+(0−t 2)2=√3，解得t =2，∴P(0,0，2)，Q(1,0，0)，N(0,0，1)，PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)， 设异面直线PQ 与MN 所成角为θ，则cosθ=|PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5×3=√155， ∴异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为√155． 故选B ．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程与双曲线方程的关系，考查运算能力，属于基础题． 由题意可设双曲线方程为x 2−2y 2=m(m ≠0)，代入点P 的坐标，计算即可得到．解：由渐近线方程为x ±√2y =0，可设双曲线方程为x 2−2y 2=m(m ≠0)，代入点(2,−2)得，m =4−2×4=−4，则双曲线方程为y 22−x 24=1．故选：B ．10.答案：B解析：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，根据f(x)为偶函数便可求出m =0，从而f(x)=(12)|x |，这样便知道f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据f(x)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0,+∞)上，根据f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．解：∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴(12)|−x−m |−1=(12)|x−m |−1，∴|−x −m|=|x −m|；(−x −m)2=(x −m)2；∴mx =0；∴m =0；∴f(x)=(12)|x |−1；∴f(x)在[0,+∞)上单调递减，并且a =f(log 0.53)=f(log 23)，b =f(log 25)，c =f(0)；∵0<log 23<log 25；∴c >a >b.故选B ．11.答案：B解析：本题主要考查椭圆的离心率的求法，以及余弦定理的应用．在ΔAFB 中，由余弦定理可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．解：如图所示，在ΔAFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2−2|AB||BF|cos∠ABF，∴62=102+|BF|2−20|BF|×45，化为(|BF|−8)2=0，解得|BF|=8．设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e=ca =57．故选B．12.答案：C解析：解：方程2−alnx−2x=0，设f(x)=2−alnx−2x，且x>0；则f(1)=2−aln1−2=0，∴x=1是f(x)的零点；又f′(x)=−ax −2=−a+2xx，令f′(x)=0，得x=−a2；当x>−a2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)只有一个实根1，令−a2≤0，解得a≥0；当a=−2时，f′(x)=2−2xx，当x∈(0,1)时，f(x)单调递增，x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减，f(1)是最大值，且f(1)=0，f(x)只有一个实根1；综上，实数a的取值范围是{−2}∪[0,+∞)．故选：C．由题意，设f(x)=2−alnx−2x，且x>0；求f(x)的导数，利用导数判断f(x)的单调性；从而求出f(x)有唯一零点时a的取值范围．本题考查了求函数零点的应用问题，是难题．13.答案：12解析：解：根据题意，f(x)=ax+sinx，则f′(x)=a+cosx，若f′(π3)=1，即a+cosπ3=a+12=1，解可得a=12；故答案为：12．根据题意，求出函数的导数，又由f′(π3)=1，则可得a+cosπ3=a+12=1，解可得a的值，即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．14.答案：2解析：本题考查利用导数研究函数的极值，先对函数求导，讨论单调性，可求极值点．解：由已知得f′(x)=3x2−8x+4，f′(x)=0⇒x1=23，x2=2，当23<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x<23或x>2时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，所以当x=2时，函数f(x)取得极小值，故答案为2．15.答案：√33解析：本题考查了直线与平面所成的角，属于基础题.作出图象可得∠C1AC即为直线AC１与平面ABCD所成角，与直角三角形的边角关系可得．解：连接AC，如图所示：则直线AC即为直线AC１在平面ABCD的射影，∴∠C1AC即为直线AC１与平面ABCD所成角，设正方形的棱长为a，则AC=√2a，AC′=√3a，∴sin∠C1AC=CC1AC1=√3a=√33，即直线AC′与平面ABCD所成角的正弦值为√33．故答案为√33.16.答案：8解析：本题主要考查抛物线的基本性质，考查抛物线的定义，比较基础．根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2+p2=(x1+x2)+p=6+2=8．解：抛物线y2=4x(p>0)中p=2，∵x1+x2=6，∴由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2 +p2=(x1+x2)+p =6+2=8，故答案为8．17.答案：解：，得到a =0，f(1)=b =12; ， 当x ∈(0,1e )时，f′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)的单调减区间为(0,1e )，单调增区间为(1e ,+∞)．解析：本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性方面的应用，属于中档题．(1)由f′(1)=1可求出a ，由f(1)=12可求b;(2)研究导函数的符号即可求解． 18.答案：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 为正方形，且F 为AD 的中点，E 为BC 的中点，∴EF//AB ，∵EF ⊄面PAB ，AB ⊂面PAB ，得EF//平面PAB ，∵E 为BC 的中点，M 是棱PC 的中点，∴EM//PB ，∵EM ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB ，则EM//平面PAB ，又EF ⊂面MEF ，EM ⊂面MEF ，且EF ∩EM =E ，∴平面PAB//平面MEF ，则直线PA//平面MFE ；(Ⅱ)解：在正三棱锥P −ABCD 中，由AB =4，PC =2√5，得正四棱锥的高ℎ=√(2√5)2−(2√2)2=2√3．∵M 为棱PC 的中点，∴P 到平面MEF 与C 到平面MEF 的距离相等，则V P−MEF =V C−MEF ．又V C−MEF =V M−CEF =12V M−FECD =14V P−FECD =18V P−ABCD =18×13×16×2√3=4√33． ∴三棱锥P −MFE 的体积是4√33．