一类广义的无限维Virasoro李代数
李代数
设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g,定义 k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵 型在研究李代数的结构中起重要的作用。
表示
令g是域F上一个李代数，V是F上一个线性空间。李代数的一个同态ρ: g→g{(V)，称为g在V上的一个线性表 示，简称表示。用(ρ,V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g{(V)与 g{(n,F)看成一样,于是就得到一个代数同态ρ: g→g{(n,F)，仍记作ρ，称为g的一个矩阵表示。如果g的一个 表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实 表示。
抽象定义
设F是特征为0的域，L是F上的线性空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件， 则称L是一个李代数。
（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。 （2）[x,x]=0，对任意x∈L。 （3）雅可比恒等式：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z∈L。 首两个条件蕴含反对称性[x,y]=-[y,x]。
【国家自然科学基金】_导子李代数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 8 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 n-李代数 量子环面 自同构群 等距变换群 李群 李代数 导子代数 导子 基 分类 关联集
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 量子环面 李代数 导子代数 导子 逆步李代数 自同构群 泛中心扩张 斜导子 不变对称双线性型 一阶上同调群 leibniz二上同调群 kac-moody代数 block型李代数
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 李代数 非线性映射 非线性强积零导子 极大环面 可解完备李代数 单李代数 保强交换性 hom-李代数 3-李代数
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2011年 科研热词 导子 n-李代数 导子代数 除幂代数 超导子 自同构群 第一类李拟代数 李代数 张量积 广义witt代数 幂零性 子代数 可解性 可解 反对称双线性函数 s.a.n-李代数 killing型 hypo -幂零理想 heisenberg 3-李代数 推荐指数 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号
（基础数学专业论文）量子顶点代数的结构及其表示理论
中国科学技术大学博士学位论文量子顶点代数的结构及其表示理论姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：李海生； 苏育才2010-06摘要摘要在本论文中,我们主要研究M¨o bius非局部顶点代数上的不变双线性型, M¨o bius量子顶点代数的正则表示,以及与椭圆仿射李代数相关的顶点代数.顶点算子代数上的不变双线性型首先由Frenkel-Huang-Lepowsky[FHL]引入并作了相关的研究.H.Li[Li1]系统研究了顶点算子代数上的对称不变双线性型,并且给出了顶点算子代数上非零对称不变双线性型存在性的判断准则.随后, N.R.Scheithauer[Sc]研究了带有Virasoro元素的顶点超代数上的不变双线性型, H.Tamanoi[T]研究了顶点算子超代数上的对称不变双线性型,以及M.Roitman [R]对顶点代数上的不变双线性型也作了一些研究.在本文的第3章中,我们研究了M¨o bius非局部顶点代数上的不变双线性型,给出了M¨o bius非局部顶点代数上非零不变双线性型存在性的判断准则,我们的结果推广了以上结论.下面是本论文的第一个主要定理:定理1:设V是一个M¨o bius非局部顶点代数,f是V(0)上的线性函数.通过定义f(V(n))=0,对于n=0,把f线性扩张成V上的线性函数.对于任意u，v∈V,定义V上的双线性型(u,v)=Res x x−1f (Y(e xL(1)(−x−2)L(0)u,x−1)v)且(1,u)=f(u).那么这个双线性型是不变的当且仅当L(1)V(1)⊆ker f.进一步地,V上不变双线性型组成的空间自然地同构于V(0)/L(1)V(1)的对偶空间.在[Li4]中,Li发展和研究了顶点算子代数的正则表示,并把正则表示用于研究Zhu的A(V)-理论、顶点算子代数的诱导模[Li5]和Huang-Lepowsky的张量函子[Li6]等理论,从而取得了一系列有意义的结果.在本论文的第4章中,我们研究了M¨o bius量子顶点代数的正则表示.给定M¨o bius量子顶点代数V, V-模W以及非零复数z,D P(z)(W)是W∗的一个子空间,Y P(z)(·,x)是从V⊗V 到(End D P(z)(W))[[x,x−1]]的(惟一)线性映射.下面是本论文的第二个主要定理.定理2:有序对(D P(z)(W),Y P(z))带有一个自然的(V⊗V)op-模结构.类似于仿射李代数,椭圆仿射李代数也是由有限维单李代数构造得到的一类无限维李代数.另一方面,椭圆仿射李代数和仿射李代数都是Krichever-II摘要Novikov代数([KN1,KN2])的特殊例子.我们知道,仿射李代数可以构造一类重要的顶点代数(见[Bo1,FLM,FZ,DL]).在本论文的第5章中,我们用顶点代数的工具来研究椭圆仿射李代数.设g是C上(可能是无限维)的李代数,g1是同构于g的线性空间.对于每个多项式p(x)∈C[x],我们在C上构造一个李代数ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k,某种意义上它是椭圆仿射李代数ˆg e的推广,并且我们在C((z))上还构造了一个李代数ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k.