对一道高考题的探究

对一道高考题的探究广东省广州州市从化中学 杨仁宽 510900题目 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则———————————．”这是2003年全国高考填空题，既保持了2002年 “让研究性学习走进高考” 的创新作法，又较好地考查了考生的数学直觉、探究能力、创新精神等，是“在知识网络交汇点处命题”的一个范例！本文拟对此考题作些探究．首先，依据教材中“如果β⊥γ，γ⊥α，β∩γ=a ，那么a ⊥α”的论述，此考题的已知条件等价于“不共面的三条线段AB 、AC 、AD 两两互相垂直”，以下用到时不再另行说明． 1 探究试题的多源 1．1 源于高考题高考题1 2001年全国高考第(18) 题(题略)，连结DB ，在三棱锥A －BDS 中探求“面积关系”即为今年考题；高考题2 (1979年全国)设三棱锥V －ABC 中，∠A VB=∠BVC=∠CV A= 900．求证：△ABC 是锐角三角形．在此三棱锥中探求“面积关系” 也得今年考题！ 1．2 源于课本题课本题1 在新教材“简单几何体”中，有如下练习如图1，将 长方体沿相邻在个面的对角线截去一个三棱锥． 这个三棱锥的体积是长方体体积 图1 的几分之几？在截下的三棱锥中，探求所需的“面积关系”，为今年考题． 2 探究试题的多解 2．1 特殊例题探路在图1中，取AB=AC=AD=2，则三个侧面面积的平方和为12，底面三角形面积是23，其平方也为12．故填写“2ABC S ∆+2ACD S ∆+2ADB S ∆=2BCD S ∆”． 2．2 一般情形探求现给出一般情形下，所需面积关系的几种探求思路，供参考．思路1 如图1，设AB=b 、AC=c 、AD=d ，易求△BCD 的边长，用余弦定理和S △BCD =21BC ×BD ×sinB 可得，此法易想但字母运算较难、较繁．思路2 如上得到△BCD 的三边之长后，用海伦公式求其面积、再平方，可得到所需关系式．思路3 利用多边形的面积射影公式θcos ⨯=原形射影S S ，可得简证如下：如图2，设侧面△ABC 、△ACD 、△ABD 及底面△BCD 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S ，侧面与底面所成的锐角分别是α、β、γ，设点A 在底面上的射影是O ，过O 作OE ⊥BC 于E ，则∠AEO=α，OE=AEcos α，从而S △BOC = S 1×cos α，结合S 1= S ×cos α，得 S △BOC = S S 21 同理S △DOC =S S 22，S △BOD =SS 23，三式相加，得21S +22S +23S =S 2． 图23 探究试题的多用所得上式可称为“空间勾股定理”，它有广泛的应用，限于篇幅，仅举一例．例 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，求二面角A －B 1C －B 的大小．这是由2003年高考立体几何大题改编的，按常规方法“作、说、算、答”，则繁、难；用“空间勾股定理”，可得下列简捷解法： 如图3， 设所求二面角 的平面角为θ， 则1ABB S ∆=1CBB S ∆=1=2S △ABC =S 1，由“空间勾股 图3 定理”，得 1ACB S ∆=23=S ． 而△CB 1B 是△AB 1C 在平面BC 1C 内的射影，S 1=Scos θ∴ cos θ=32，θ=arccos 32为所求． 4 探究试题潜在的若干性质 文首的填空题，潜在着许多优美的性质与重要的结论，简要探究如下．为叙述方便，我们把三个侧面两两相互垂直的三棱锥叫做直角三棱锥．并约定：直角三棱锥A －BCD 的侧面△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，它们与底面所成的锐角分别是α、β、γ；设AB=b ，AC=c ，AD=d ，n= b 2+c 2+d 2，m=b 2c 2+c 2d 2+d 2b 2，用V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球与内切球的半经、底面上的高．4．1 底面的类型及顶点的射影 性质1 直角三棱锥中，与直角顶 点相对的面(底面)是锐角三角形．此即为1979年高考题(证明略)． 性质2 直角三棱锥A －BCD 中，顶点A 在底面上的射影O ，是△BCD 的垂心．由三垂线定理易证(此处略)． 4．2 直角三棱锥中的等量关系 性质3 直角三棱锥A －BCD 中， 有下列等量关系： (1)l =22c b ++22d c + +22d b ++b+c+d ；(2)V=61bcd ；(3)S △BCD =m 21； (4)S=1(bc+cd+db+m )；(5)R=n 21； (6) h=mabc ；(7) 21S +22S +23S =S 2△BCD ；(8)rS=3V ．