2015年北京数学一模函数综合题

与点 A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4．将抛物线在点 A，D 之间的部分（包含点 A，D）记为图象 G，若图象 G 向 下平移 t（ t 0 ） 个单位后与直线 BC 只有一个公共点， 求t 的 取值范围．
y
x
2
2015 海淀一模）29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(a, b) 和点 Q (a, b) ，给出如下定义：
1
2015 西城一模）29．给出如下规定：两个图形 G1 和 G2，点 P 为 G1 上任一点，点 Q 为 G2 上任一点，如果 线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1 和 G2 之间的距离．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点． （1）点 A 的坐标为 A(1,0) ，则点 B(2,3) 和射线 OA 之间的距离为________，点 C (2,3) 和射线 OA 之间的距离为________； （2）如果直线 y=x 和双曲线 y 行研究） （3）点 E 的坐标为(1, 3 )，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 60，得到射线 OF，在坐 标平面内所有和射线 OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M． ① 请在图 2 中画出图形 M，并描述图形 M 的组成部分； （若涉及平面中某个区域时可以用阴影表 示） ② 将射线 OE，OF 组成的图形记为图形 W，抛物线 y x 2 2 与图形 M 的 公共部分记为图形 N，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离．
b, a≥1 若 b ，则称点 Q 为点 P 的限变点．例如：点 2,3 的限变点的坐标是 2,3 ，点 2,5 的限变点 b, a 1
的坐标是 2, 5 ． （1）①点