然后我们构造了一个与ˇg p和复数ℓ相关的顶点C((z))-代数Vˇg(ℓ,0).下面是本论文p的第三个主要定理.(ℓ,0)-模结构,满定理3:在水平ℓ的任意限制ˆg p-模W上,存在惟一的0-型Vˇgp足Y W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)对于a∈g.(ℓ,0)-模.则W是水平ℓ的限制ˆg p-模,其中另一方面,设(W,Y W)是0-型Vˇgpa(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)对于a∈g且k以常量ℓ作用在W上.关键词：M¨o bius非局部顶点代数;M¨o bius量子顶点代数;椭圆仿射李代数;双线性型;正则表示;限制模III摘要Novikov代数([KN1,KN2])的特殊例子.我们知道,仿射李代数可以构造一类重要的顶点代数(见[Bo1,FLM,FZ,DL]).在本论文的第5章中,我们用顶点代数的工具来研究椭圆仿射李代数.设g是C上(可能是无限维)的李代数,g1是同构于g的线性空间.对于每个多项式p(x)∈C[x],我们在C上构造一个李代数ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k,某种意义上它是椭圆仿射李代数ˆg e的推广,并且我们在C((z))上还构造了一个李代数ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k.然后我们构造了一个与ˇg p和复数ℓ相关的顶点C((z))-代数Vˇg(ℓ,0).下面是本论文p的第三个主要定理.(ℓ,0)-模结构,满定理3:在水平ℓ的任意限制ˆg p-模W上,存在惟一的0-型Vˇgp足Y W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)对于a∈g.(ℓ,0)-模.则W是水平ℓ的限制ˆg p-模,其中另一方面,设(W,Y W)是0-型Vˇgpa(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)对于a∈g且k以常量ℓ作用在W上.关键词：M¨o bius非局部顶点代数;M¨o bius量子顶点代数;椭圆仿射李代数;双线性型;正则表示;限制模IIIABSTRACTABSTRACTIn this thesis,we study invariant bilinear forms on M¨o bius nonlocal vertex alge-bras,regular representations of M¨o bius quantum vertex algebras,and vertex algebras associated with elliptic affine Lie algebras.I.Frenkel,J.Lepowsky and Y.Huang[FHL]studied invariant bilinear forms on vertex operator algebras thefirst time.H.Li[Li1]has systematically studied sym-metric invariant bilinear forms on vertex operator algebras and gave a criterion for determining the existence of nonzero symmetric invariant bilinear forms on vertex op-erator algebras.In[Sc],N.R.Scheithauer studied invariant bilinear forms on vertex superalgebras with Virasoro element.Invariant bilinear forms on vertex algebras and vertex operator super algebras have been studied by M.Roitman[R]and H.Tamanoi [T]respectively.In Chapter3,we define the invariant bilinear forms on M¨o bius nonlo-cal vertex algebras slightly different and give a criterion for determining the existence of nonzero invariant bilinear forms on M¨o bius nonlocal vertex algebras similarly.Our first main result is the following theorem.Theorem1:Let V be a M¨o bius nonlocal vertex algebra,and let f be the linear functional on V(0).And we extend f to be a linear function on V by defining f(V(n))= 0,for n=0.We define a bilinear form on V satisfies(u,v)=Res x x−1f (Y(e xL(1)(−x−2)L(0)u,x−1)v)and(1,u)=f(u),for u,v∈V.The bilinear form determined by f is invariant if and only if L(1)V(1)⊆ker f.Furthermore,the space of invariant bilinear forms on V is naturally isomorphic to the dual space of V(0)/L(1)V(1).In[Li4],Li studied regular representations of vertex operator algebras.The reg-ular representation has been used to study Zhu’s A(V)-theory,induced modules[Li5] and tensor