2014-2015年河南省南阳市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年河南省洛阳市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2014-2015学年河南省洛阳市高三上学期数学期末试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x﹣12＜0}，B={x|x＞2}，则A∪（∁U B）=（）A．{x|x＜6}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|x＞﹣2}D．{x|2≤x＜6}2．（5分）设i为虚数单位，复数的共轭复数是（）A．i B．﹣i C．i D．3．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知命题R，p：∃x∈R使，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题②命题“命题“p∨¬q”是假命题③命题“¬p∨q”是真命题④命题“¬p∨¬q”是假命题其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③6．（5分）已知角α的终边经过点A（﹣，a），若点A在抛物线y=﹣x2的准线上，则sinα=（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）8．（5分）已知直线m：x+2y﹣3=0，函数y=3x+cosx的图象与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是（）A．（﹣，﹣）B．（，）C．（，）D．（﹣，﹣）9．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量=（1，0），满足不等式+•≤0的点A（x，y）的集合为（）A．{（x，y）|（x+1）2+y2≤1}B．{（x，y）|（x﹣1）2+y2≤1}C．{（x，y）|x2+y2≤0}D．{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1} 11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．200πB．150πC．100πD．50π12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f′（x），对∀x∈R，不等式f （x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为（）A．+2B．﹣2C．2+2D．2﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）展开式中，常数项是．14．（5分）函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为．15．（5分）将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是（用数字作答）．16．（5分）如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=．三、解答题：（本在题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，对任意正整数n都有6S n=1﹣2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n，求T n=++…+．18．（12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：（1）求抽取的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N（μ，ς2）（其中μ近似为样本平均数，ς2近似为样本方差s2），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：≈12.7，若z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜z＜μ+ς）=0.682，P（μ﹣2ς＜z ＜μ+2ς）=0.9544．）．（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M﹣BQ﹣C为30°，若存在，确定M 的位置，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，k OA•k OB=﹣，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）．（1）若∃x＞0，使得不等式f（x）＞6a2﹣4a成立，求实数a的取值范围．（2）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，ADE是⊙O的割线，C是⊙O 外一点，且AB=AC，连接BD，BE，CD，CE，CD交⊙O于F，CE交⊙O于G．（1）求证：BE•CD=BD•CE；（2）求证：FG∥AC．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l的普通方程及圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【选修4-5不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．2014-2015学年河南省洛阳市高三上学期数学期末试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x﹣12＜0}，B={x|x＞2}，则A∪（∁U B）=（）A．{x|x＜6}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|x＞﹣2}D．{x|2≤x＜6}【解答】解：A={x|x2﹣4x﹣12＜0}={x|﹣2＜x＜6}，∁U B={x|x≤2}，则A∪（∁U B）={x|x＜6}，故选：A．2．（5分）设i为虚数单位，复数的共轭复数是（）A．i B．﹣i C．i D．【解答】解：===，则复数的共轭复数是，故选：D．3．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．4．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选：B．5．（5分）已知命题R，p：∃x∈R使，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题②命题“命题“p∨¬q”是假命题③命题“¬p∨q”是真命题④命题“¬p∨¬q”是假命题其中正确的是（）A．②④B．②③C．③④D．①②③【解答】解：∵p：∃x∈R使为假命题，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0为真命题∴命题“p∧q”是假命题，故①错误命题“”显然不一定成立，故②正确命题“¬p∨q”是真命题，故③正确命题“¬p∨¬q”是真命题，故④错误故四个结论中，②③是正确的故选：B．6．（5分）已知角α的终边经过点A（﹣，a），若点A在抛物线y=﹣x2的准线上，则sinα=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：抛物线y=﹣x2即x2=﹣4y的准线为y=1，即有a=1，点A（﹣，1），由任意角的三角函数的定义，可得sinα===．故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：把圆的方程化为标准形式得（x+a）2+（y﹣2a）2=4，所以圆心（﹣a，2a），半径等于2，﹣a＞0且2a＜0，解得a＜0；|﹣a|＞2且|2a|＞2，解得a＜﹣2或a＞2，所以a的取值范围（﹣∞，﹣2）．故选：A．8．（5分）已知直线m：x+2y﹣3=0，函数y=3x+cosx的图象与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是（）A．（﹣，﹣）B．（，）C．（，）D．（﹣，﹣）【解答】解：直线m：x+2y﹣3=0斜率为﹣，若l⊥m，则直线l的斜率为2，∵函数y=3x+cosx的图象与直线l相切于P点，设切点坐标为（m，n），函数y=3x+cosx的导数为y′=3﹣sinx，则n=3m+cosm，且f'（m）=3﹣sinm=2∴sinm=1，⇒cosm=0，∴n=3m，从而排除A，C，D．故选：B．9．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选：A．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量=（1，0），满足不等式+•≤0的点A（x，y）的集合为（）A．{（x，y）|（x+1）2+y2≤1}B．{（x，y）|（x﹣1）2+y2≤1}C．{（x，y）|x2+y2≤0}D．{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1}【解答】解：由题得：B（﹣x，y），=（﹣2x，0）．