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(Ⅰ)由已知可得EF//AB ，EM//PB ，则EF//平面PAB ，EM//平面PAB ，由面面平行的判定可得平面PAB//平面MEF，从而得到直线PA//平面MFE；(Ⅱ)直接利用等积法求三棱锥P−MFE的体积．19.答案：解：(1)由题意可知，3+p2=5，解得p=4，所以抛物线C的方程为y2=8x;(2)设l2：x=y+m，A(x1,y1),B(x2,y2)且直线l2与x轴的交点为M，由{y 2=8xx=y+m，得y2−8y−8m= 0，Δ=64+32m>0，所以m>−2，y1+y2=8,y1y2=−8m，x1x2=(y1y2)264=m2，由题意可知，OA⊥OB，即x1x2+y1y2=m2−8m=0，所以m=8或m=0(舍)，所以直线l2：x=y+8，M(8,0)，S△FAB=S△FMB+S△FMA=12⋅|FM|⋅|y1−y2|=3√(y1+y2)2−4y1y2=24√5．解析：本题考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的关系，属于基础题目．(1)由题意解得p即可；(2)由题意设l2：x=y+m，与曲线C联立，利用韦达定理和垂直关系求解．20.答案：(1)证明：取AB的中点D，连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE//BC，∵BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；(2)解：AB⊥平面PDE，DE⊥AB，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC =3，则B(1,0，0)，P(0,0，√3)，E(0,32,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−√3). 设平面PBE 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{x −√3z =032y −√3z =0 令z =√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,2，√3)∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，设平面APB 与平面EPB 夹角大小为θ，由图知，cosθ=cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=12， ∴θ=60°，即二面角的A −PB −E 大小为60°．解析：(1)连接PD ，由等腰三角形三线合一，可得PD ⊥AB ，由DE//BC ，BC ⊥AB 可得DE ⊥AB ，进而由线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面PDE ，再由线面垂直的性质得到AB ⊥PE ；(2)以D 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE 的法向量和平面PAB 的法向量，代入向量夹角公式，可得平面APB 与平面EPB 夹角的余弦值．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答(1)的关键，而(2)的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．21.答案：解：(1)由题知，e =c a =√32，∴c =√32a ，∴b =√a 2−c 2=12a ，∴A(0,12a)，B(a,0)，F 2(√32a,0)， ∴直线AB 的方程为x +2y −a =0，∴|√32a−a|√12+22=2√5−√155，解得a =2，∴b =1， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，显然直线l 的斜率一定存在，故设直线l 方程为y =kx +2，代入椭圆方程x 2+4y 2−4=0，整理得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0，由Δ=(16k)2−4×12(1+4k 2)>0，得k 2>34，x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2， ∴|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2−31+4k 2，原点O 到直线l 的距离d =2，∴S△OPQ=12|PQ|⋅d=4√4k2−31+4k2，设t=√4k2−3，则4k2=t2+3，t>0，∴S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤2√t⋅4t=1，当且仅当t=4t，即k=±√72时，取等号，符合Δ>0，∴△OPQ的面积的最大值为1．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率求得c=√32a，b=12a，求得直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆E的方程；(2)设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|，根据点到直线的距离公式，即可求得△OPQ的面积，换元，根据基本不等式的性质，即可求得△OPQ的面积的最大值．22.答案：解：(1)∵f(x)=ln(1+x)−axx+1(a>0)，∴f′(x)=x+1−a(x+1)，∵x=1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)=0，即a=2；(2)∵f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，∴f(x)min≥0，当0<a≤1时，f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(0)=0成立，即0<a≤1，当a>1时，令f′(x)≥0，则x>a−1，令f′(x)<0，则0≤x<a−1，即f(x)在[0,a−1)上为减函数，在(a−1,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(a−1)≥0，又f(0)=0>f(a−1)，与f(x)⩾0矛盾．综上，a的取值范围为(0,1]．(3)要证(20152016)2016<1e ，只需证(20162015)2016>e ，两边取自然对数得，2016×ln 20162015>1⇔ln 20162015>12016，⇔ln 20162015−12016>0⇔ln(1+12015)−11+2015>0， 由(2)知a =1时，f(x)=ln(1+x)−x x+1在[0,+∞)单调递增，又11+2015>0，f(0)=0，∴f(12015)=ln 11+2015−11+2015>f(0)=0，则(20152016)2016<1e 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，属于中档题．(1)求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出即可；(2)问题转化为f(x)min ≥0，根据函数的单调性，通过讨论a 的范围求出a 的具体范围即可；(3)不等式两边取对数，得到ln(1+12015)−11+2015>0，结合函数的单调性证明即可．。