数学知识点人教A版高中数学必修四 2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案2-总结
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版
姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。
(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。
×2。
× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
向量概念公开课导学案答案
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段起点无关 D．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同 2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点， 则( B )
→ → A.AB与AC共线 → → C.AD与AE相等
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→ → B.DE与CB共线 → → D.AD与BD相等
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跟踪训练 4．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点
向东飞行100 2 km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50 2
km到达D点．问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？
解析：由|BC|＝100 2 ，知C在A的正北方向，
|AC|＝100 2 . 又由|CD|＝50 2 ，∠ACD＝60°
相同
D．若a与b平行同向，且|a|＞|b|，则a＞b 解析：A正确． B不正确．共线向量包括方向相同和相反． C不正确．共起点长度相等的向量方向不一定相同． D不正确．向量不能比较大小． 答案：A 点评：共线向量包括同向和反向，向量相等指向量的大 小相等方向相同，0与任意向量共线． 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
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平 面 向 量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之 间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学 习向量的认知基础． 2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、 单位向量、相等向量、共线向量．
人教版高一数学必修4平面向量的基本概念
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别(重点、难点).2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量(重点).3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念(易错点)．课前预习： 预习教材P74－76完成下面问题：知识点1向量的定义及表示1．定义：既有 ，又有 的量．2．表示：(1)有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；(2)向量的表示：【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量就是有向线段．( )(2)如果|AB →| >|CD →|，那么AB →>CD →.( )(3)力、速度 和质量都是向量．( )知识点2 向量的有关概念 向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0 单位向量长度等于1个单位 的向量 平行向量(共线向量)方向相同或相反 的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任一向量平行 相等向量长度相等 且方向相同 的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .( )(2)若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同．( )(3)零向量的大小为0，没有方向．( )课堂互动：题型一 向量的有关概念、零向量、单位向量【例1】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB →＝DC →；⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．规律方法 概念性问题的判断方法对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的．【训练1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．题型二 相等向量与共线向量【例2】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．规律方法 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．【训练2】 如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等、方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．题型三 向量的表示及应用【例3】 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile ，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile 处有一艘渔船抛锚需救助．试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移．规律方法 平面向量在实际生活中的应用生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解．解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解．【训练3】 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|．课堂反馈：课堂达标1．下列说法错误的是( )A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．下列结论正确的个数是( )(1)温度含零上和零下，所以温度是向量；(2)向量的模是一个正实数；(3)向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；(4)若|a |>|b |，则a >b ．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC→的关系是( )A ．AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C ．AB →>DC →D ．AB →<DC →4．有下列说法：①向量AB →和向量BA →长度相等；②向量0＝0；③向量AB →大于向量CD →；④单位向量都相等．其中，正确的说法是________(填序号)．5．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1．(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？课堂小结1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．。
高一数学必修4课件：2-1平面向量的实际背景及基本概念
a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
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相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