functors for vertex operator algebras[Li6].In Chapter4,we study regular representations for M¨o bius quantum vertex algebras.Given a M¨o bius quantum vertex algebra V,a V-module W and a nonzero complex number z,we define a canonicalIVABSTRACTsubspace D P(z)(W)of W∗and the(unique)linear map Y P(z)(·,x)from V⊗V to (End D P(z)(W))[[x,x−1]].Our second main result is the following theorem.Theorem2:The pair(D P(z)(W),Y P(z))carries the structure of a(V⊗V)op-module.Elliptic affine Lie algebras,similar to affine Lie algebras,are a family of infinite-dimensional Lie algebras associated withfinite-dimensional simple Lie algebras.Both elliptic affine Lie algebras and affine Lie algebras are special examples of general Krichever-Novikov algebras([KN1,KN2]).It has been long known(see[Bo1, FLM,FZ,DL])that affine Lie algebrasˆg can be canonically associated with vertex algebras.In Chapter5,we study elliptic affine Lie algebras in the context of ver-tex algebras and their modules.Let g be a(possibly infinite-dimensional)Lie algebra over C and g1be a vector space isomorphic to g.For each polynomial p(x)∈C[x],ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k is a Lie algebra over C which generalizes elliptic affine Lie algebraˆg e in a certain way,ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k is a Lie(ℓ,0)is a vertex C((z))-algebra associated withˇg p and a algebra over C((z)),and Vˇgpcomplex numberℓ.Our third main result is the following theorem.Theorem3:For any restrictedˆg p-module W of levelℓ,there exists a unique(ℓ,0)-module such thatstructure Y W of a type zero VˇgpY W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)for a∈g.(ℓ,0)-module.Then W is a restricted On the other hand,let(W,Y W)be a type zero Vˇgpˆg p-module of levelℓwitha(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)for a∈gand with k acting as scalarℓ.Keywords:M¨o bius nonlocal vertex algebras;M¨o bius quantum vertex algebras;ellip-tic affine Lie algebras;bilinear forms;regular representations;restricted modulesV关于编号和符号的说明关于编号和符号的说明在本文中，如无特别说明,我们遵循项目编号:在全文中,引理,命题,定理,定义等项目按先后顺序,用三个数码统一编号:第一个数码表示项目所在的章,中间的数码表示所在的节,最后一个数码表示项目在该节中的顺序,不同数码之间用小圆点隔开.文中再引用时,采用项目名加编号的形式.公式编号:在全文中,公式用带有圆括号的两个数码编号:前一个数码表示公式所在的章,后一个数码表示公式在该章中的顺序,两个数码之间用小圆点隔开.引用时,直接用带有圆括号的公式编号.符号:文中默认的符号如下N——————自然数集Z——————整数环Q——————有理数域R——————实数域C——————复数域I中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。
无穷维对称性
20
无穷维对称性2002/11/23
谢谢！
21
4.Beltrami代数作为复形变和拟共形代数完备吗？
三、 多极点Virasoro代数
9
无穷维对称性2002/11/23
问题
问题1， 为什么共形代数（未做中心扩张）生
m 1d
Lm(z)z,mZ ?
成元是：
在S2上，做坐标变换，
说明未做中心扩张生成元是S2上带有两个极点
Lm(z) zm 1d
wm 1
d
f是2维时空中的同胚变换
复特征
F(Z0)
Zf (z0)
zf (z0)
1
|
f(z0) |
伸缩比Df(z0)
|
f(z0) |
1
4
无穷维对称性2002/11/23
定义1（C1拟共形变换）：
(1). |
f
( z ) | 1
(2).D
f
( z )
K
把圆变为椭圆，长短轴比有上界
定义2（C1拟共形变换）：Beltrami方程，
(n 1)Lm n.