∵+•=x2+y2﹣2x≤0∴不等式式+•≤0 转化为（x﹣1）2+y2≤1故选：B．11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．200πB．150πC．100πD．50π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是顶点与长方体的顶点重合的三棱锥B1﹣ACD1，如图所示，长方体的长为5，宽为4，高为3，∴该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，该球的直径为2R=l，∴l2=52+42+32=50，=4πR2=πl2=50π．∴外接球的表面积是S球故选：D．12．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f′（x），对∀x∈R，不等式f （x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为（）A．+2B．﹣2C．2+2D．2﹣2【解答】解：由二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ，可得导函数为f′（x ）=2ax +b ， ∴不等式f （x ）≥f′（x ）化为ax 2+（b ﹣2a ）x +c ﹣b ≥0． ∵对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥f′（x ）恒成立， ∴，化为b 2≤4ac ﹣4a 2．∴≤=，令，则=====，当且仅当时 取等号．∴的最大值为﹣2．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：展开式的通项为=令得r=2故展开式的常数项为T 3=（﹣2）2C 62=60 故答案为60．14．（5分）函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为e﹣．【解答】解：由题意，﹣1≤x＜0时，图象与x轴所围成的封闭图形的面积为，0≤x≤1时，f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为==e﹣1，∴函数f（x）=的图象与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为+e﹣1=e﹣，故答案为：e﹣．15．（5分）将5名实习老师分配到4个班级任课，每班至少1人，则不同的分配方法数是240（用数字作答）．【解答】解：第一步，将5名实习老师分成四组，不同的分法种数是C52=10种第二步，分到四个班的不同分法有A44=24种故不同的分配方案为10×24=240种故答案为：24016．（5分）如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=．【解答】解：因为sin=，所以cos∠ABC=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣2×=，在△ABC中，设BC=a，AC=3b，由余弦定理可得：①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，，因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有=，所以3b2﹣a2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．则cosC==，故答案为：三、解答题：（本在题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，对任意正整数n都有6S n=1﹣2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n，求T n=++…+．【解答】解：（1）∵6S n=1﹣2a n，①∴6S n=1﹣2a n﹣1，n≥2，②﹣1①﹣②，得6a n=2a n﹣1﹣2a n，整理，得a n=，n≥2，由6S1=6a1=1﹣2a1，解得，∴数列{a n}是等比数列，公比q=，∴a n==（）2n+1．（2）∵b n=a n==2n+1，∴==，∴T n===．18．（12分）在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：（1）求抽取的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N（μ，ς2）（其中μ近似为样本平均数，ς2近似为样本方差s2），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：≈12.7，若z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜z＜μ+ς）=0.682，P（μ﹣2ς＜z ＜μ+2ς）=0.9544．）．（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【解答】解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=45×0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70，样本方差S2=（﹣25）2×0.05+（﹣15）2×0.18+（﹣5）2×0.28+52×0.26+152×0.17+252×0.06=161，（2）由（1）知z～N（70，161），∴P（z＞82.7）==0.1587，∴在这2000名考生中，能进入复试的有：2000×0.1587≈317人．（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==2（人）．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M﹣BQ﹣C为30°，若存在，确定M 的位置，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴BC∥DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M﹣BQ﹣C为30°．理由如下：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q﹣xyz 如图，∴Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0），则平面BQC的一个法向量为=（0，0，1），设满足条件的点M（x，y，z）存在，则=（x，y，z﹣），=（﹣1﹣x，﹣y，﹣z），令=t，其中t＞0，∴，∴，在平面MBQ中，=（0，，0），=（﹣，，），∴平面MBQ的一个法向量为=（，0，t），∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴cos30°=||==，解得t=3，∴满足条件的点M存在，M是棱PC的靠近点C的四等分点．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，k OA•k OB=﹣，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的c=1，由e==．，可得a=2，又b==，即有椭圆的方程为+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，可得m2＜3+4k2，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，由k OA•k OB=﹣=﹣，即y1y2=﹣x1x2，即=﹣•，化简可得2m2=3+4k2，满足△＞0，由弦长公式可得|AB|=|x1﹣x2|=•=•=，又O到直线l的距离为d=，=d•|AB|=•=则S△ABO==．故△AOB的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x（a＞0）．（1）若∃x＞0，使得不等式f（x）＞6a2﹣4a成立，求实数a的取值范围．（2）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）．【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣2a）x，x＞0，f′（x）=﹣2ax﹣（1﹣2a）=﹣，由a＞0，x＞0，即有2ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减．则有x=1时，f（x）取得最大值f（1）=ln1﹣a﹣（1﹣2a）=a﹣1，由题意可得，a﹣1＞6a2﹣4a，解得＜a＜，即实数a的范围是（，）；（2）证明：不妨设x1＞x2＞0，则==﹣a（x1+x2）﹣（1﹣2a）．f′（x0）=f′（）==﹣a（x1+x2）+2a﹣1．令g（x）=lnx﹣（x＞1），g′（x）=﹣=＞0．∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（1）=0．则g（）=ln﹣＞0整理得：＞．∴﹣a（x1+x2）﹣（1﹣2a）＞﹣a（x1+x2）+2a﹣1．