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ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
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[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
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单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
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→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
平面向量的实际背景及基本概念教学设计(范方兵)
平面向量的实际背景及基本概念北京市第二中学范方兵一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时（2.1）《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁．在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的.本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用.另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．因此，我认为本节课的教学重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量的概念.二. 学生学情分析学生在物理中已经学习了力、位移、速度等矢量的概念，认识到一些既有大小，又有方向的量，也能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础.学生在之前也学习了实数的概念及实数的运算，也学习了直线平行等知识，这都为本节课的学习作了一定的准备．北京二中是北京市示范高中，我所任教的班级学生基础比较扎实，思维有一定的灵活性.但对于向量的学习，其研究内容和研究方法都是陌生的，学生的严谨性和深刻性仍需培养．本节课的教学难点是：研究向量的基本方法.三．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1. 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3. 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．四．教学策略分析为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我采用引导启发的教学方式，通过“创设情境，引入课题——问题引领，逐步探究——阅读课本，巩固练习——归纳小结，延伸课堂”这些环节循序渐进地将问题逐步引向深入，从而完成本节课的目标．为了让学生体会引入向量的必要性，我提出一个生活中有关物理的问题，让学生直观感知，引导学生思考，并和学生一起完成一个试验，进行操作确认，最后利用TI图形计算器来进行理论分析，在这个过程中让学生体会到，我们不仅要关心力的大小，还要关心力的方向，从而为引入向量的概念作准备．在向量的表示、零向量和单位向量、相等向量、共线向量等概念的形成过程中，不急于得到结论，而是让学生充分利用向量的物理背景和几何背景，通过作出力的图示，在正六边形中画出一些具体的向量，在丰富的实例中进行概括.并且教师利用投影，图形计算器，自制教具等进行教学，让演示更直观，让探究更便捷，从而帮助学生进行理解.五．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】晾衣服的绳可不可以拉成一条直线？如果可以，那我们就可以晾更多的衣服了.师生活动：教师提出问题，并引导学生思考.设计意图：教师提出一个生活中的实际问题，学生进行直观感知、猜想、思考，激发学生学习兴趣，为下一步引出试验作铺垫.【课堂活动】师生分别握住一根绳子的一端，中间系一个重物.开始的时候，将绳的两端接近，将重物抬起，慢慢将绳的两端离远一点，将重物抬起，感受一下绳作用在手上的力的变化.师生活动：教师和学生一同演示试验，学生认真观察试验现象并进行思考，教师组织学生交流.设计意图：1.通过试验操作，进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知到操作确认的过程；2.让学生初步体会到在这个试验过程当中，起决定作用的不仅只有力的大小，还有力的方向，为向量概念的引出作准备；3.通过试验，让学生对现象背后的原理产生浓厚的兴趣，为进一步利用图形计算器进行探究作铺垫.【课堂活动】学生利用图形计算器对试验中涉及到的力的分析进行探究.师生活动：教师将课件发到学生的图形计算器上，学生利用课件进行探究，教师演示同学们的操作过程，并组织学生交流.设计意图：1.利用图形计算器进行探究，让学生完整经历由生活经验到试验操作确认，再到严谨的理论分析，提高学生分析问题解决问题的能力；2.利用动态演示，让学生能直观观察到力的合成情况，从而提高课堂效率，并进一步从理论上认识到在对实际问题的分析中，不仅要关注力的大小，还要关注力的方向.【问题2】大家能否再举出一些既有大小，又有方向的量?生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．师生活动：教师提出问题，学生回答老师提出的问题，由其他同学补充.设计意图：通过设问激活学生已有的相关经验、知识，从丰富的实例中让学生感知概念的本质特征，发现并意识到概念的非本质特征，引导学生提炼、概括向量的本质属性，形成对向量的初步认识，为进一步抽象概括做准备．1.向量的概念回顾学习数的概念，我们从一枝笔，一棵树，一本书中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以从力、位移、速度等这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的研究对象——向量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量叫做数量．（二）问题引领，逐步探究2.向量的表示【问题3】你认为怎样表示一个向量比较合理?【课堂活动】如图是一个放置在水平桌面上的物体，其受到的重力是10N，请作出物体受力的图示.师生活动：教师提出问题，并设计一个课堂活动，学生进行作图练习，教师组织大家讨论，并进行交流，学生之间进行相互补充，在此基础上得出向量的几何表示和字母表示.设计意图：1.让学生通过作图，回顾物理中是如何表示力的，进而让学生进一步体会到向量的实际背景，自觉接受向量的几何表示；2.字母表示是比较抽象的，通过回忆初中平面几何的学习中是如何表示一条线段、一条直线的，实数的学习中是如何表示一个实数的，让学生在已有的基础之上受到启发，得到向量的字母表示，并理解字母表示的抽象性；3.通过对向量的几何表示和字母表示的探讨，让学生体会从大小和方向两个角度来思考向量的问题，体会到几何表示突出向量“形”的特征，而字母表示有利于我们进行表达，为后续学习作准备.3. 特殊向量【问题4】现在我们建立起了一个向量的集合，这个集合中有没有特殊元素？师生活动：教师组织学生进行思考，并进行讨论、交流，学生思维受阻时引导学生从大小的角度类比实数进行思考，从而得到：长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单位向量．设计意图：根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴，从学生所熟知的实数的知识出发，得出零向量和单位向量的概念.在后续学习中，也可以类比实数的运算和运算律，来学习向量的运算和运算律，这样更能吸引学生不断求知的欲望，提高学生学习的兴趣．OFEDC B A4.向量的特殊关系【问题5】向量和向量之间有没有一些特殊关系呢? 【课堂活动】请同学们在图中画出一些向量（也可以自选图形），并通过你画出的向量来探索它们之间的关系．师生活动：教师提出问题，引发学生思考，让学生进行作图练习，画出一些向量，并通过画出的向量来进行探讨.组织学生进行交流、讨论，学生代表发言后由其他同学补充，逐步完善，在此过程中得出向量之间的特殊关系.学情预设：学习障碍1：学生画出了一些向量，但是不知道如何去考察它们之间的特殊关系.引导方案：引导学生认识到向量是具有大小和方向的研究对象，我们可以从大小和方向这两个角度入手，最后请学生对研究方法加以总结.学习障碍2：学生提出向量加法、减法等运算，认为这就是向量的关系.引导方案：类比实数的学习，向量加法、减法等属于运算的范畴，而不是两个向量的关系，我们可以类比实数之间的关系来探讨向量的关系.