m
1
z
, i , j 1, 2
( z
z )n 1
z
[ L(mi), L(nj )], L(kl )][L(nj ), L(kl )], L(mi),][L(kl ), L(mi),], L(nj ),]0
做中心扩张，Jacobi关系
一种方法是解方程：求2阶同调群，
（m-n）(m+n,k,)+(n-k) (n+k,m)+(k-m) (k+m,nk)=0
m] 0 , [ c, Lk] 0, k
数学中的李代数学
数学中的李代数学李代数学是一门数学分支，它研究李代数的性质和结构。
李代数是一种代数结构，它由一个实或复数域上的向量空间以及一个二元运算所组成。
李代数的研究对于数学和物理学的发展都具有重要意义。
本文将介绍李代数的基本概念、性质及其在数学和物理学中的应用。
一、李代数的基本概念李代数是由域K上的向量空间L和一个满足以下条件的二元运算所组成：1. 加法运算：对于所有的a,b∈L，有a+b∈L；2. 标量乘法：对于所有的a∈L，k∈K，有ka∈L；3. 李括号运算：对于所有的a,b∈L，有[a,b]∈L。
李括号运算是李代数的核心运算，它满足以下条件：1. 反对称性：对于任意的a,b∈L，有[a,b]=-[b,a]；2. 李-雅可比恒等式：对于任意的a,b,c∈L，有[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0。
二、李代数的性质1. 零元素：李代数中存在一个元素0，对于任意的a∈L，有a+0=a。
2. 负元素：对于任意的a∈L，存在一个元素-b使得a+b=0。
3. 不可约性：李代数中不存在非平凡的不变子空间。
三、李代数在数学中的应用李代数在数学中有许多应用，其中最为著名的是在李群的研究中。
李群是一种具有连续群结构和光滑结构的数学对象。
李群和李代数之间存在紧密的联系，通过李代数的结构可以揭示李群的性质。
另外，李代数还在微分几何、代数几何和数学物理等领域有广泛的应用。
比如在微分几何中，李代数用于研究流形的切空间；在代数几何中，李代数可以用于研究代数簇的切矢量场；在数学物理中，李代数是描述对称性和守恒量的重要工具。
四、李代数在物理学中的应用李代数在物理学中也有着广泛的应用。
物理学家利用李代数的表示理论来研究物理系统的对称性和守恒量。
例如，角动量代数、洛伦兹代数和超对称代数都是李代数的例子，它们在量子力学和粒子物理学中发挥着重要的作用。
此外，李代数还在统计物理学、弦论和凝聚态物理学等领域中得到广泛应用。
秩为2的Virasoro-型李共形代数
李共形 代数 的同态 、理 想和子代 数的定 义可类似 于普通 代数一 样定义 ．如果李共 形代 数作 为 ｃ ．模 是有 限生成 的，我 们称其 为有 限的．李共形 代数 的秩指 的是它 作 为 ｃ 一模 的秩，记 为 ｒｋ（Ｒ）．我们说 此李 共形 代数 是无 挠 的，指 的是 它作 为 ｃ 一模 是无 挠 的．因为 ｃ［ｏ］是主理想整环，有限的无挠的李共形代数 作为 ｃ 一模是 自由的．并且我们记 Ｒ的 作 为 Ｃ ．模 的挠子模 为 ＴｏｒＲ．