3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点， x
3
2015 朝阳一模）29．定义:对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ 和点 M，在△MPQ 中，当 PQ 边上的高为 2 时，称 M 为 PQ 的“等高点”，称此时 MP+MQ 为 PQ 的“等高距离”． （1）若 P(1，2)，Q(4，2) ． 5 ①在点 A(1，0)，B( ，4)，C（0，3）中，PQ 的“等高点”是； 2 ②若 M（t，0）为 PQ 的“等高点”，求 PQ 的“等高距离”的最小值及此时 t 的值. （2）若 P(0，0)，PQ=2，当 PQ 的“等高点”在 y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点 Q 的坐标．
k 之间的距离为 2 ，那么 k=； （可在图 1 中进 x
2015 海淀一模）27．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y
1 2 x x 与 y 轴交于点 A，顶点为点 B，点 C 2
7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 1 2 3 4 5
图象； （ 3 ） 把 （ 1 ） 中 的 二 次 函 数 y ax bx c (a 0) 的 图 象 平 移 后 得 到 新 的 二 次 函 数
2
y2 ax2 bx c m(a 0, m为常数) 的图象,.定义新函数 f：“当自变量 x 任取一值时，x 对应的函数
4 3 2
y
4 3 2 1 1O 1 2 3 4 1 2 3 4
x
4
2015 丰台一模） 29.设点 Q 到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点 Q 到图形 W 的距离.例如正方形 ABCD 满足 A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点 O(0，0)到正方形 ABCD 的距离为 1. （1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1 为半径的圆，那么点 O(0，0)到⊙P 的距离为； （2）①求点 M (3, 0) 到直线 y 2 x 1 的距离； ②如果点 N (0, a ) 到直线 y 2 x 1 的距离为 3，那么 a 的值是； （3）如果点 G (0, b) 到抛物线 y x 2 的距离为 3，请直接写出 b 的值.
O
1
2
3
4
5
6
x
2015 朝阳一模）27．如图，将抛物线 M1: y ax2 4 x 向右平移 3 个单位， 再向上平移 3 个单位，得到抛物线 M2，直线 y x 与 M1 的一个交点记为 A，与 M2 的一个交点记为 B，点 A 的 横坐标是－3. （1）求 a 的值及 M2 的表达式； （2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的 垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线 y x n 恰好经过 正方形CDEF的顶点F，求此时 n 的值； ②在点C的运动过程中，若直线 y x n 与正方形CDEF始终没有公共点，求 n 的 取值范围（直接写出结果）.
ABCD 为直线 l 的“理想矩形”．
y
8 7 6 5 4 3 2 1
y
E B A O C D
l
x
-4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3
1
2
3 4
5
6
7
x
备用图
-4 -5 -6 -7
（1）若点 A(1, 2) ，四边形 ABCD 为直线 x 1 的“理想矩形”，则点 D 的坐标为； （2）若点 A(3, 4) ，求直线 y kx 1 (k 0) 的“理想矩形”的面积； （3）若点 A(1, 3) ，直线 l 的“理想矩形”面积的最大值为， 此时点 D 的坐标为．
2 1) 、B 2015 通州一模） 27． 二次函数 y ax bx c (a 0) 的图象与一次函数 y1 x b k 的图象交于 A(0，
两点， C (1, 0) 为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数 y ax bx c (a 0) 的表达式；
2 2 （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 y ax bx c (a 0) 的图象和一次函数 y1 x b k的
2015 门头沟一模）27．已知：关于 x 的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0） ． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线 y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点 （3，0） ，求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线 y=－x2+(m+1)x+(m+2) 在第一象限之间的部分为图象 G，如果直线 y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点，请结合函数 的图象，求直线 y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标 t 的取值范围．
值分别为 y1 或 y2 ，如果 y1 ≠ y2 ，函数 f 的函数值等于 y1 、 y2 中的较小值;如果 y1 = y2 ，函数 f 的函 数值等于 y1 （或 y2 ）.” 当新函数 f 的图象与 x 轴有三个交点时,直接写出 m 的取值范围.
x
6
2015 通州一模）29．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 A(2， 3)、 B(6， 3)， 连结 AB. 若对于平面内一点 P， 线段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ≤1，则称点 P 是线段 AB 的“邻近点”． 7 19 （1）判断点 D ( , ) ，是否线段 AB 的“邻近点”（填“是”或“否”）； 5 5 （2）若点 H (m，n)在一次函数 y x 1 的图象上，且是线段 AB 的“邻近点”，求 m 的取值范围． （3）若一次函数 y x b 的图象上至少存在一个邻近点，直接写出 b 的取值范围.
2
（3）在抛物线 y ax bx 1 a 0 的对称轴上是否存在点 P ,使 △ACP 成为以 AC 为直角边的直角三
2
角形？若存在,求出点 P 的坐标；若不存在,请说明理由.
2 C 2015 西城一模）27.已知二次函数 y1 x bx c 的图象 1 经过 (1,0) ， (0, 3) 两点．
y
6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

②在点 A 2, 1 ， B 1, 2 中有一个点是函数 y 这个点是_______________；
（2） 若点 P 在函数 y x 3(2≤x≤k , k 2) 的图象上， 其限变点 Q 的 纵坐标 b 的取值范围是 5≤b≤2 ，求 k 的取值范围； （3）若点 P 在关于 x 的二次函数 y x2 2tx t 2 t 的图象上，其限变 点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 b ≥ m 或 b n ， 其中 m n ． 令s m n ， 求 s 关于 t 的函数解析式及 s 的取值范围．
y
4 3 2 1 4 3 2 1O 1 2 3 4 1 2 3 4
x
2015 石景山一模） 27． 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y mx2 2mx 3(m 0) 与 x 轴交于 A(3, 0) ，B 两点． （1）求抛物线的表达式及点 B 的坐标； （2）当 2 x 3 时的函数图象记为 G ，求此时函数 y 的取值范围； （3）在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一 个新图象 M ． 若经过点 C (4, 2) 的直线 y kx b(k 0) 与图象 M 在第三象限内有两个公共点， 结 合图象求 b 的取值范围．
2015 东城一模） 27． 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y ax bx 1 a 0 过点 A 1,0 ，B 1,1 ,与 y
2
轴交于点 C ． （1）求抛物线 y ax bx 1 a 0 的函数表达式；