学习障碍3：学生提出两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等. 引导方案：两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等，由于涉及到向量的夹角的定义，我们放到后续去研究，可以预见，对于向量，还有很多内容等着我们去探讨，引导学生关注本节课的教学内容.学习障碍4：难以接受共线向量的概念.引导方案：在得出相等向量的概念后，教师指出“值得注意的是，由相等向量我们可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动”，从而为理解共线向量的概念奠定基础.在学生得出平行向量的概念后，教师利用自制教具来展示我们可以将一组平行向量通过平移（不改变大小和方向）到一条直线上，来让学生直观感知平行向量其实就是共线向量.最后，教师指出，共线向量和平行向量是研究向量的基础， 由此可以将一组平行向量平移（不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便.设计意图：1.通过设置开放性的问题，让学生通过作图、交流、讨论，让学生参与概念的定义过程，让概念成为学生观察、交流、概括之后的自然产物；2.在画出有关向量并且用字母去进行表示的过程中，体会数形结合的数学思想，进一步巩固向量的几何表示和字母表示，自觉应用这两种方法来对向量进行表示；3.在知识的形成过程中进一步体会从大小和方向两个角度去研究向量，形成研究向量的基本方法，培养理性思维.【问题6】向量与物理中的矢量有什么区别和联系？向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系?设计意图：和本节课开始的内容首尾呼应，让学生明确向量概念与其物理背景、几何背景的区别和联系，进一步体会向量是从实际背景中抽象出来的一个新的研究对象，抓住向量的本质特征.（三）阅读课本，巩固练习【课堂活动】阅读教材73页到76页，看看我们的讨论有没有遗漏的地方，并思考下面的例题.例如图，在方格纸上的平行四边形ABCD和折线MPQRST中，点O 是平行四边形ABCD对角线的交点，,,OA a OB b AB c，分别写出图中与===a b c相等的向量.（图附后）,,师生活动：教师指导学生阅读教材，在阅读的基础上让学生提出疑问，教师组织学生思考例题，在此过程中关注学生能否在方格纸中正确识别出向量的大小与方向, 引导学生从大小和方向两个角度去思考.设计意图：通过指导学生阅读教材，让学生重视教材，培养学生的阅读能力和自学能力，通过对例题的讨论，巩固向量的概念、向量的表示以及相等向量等概念.进一步体会从大小和方向两个角度去思考向量问题.（四）归纳小结，延伸课堂【归纳小结】教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答以下问题：（1）这节课你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，对于研究数学新对象，你有什么体会？（3）你觉得后续我们还将学习什么内容？设计意图：通过设置三个问题，回顾本节课所学知识，并且用结构图来进行展示，使得知识间的逻辑关系更清晰.通过本节课的学习，学生体会研究数学新对象的基本思路.并且作为章起始课，向学生交代本章大致学习内容和学习方法，构建研究蓝图.【布置作业】1.（必做作业）教材P77A组习题2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身.我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究.设计意图：布置课后作业，必做作业旨在落实本节课教学内容，教师鼓励学生课后根据自己的兴趣拓展相关知识，继续对问题进行研究. （五）目标检测设计判断下列结论是否正确.(1) 若,a b都是单位向量，则=a b；(2) 若=a b，则,a b是共线向量；(3) 平行向量方向一定相同.设计意图：检测学生对向量的概念、相等向量的概念、共线向量的概念的理解.。
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；
2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
复习：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；那这样的量叫什么呢？
（二）自主探究：（预习教材P74-P77）
探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有，又有的量叫做向量.
问题1：数量和向量的异同点有哪些？
探究二：向量的表示法
问题2：向量有几种表示方法？
⑴我们常用来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量
的大小，箭头的指向表示向量的方向.
⑵以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度称为
模，记作AB.有向线段包含三个要素：
⑶有向线段也可用字母如a，，表示.
探究三：几个特殊的向量
零向量：长度为的向量；单位向量：长度等于的向量.
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量
a b. 因为任一组平行向量都可以移动到同
a，b平行，记作：//
一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
问题3：如何理解零向量的方向？
探究四：相等向量：长度相等且的向量叫做相等向量，用有向线段表示
=.
的向量a与b相等，记作：a b
二、合作探究
1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
OA=，点A在点O的正北方向；
⑴3
OB=B在点O南偏东60方向.
⑵22
2、教材P75例1
学法指导：请将教材上的空白处填好。
先用刻度尺量出图上距离，
再算出实际距离。
≈；≈。
3、如下图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OD，
OE，OF相等的向量.
变式：（1）与AB 相等的向量有哪些？
（2）与相等吗？与相等吗？ 三、交流展示
1、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、下列说法中正确的有（ ）个
⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的； ⑷零向量只能与零向量平行. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3、下列说法中正确的是
①若//a b ，则a b =； ②若a b =，则a b =； ③若a b =，则//a b ； ④若a b =，则a b =. 4、下列说法中正确的有
①向量可以比较大小； ②零向量与任一向量平行； ③向量就是有向线段； ④非零向量a 的单位向量是
a a
.
5、如右图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中， 找出与向量DE 平行的向量.
四、达标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1、下列说法正确的是（ ）.
A ．向量A
B 与向量BA 的长度不等 B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同
C ．零向量没有方向
D ．任一向量与零向量平行 2、在四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( ) . A.AD 与CB B.OB 与OD C.AC 与BD D.AO 与OC
3、边长为3的等边ABC ∆的底边BC 上的中线 向量AD 的模AD 为 .
4、四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形. ⑴与向量ED 相等的向量有哪些？ ⑵若3AB =，则向量EC 的模等于多少？
B 组：1
、若AB AD =，且BA
CD =，则四边形ABCD 的形状为（
）. A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形 2、下列命题中，说法正确的有
C
B
A
C
①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ； ③若a b =，则a b =或a b =-；
④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点. 3、在正方体''
'
'
ABCD A B C D -中，与AB 平行的向量有哪些？。