此 外，从 纯代 数角 度看 ，共 形代 数是 个 十分 有趣 的主 题．我们 可 以来定 义一 些常见 代 数 的共 形代 数对 象，比如 李共 形代 数 和结 合共 形代 数等 ．共 形代 数 的理论 为相 应 的无 限维 代数的分类提供了新的方 向．特别地，李共形代数为满足某种局部性［０】的无限维李代数的 研 究提供 了强有 力 的工具 ．
在整篇 文章 中，记复 数域 为 ｃ；Ｎ 为 自然数 的集 合，即 Ｎ＝ ｛０，１，２，… ）；ｚ为整 数 的集 合．
２ 李共形代数
在这 一章 中，我 们会对 李共形 代数 的一些 定义 和结论 进行 回顾．这些事 实可 以参考 文 ［３］．
定义 ２．１ 李共 形代数 Ｒ是 Ｃ【 一模 ，且带有 ｃ一双 线性 映射 ［ ］（我们称 其为 一括号）： Ｒ ×Ｒ ＿÷Ｒ ，这 里 的 Ｒ ＝Ｒ④Ｃ［ 是系数 在 Ｒ 中的关于 的多项 式构 成的 空间，且 满 足
q-类似Virasoro-like代数模的导子
ｏｎ ｍ） “ ，ｆｎｍ） 一 。 （， ＝ｑ。 （． ＝ｑ。 ｍ ， 其 中 ｎ＝ 礼 ｅ ＋ｒｅ，ｍ ＝ ｍｌｌ ＇ ｅ ｌｌ Ｌ ２ ２ ｅ ＋￣２２∈Ｆ 接 着记 ｒ １ １ ． ＝ ｒ＼ ， ｍ）＝ ａｚ 则 ０ Ｄ（ ｄ ， ｛ ｍ） ｍ ∈ｒ ｝ ｛ｌ ｄ） 成 ｇ Ｄ（ Ｉ Ｕ ｄ， ２ 构 的一组基 ，而且 Ｊ（ 是 的 ｍ ≠０次空间 的 ［ ｍ） ） 基 ， ｄ， ２ １ ｄ 则是 ｑ 的零 次 空间的 一组基 ．此外 ，在 。 上有下 列李运算成立： （ ， ｎ］ （ ｎＤ（ ＋ｎ ， ｍ）Ｄ（）＝９ｍ， ） ｍ ） 【 ， ｍ）＝一Ｄ ｍ） ｉ＝ｍ Ｄ（ ， ｉ ，， ｄ Ｄ（ 】 【 （ ， 】 ｉ ｍ） ＝１２ ｉ ｄ
关键词 ｑ 类似 Ｖｉ ｓｒ－ｋ 代数；导子 ；一上同调群 ． ｒ ｏｏｌ ｅ ａ ｉ 中图分类号 ０ １３３ ５ ． 文献标识码 Ａ
１ 引 言 பைடு நூலகம்
记 ＣＩ 为复数域上的非交换罗朗多项式环且满足关系 ＸＸ ＝ｑｌ２其中 ，手１ ｚ ２ｌ ＸＸ，
ｑ ∈Ｃ ＝Ｃ＼ 为非单 位根 ．记 为 ０ ， 】 内导子 代数 ， Ｄ ｍ） ｄ ｍ ＝ 的 则 （ ＝ａ ， ｚ （ ， ） ０ ｍ１ｍ２ ∈Ｚ ＼ 张成 向量空 间 的一组基且有 【 ｍ） ＝ｎ】 ｑ － 丌 忱） ｍ＋ ） Ｄ（ ，） ）＝（ ｊ（ ｍ ｑｕ Ｄ（ ｎ ， 其 中 ｍ ＝（ ， ） １札） 。 ０ ｍ１ ｍ２， ｎ＝ ，２ ∈Ｚ ＼ ， ＝ ｚ ｚ ， 为 口 一类似 Ｖｒ ｏｏ ｉ 代 ｉ ｓｒ－ ｅ ａ ｌ ｋ 数 ．记 口 ０Ｃ ｌ ｄ， 中 ｄ ，２ ＝ ｄ ０ｃ ２其 １ｄ 为 的度 导子 ．文 【 证 明了 ｑ ２ 】 同构 于 的 导子 李代数．
罗巴李代数同态的形变理论
罗巴李代数同态的形变理论
张静茹;杜磊;赵志兵
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2024(62)3
【摘要】通过构造罗巴李代数同态的上同调复形,讨论罗巴李代数同态的形式形变,并证明当形变复形的二阶上同调群为0时,罗巴李代数同态是刚性的.