(1)、(2)、(4)式显然；(3)即(7)式，已证；由(2)及体积相等，得(6)式．对(5)式，既可返璞归真：以AB 、AC 、AD 为相邻的棱，补三棱锥成长方体，其体对角线交点O 到各顶点的距离均为n 21=R ；也可由命题“过球面上任意一点作互相垂直的三条弦的平方和等于球直径的平方”而得．由四面体体积V=61bcd =31r(S 1+S 2 +S 3+ S △BCD )，得(8)式．4．3 直角三棱锥中的代数不等关系． 性质4 直角三棱锥A －BCD 中， 有下列代数不等式成立(当且仅当b=c=d 时，各式取“＝”号)：A B 1(1) 2(63+)R ≥l ≥3(1+2)36V ；(2)232)33(R +≥S ≥322136)33(V +． 事实上，对(1)式，易知l ≥33bcd +2(bc +cd +bd )≥33bcd +323bcd =3(1+2)36V ，而b+c ≤2(22c b +)，c+d ≤2(22d c +)，b+d ≤2(22d b +)，将三式相加，得b+c+d ≤12(22c b ++22d c ++22d b +)，从而2l =(22c b + +22d c + +22d b ++ b+c+d)2≤41(2+2)2(22c b ++22d c ++22d b +)2=(3+22)(b 2+c 2+d 2+22c b +×22d c ++22d b +×22d c + +22d b +×22c b +)≤3(1+2)2( b 2+c 2+d 2)=12(1+2)2R 2，∴ l ≤2(63+)R ，从而(1)成立． 对于(2)，由算术－几何不等式，得2S=bc+cd+db+m ≤b 2+c 2+d 2+)222(22222244431b d dc c bd c b +++++=b 2+c 2+d 2+33(b 2+c 2+d 2)=)33(34+R 2 ∴ S ≤232)33(R +；而2S =bc+cd +db+m ≥332)(bcd +332)(bcd=(3+3)32)6(V ，∴S ≥322136)33(V +，(2)式成立． 4．4 直角三棱锥中的三角不等关系 性质5 直角三棱锥A －BCD 中，有下列三角不等式成立： (1)sin α+sin β+sin γ≤6； (2) sin αsin β+sin βsin γ+sin γsin α≤2；(3) sin αsin βsin γ≤926；(4) cos α+cos β+cos γ≤3； (5) cos αcos β+cos βcos γ+cos γcos α≤1；(6) cos αcos βcos γ≤913．简证如下：在图2中，由性质2，知：O 是△BCD 的垂心，∠AEO=α，于是sin α=h ÷AE ，由2S 1=bc=BC×AE ，得AE=bc ÷22c b +，而AO=bcd ÷m ，∴ sin α=m c b d 22+，同理，有sin β=md b c 22+，sin γ=md c b 22+∴ sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2 ①，由柯西不等式，2=sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1(12+12+12)(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)≥31( sin α+sin β+sin γ)2，由此得(1)式．而(sin α+sin β+sin γ)2= sin 2α+sin 2β+sin 2γ+2(sin αsin β+sin βsin γ+sin γsin α)=2+2(sin αsin β+sin βsin γ+sin γsin α)≤6，由此得(2)式．由①等价于cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ②，由①、②及幂平均不等式、对称平均不等式及算术－几何平均不等式，即可得到不等式(3)～(6)式．若继续探究，还可得到许多有关的三角不等式，如：tan α+tan β+tan γ≥32； tan αtan β+tan βtann γ+ tan γtan α≥6；tanαtanβtanγ≥22等等．参考文献1．杨仁宽．对一道高考题的思考．河北理科教学研究，2001，22．杨仁宽．探析一道高考立体几何题．河北理科教学研究，2001，4 3．杨仁宽．直角四面体的性质及其应用．中学数学月刊，1995，5 3．苏化明．直角四面体与等腰四面体的若干性质．湖南数学年刊，1995年第15卷第4期注：此文曾获广州市一等奖之后发表在《河北理科教学研究》2005年第2期上。