【总页数】7页(P473-479)
【作者】张静茹;杜磊;赵志兵
【作者单位】安徽大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O154.2
【相关文献】
1.无中心Virasoro李代数的自同态
2.一类无限维李代数的同构与同态
3.一些特殊项链李代数的同态
4.相容BiHom-李代数的表示及BiHom-李代数的形变
5.李代数上复结构的形变问题的研究——关于形变等式的研究
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第２８卷第１期 ２０１５年３月 湖南理工学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＨｕｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｒＮａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ＶＯｌ＿２８ ＮＯ．１
Ｍａｒ，２０１５
一类广义的无限维Ｖｉｒａｓｏｒｏ李代数
余德民１，李炳君２ （１．湖南理工学院数学学院，湖南岳阳４１４００６； ２．湖南人文科技学院数学与应用数学系，湖南娄底４１７０００）
摘要：构造了一类的无限维李代数，这类李代数是Ｖｉｒａｓｏｒｏ．１ｉｋｅ李代数的推广，同时研究了这类李代数同构和同态， 理想． 关键词：理想：同构；同态 中图分类号：Ｏ１５２．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－５２９８（２０１５）０１－０００７—０３
Ａｎ Ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｖｉｒａｓｏｒｏ Ｌｉｅ Ａｌｇｅｂｒａ ＹＵ Ｄｅ—ｍｉｎ ．ＬＩ Ｂｉｎｇ－ｊｕｎ２ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙｕｅｙａｎｇ ４１４００６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｈｕｍａｎｉｔｉｅｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｌｏｕｄｉ ４ １ ７０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ ｉｓ ｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄ ｏｆＶｉｒａｓｏｒｏ－ｌｉｋｅ ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ．Ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ，ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ，ｉｄｅａｌｓ ｏｆｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｄｅａｌ；ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ；ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ
引言 无限维Ｖｉｒａｓｏｒｏ李代数已经成为研究热点，文献［１～４］详细讨论了这类的无限维李代数．本文作者曾 研究了Ⅵｒａｓｏｍ李代数及其衍生的ｖｉｒａｓｏｒ０李代数 ．设ｇ为ｃ上线性空间，其基向量为 ，６２， ，６４， ， ， ，６８）
（ ６Ｉ为整数， ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８）），ｇ＝０ （ ， ，６３， ， ， ， ， ），在ｇ上定义李运算为
［ 如 ），厶６ｌ， ，６３， ，ｂ５，６６， ， ： ［（口５＋ａ６＋ａ７＋ａ８）（ ＋ ＋ ＋ ）一（ ＋ ＋ ＋ｂｓ）（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）］ 厶 。＋６１，。 ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋魄，口，＋６７， ＋ ）． 然后在基上双线性扩张，可验证运算满足反对称性和Ｊａｃｏｂｉ恒等式，从而譬为无限维李代数．李代数 ｇ在非交换几何及奇点理论、量子群等领域有着重要的应用．本文主要研究了这类李代数ｇ的同构与同态．
主要结果 构造ｇ中映射如Ｆ： ｆ：ｇ— ｇ，厂（厶 。， ， ，４４， ， ， ７，唧））＝ （口２ ， ，Ⅱ４，。５，口６， ７， ８），ＶＬ（４ｌ，Ⅱ２，啦，Ⅱ４，如， ６， ７， ）∈ｇ， ：ｇ— ｇ， （厶ｑ｝ａ２一 ， 嘞））＝ 口２１ ， ， ， ），ＶＬ（ ％， ８）∈ｇ， ：ｇ— ｇ， （厶 ， ， 如））＝厶 比ｌＩ 口６１ ），ＶＬ（ ８）∈ｇ， Ｉ厂， ， 在ｇ的基向量厶 ‰唧 ）上线性扩张． 定理１ ｆ， ， 是ｇ的同构．
收稿日期：２０１４．１１－２４ 基金项目：湖南省教育厅一般项目（１４Ｃ０５２３）；湖南省重点建设学科建设项目 作者简介：余德民（１９７５一），男，湖南常德人，博士，湖南理工学院数学学院副教授．主要研究方向：李代数、代数表示论 ８ 湖南理工学院学报（自然科学版） 第２８卷 证明．厂是单射又是满射，又可验证
厂（【厶ｑ， ’口７，魄）， ６ｌ，６２，岛， ， ， ， ， ）】）＝Ｉｆ（Ｌ（ 卿栩）），厂（ ６Ｉ，６２， ，ｋ， ，６６，６７， ））］． 从而对Ｖｘ，Ｙ∈ｇ，－厂（［ ，．ｙ］）＝【厂（ ），厂（ ）］，显然 ， 是同构． 构造ｇ中映射如下 ：ｇ— ｇ， （丘 ， 唧， ））＝ ｑ ， 口６， ），ＶＬ（ ， 。８）∈ｇ， 厂４：ｇ— ｇ， （厶 ， ２， ， ， ６，。７， ８））＝厶 ２， ，ｑ， ，如， ６，唧， ），ＶＬ（ｑ， ２， ， ４， ， ，唧， ）∈ｇ，
， 分别在ｇ的基向量 上线性扩张．设ｇ的恒等自同构为Ｐ． 在映射集Ｈ＝｛Ｐ，ｆ， ，厂２， ，厂４｝中引入映射的普通乘法，即映射的合成。．ｖｆ，， ∈Ｈ，
。ｆｊ（Ｌ（ ，，。 ， ， ， ， ， 埔））＝ （ （ ｑ，。：， ， ，如， ，唧 ））），ＶＬ（
， 抽， ，。 ，口６， ， ）∈ｇ．
定理２设映射集Ｈ＝｛Ｐ，ｆ， ， ， ， ｝在上述的乘法运算下，同构于对称群 ． 证明是的元素分别为（１３２），（１２３），（２３），（１２），（１３），和单位元占，建立映射 Ｆ：Ｈ ． 因为厂 （１２）， －－）（１３）， （１３２）， （２３）， （１２３），ｅ ，经验证可知， 和对称群 同构． 构造ｇ上的自同态映射如下：
． ：ｇ ｇ， ｆ５（Ｌ（ … ） 一 。… … （ｎｌｎ２：／：０）， 地幽…曲 ∈ｇ，
在ｇ的基向量厶 心 ）上线性扩张． 定理３ 是ｇ的单自同态． 证明显然 为ｇ上的单射，Ｖｘ，Ｙ∈ｇ， （［ ，Ｙ］＝［ （ ）， （ ）］）． 在定理３中，单自同态 有如下特殊情形： 当ｎ ＝Ｉ，ｎ：＝ｌ时， 为恒等同构，记为ｅ，当ｎ。＝ｌ，ｎ ＝－１时， 为同构，记为 ； 当ｎ ＝一ｌ，ｎ：＝１时， 为恒等同构，记为 ，当ｎ。＝一１，，ｚ ＝一１时， 为同构，记为 定理４映射集｛Ｐ， ， ， ）在上述的乘法运算中，同构四元交换群． 证明ｅ为单位元，显然 ｛６ｆ ＝｛ ｛ ＝｛ ，｛ ｛ ＝｛ ｆ ＝｛ ，｛ ｛ ＝｛ ｛ ＝｛ ｛ ：ｅ，ｆ ＝ｅ，｛ ＝ｅ． 故定理４成立． 定理５设ｇ５是所有 ，６２，６３， ， ，６６， ，６８）＋ ｈ１，６２＋１，岛，６４，６５，６６，６７，６８）（ ∈ｚ，
限维线性空间，即 ｇ５＝０ｃ（ ，６２，乜， ，６ｓ，６６， ，６８）＋厶ｂ￣－ｌ，ｂ２＋ｌ，６３，缸， ， ， ，６８））（ ∈ｚ， 则ｇ 是ｇ的非零真理想，ｇ也不为单李代数． ｉ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８｝）张成的无 ｉ∈｛ｌ，２，３，４，５，６，７，８）），
证明先证岛为理想，因为 Ⅱ７１ ∈ｇ， ［ 岛， ，岛，岛， ， ，岛， ）＋厶岛一１，也＋】，占３，缸， ，魄，岛， ），厶 ，如，口３｜ ％ ， ）］＝
［（ ＋ ＋ ＋ｂｓ）（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）一（ａ５＋口６＋ａ７＋ａ８）（６ｌ＋６２＋ ＋ ）】 （‘岛＋ ，６２＋ ２，６３ ， ＋。４，６５ ， ＋ ，唧＋ ， ＋ ）＋厶 ＋ａ１－１，如＋ ２＋１，６３ ， ＋ ，６ｓ＋口５，ａ ＋６６， ７＋６７，ａｓ＋ｂ８））∈ｇ５・ 显然 是真理想，故定理５成立． 定理６厶－２，ｌ＇ｌ＿。，ｏ，ｏ．ｏ．０）张成的一维子空间是ｇ的一维交换理想，于是ｇ也不为半李单代数． 证明因为ＶＬ（ ）∈ｇ，［厶 Ｉｏ１０１０１０１０）厶 ）］＝０，所以ｇ不为半单李代数． 显然，ｃ（ｇ）为向量厶 ）ｌａ４， ＋％＋嘶））（Ｖａ。，口：，口 ， ， ，口 为整数）张成无限维李子代数． 第１期 余德民，等：一类广义的无限维Ｖｉｒａｓｏｒｏ李代数 ９ 定理７设整数矩阵 ｌ曼 ＝＿耋二主二至三二≥：三 銎 的秩ｒ（Ｍ）＜２，则由基向量
厶Ⅱｌ１ ，…，厶。 张成的子空间是ｇ的交换子代数． 证明由于秩ｒ（ ）＜２，所以ｒ（Ｍ）＝０或ｒ（Ｍ）＝１． 当 （Ｍ）＝０时，矩阵Ｍ的每一个行向量都为零，Ｖｉ有ｎ ＋以 ＋以 ＋口 ＝０， ‘＋以＾＋ ＋口ｂ＝０，
从而由基向量 厶 ２确３， 栩５， 确７，‰），三（口２１ ２，％， ５ ６，％， ），…，厶“ 。 ８） 张成的子空间是譬的交换子代数． 当ｒ（Ｍ）＝１时，由ｒ（ ）＝１知 的任何子矩阵的秩小于或等于１，即
ｆ 口咕＋以 ＋以‘＋ａ 口 ＋口 ＋ ，＋ａ６ １
．ａｊ５＋ａＡ＋ａｊ７＋口＾ ａｊ４＋以＾＋ａｊ２＋ａｊ３ Ｊ
的秩小于或等于ｌ，所以 （ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ）（ ＾＋ａ＾＋ａ如＋ａ＾）一（ａ＾＋ａ ＋ａ＾＋ａ＾）（ ‘＋ａ ＋ａ屯＋ａ ）＝０，Ｖｉ≠Ｊ． 故定理７成立． 在ｇ的基向量引入字典序，即对 厶 ，也， ，ｈ， ，ｋ，岛， ），厶 ， ， ， ， 砌， ），Ｖ ， ， ，ｋ４，ｋｓ，ｋ６，ｋ７，ｋｓ，ｑ１，ｑ２，ｑ３，ｑ４，ｑ５，ｑ６，ｑ７，ｑ８∈ｚ． １．如果ｋｌ＜ｑ１，则厶 ， ， ， ， ，岛， ）＜ ㈣‰ ｇ８）． ２．如果 ＝ｑｆ， ｋｉ＋１＜ｑｉ＋ｌ，Ｖｉ∈｛ｌ，２，３，４，５，６，７｝，则 ，如，ｋ， ， ，岛， ）＜厶 船硪聊， ）．
设０≠ ＝∑ １ （ ），（砖＝０，如果 Ｌ（ａ２１，ａ２２，ａ２３，ａ２４，ａ２５，ａ２６，ａ２７，ａ２８）＂￣，＜ 厶 ～ ）＜…＜厶 ， ））则称 已按字典序排列，Ｌ（￣，，，ａｌ２，ａｌ３，ａｌ４，ａｌ５，ａｌ６，ａｌ７，ａｌ８）称为 的极小
项，而ｋｌ称为Ｘ极小项的系数． 设ｇ 是由基向量厶 （ ∈Ｎ ，Ｖｉ∈｛１，２，３，４，５，６，７，８｝）张成的ｇ的线性子空间 定理８ ｇ 中无二维非Ａｂｅｌ李子代数 证明假设ｇ 中有二维非Ａｂｅｌ李子代数，则ｇ 存在基向量 使得Ｉｘ，Ｙ］＝ ． 设
厶 （Ｖ ≠０）， ，ａｊ４，ａｊ５，ａｊ６，ａｊ７，ａｊ８）（Ｖ ≠ｏ）， 则 与Ｙ已按字典序排列，因为 ＝［ ， ］＝∑∑ ｇ ［（口‘＋ ＋以ｂ＋ ）（ ＋ ＋ ＋ ）一（ ＋ ＋ ＋ ）（ ＋以‘＋ 。 ＋ ‘）］ ｉ＝１ ｊ＝ｔ 厶 ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ）， ＩＸ， ］中极小项是厶。。，＋ ． ＋ ： ＋ ，ｑ ＋ 一 ＋ ＋ 确 ＋ 柏 ＋ ），又由于 的极小项是
Ｉ４’ ，系
数是矗，且 Ｉｌ，ａｌ２口ｌ１，ａｌ４ ｌ５，ａｌ６口ｌ７’ａｌｓ，ｂ￣．，ｂｈ，ｂ￣ ，ｂｌ ， ， ，６１，，６ｌ 为正整数，所以等式 ＝［ ， ］中左边 极 小项的系数 ：０，这与 ≠０矛盾． （下转第２１页）