即k＞f′（x0）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，ADE是⊙O的割线，C是⊙O 外一点，且AB=AC，连接BD，BE，CD，CE，CD交⊙O于F，CE交⊙O于G．（1）求证：BE•CD=BD•CE；（2）求证：FG∥AC．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的切线，∴∠ABD=∠AEB，又∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴，又AB=BC，∴BD•AE=AB•BE，①且，又∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE，∴，即DC•AE=AC•CE．②由①②，得BE•CD=BD•CE．（2）∵△ADC∽△ACE，∴∠ACD=∠AEC，又D，F，G，E四点共圆，∴∠GFC=∠AEC，∴∠GFC=∠ACD，∴FG∥AC．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线l的普通方程及圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），可得直线l的普通方程为x+y﹣2=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入圆C的方程为x2+y2=9，可得圆C的极坐标方程为ρ=3；（2）由直线l：x+y﹣2=0，可得k=﹣，倾斜角为150°，则直线l的参数方程为即有（m为参数）代入圆C的方程：x2+y2=9，可得（2﹣m）2+（）2=9，化简得m2﹣2m﹣5=0，则|PA|•|PB|=|m1m2|=5．【选修4-5不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．【解答】解：（1）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．（2）∵正数x，y，z满足x+2y+3z=1，∴由柯西不等式可得（x+2y+3z）（++）≥（+2+）2=16+8，当且仅当x：y：z=3：：1时，等号成立，∴++的最小值为16+8．。
【最新经典文档】年河南省南阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
的值．
18．（ 12 分）设曲线 f （x） =x2+1 和 g（ x）=x3+x 在其交点处两切线的夹角为 θ， 求 cosθ．
19．（ 12 分）已知△ ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，
c 成等比数列，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
的值．
20．（ 12 分）设数列 { an} 的各项都是正数，且对任意 n∈N* ，都有 an2=2Sn﹣an， 其中 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和． （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn=3n+（﹣ 1）n﹣1?λ ?a2n（λ为非零整数， n∈ N*），试确定 λ的值，使得
）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：∵ f（x）=bsinx，
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∴ f ′（ x）=bcosx， 则 f ′（ ）=bcos = ， ∵图象在点 A（ ，f （ ））处的切线与直线 x﹣2y+3=0 平行，
∴切线斜率 k= = ，解得 b=1．
∴ an=n2+bn=an=n2+n=n（n+1），
）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5 分）已知向量 的模为 2 ， =（1，﹣ 2），条件 p：向量 的坐标为（ 4，
2），条件 q： ⊥ ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（ 5 分）设函数 f（x）=bsinx 的图象在点 A（ ，f（ ））处的切线与直线 x
最大值． 22．（ 12 分）设 f（x）= +xlnx，g（ x） =x3﹣ x2﹣3，
河南省南阳市2015届高三上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)
2014年秋期高三年级理科期中考试答案一.选择题: 题目1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBADCDAAABD二.填空题:13.5 14.0 15.1 16.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1 ∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分（II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ，即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ，……………………5分即x y 2=，又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由ac b =2及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B = 则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ，3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22， ①当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-， ② ………………………………2分 由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分由已知得，当1=n 时， 21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分 故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分 函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分，0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ， 0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x ……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分22.解答:[],4,10∈x.3分8分12分。
南阳市2014年秋期期终质量评估高三理数
2014年秋期期终高三数学试卷（理）参考答案一、选择题：DABBC ADCDD BC二、填空题：13、20 14、617-≥a 15、3610 16、③④⑤ 三、解答题：17、解：（Ⅰ）21441(1)n n a S n n +=++≥ 2144(1)1(2)n n a S n n -∴=+-+≥相减，得22144(2)n n n a a a n +-=+≥221(2)(2)n n a a n +∴=+≥…………………………………………………2分又102(2)n n n a a a n +>=+≥，故又25214a a a =⋅，即2222(6)(24)a a a +=+，解得23a =又221441a S =++，故111a S == 21312a a ∴-=-=，故数列1{}1n a a =是以为首项，2为公差的等差数列，故21n a n =-易知3n n b =，21,3nn n a n b ∴=-=……………………………………6分 （Ⅱ）13(13)33132n n n T +--==-…………………………………………8分 1333()36122n k n n +-∴+⋅≥-≥对恒成立， 即243nn k -≥对1n ≥恒成立 令243n n n C -=，则1124262(27)(2)333n n n n n n n n C C n -------=-=≥ 故23n ≤≤时，1n n C C ->，4n ≥时，1n n C C -<，3227C ∴=最大 227k ∴≥……………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，C B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7³0.7³0.05³2＝0.049. ……………………………………………（6分） （Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)12分）19. 解：（Ⅰ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………………6分另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°． ∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ．∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．………………………6分（Ⅱ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =； (0,0,0)Q ，P ，B ，(1C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---，∵PM tMC =，M 在棱PC 上，∴t >0∴ (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩），∴ 11t x t y z t ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪+⎩…………………9分 在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+， ∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，∴230330cos 2=++==︒t t ， ∴ 3t =．……………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2. 所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ……………………………………………（4分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m . 因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y .当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()t t m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．……………………………（12分） 21. 解：（1）由x x a x f )1()('-=知： 当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(； …………4分（2）由()212a f '=-=2a ⇔=-, ∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x =-. 故3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦， ∴2'()3(4)2g x x m x =++-,∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴0)('=x g 有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t 内又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g ，∴ ⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g ………8分由4320)('--<⇔<t t m t g ，∵=)(t H 432--t t在[]2,1上单调递减，所以H (t )min =H (2)=－9；∴9-<m ，由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得337->m ； 综上得：379.3m -<<- 所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值。
【名师解析】河南省南阳市2014届高三第三次高考模拟联考数学(理)试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合2={|2}M x x x >，2N={|log (1)0}x x -≤，则(C M)N U 为（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x ≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤<2.设复数z 满足(1)32z i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的实部是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为（ ） A ．297 B ．144 C ．99 D ．664.下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； （2）设回归直线方程12y x ∧=+中，x 增加1个单位时，y 一定增加2个单位； （3）若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；（4）对命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥；（5）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-. A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是变长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）6.一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（ ）A ．0 B.2 C. 12+ D. 17.若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是（ ）A ．3(,1]4B ．5(1,]4C ．34(,]45D ．35(,]448.已知点P 是椭圆221168x y +=(0,0)x y ≠≠上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10FM MP ∙=,则||OM 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．C ．D ．(0,4)9.已知,[,]22ππαβ∈-且sin sin 0ααββ->，则下面结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．22αβ>10.已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若30aGA bGB cGC ++=，则角A 为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A11.动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π12.已知函数|ln |,(0)()2ln ,()x x e f x x x e <≤⎧=⎨->⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为（ ）A ．2(1,1)e e e +++ B ．21(2,2)e e e++ C ．2)e + D ．12)e e+∴2bc e =，∴12a b c e e ++>+，22a b c e ++<+，∴a b c ++的取值范围是21(2,2)e e e++.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z abx y =+（0,0a b >>）的最大值为8，则a b +的最小值为 .14.设20(sin 12cos )2x a x dx π=-+⎰，则62((2)x ∙+的展开式中常数项是 .15.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，''()()()()f x g x f x g x <，()()x f x a g x =，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则关于x 的方程2502abx ++=（(0,1)b ∈）有两个不同实根的概率为 .16.在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是,,,S A B C 都在同一球面上，则该球的表面积是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S n +=++ *()n N ∈， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n nn b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，证明：2n T <.∴121+=+n n a a -----------------------------------------------2分18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上（除端点外）.（1）当点M 为EC 中点时，求证：//BM 平面ADEF ；（2）若平面BDM 与平面ABF 所成二面角为锐角，求三棱锥M BDE -的体积.所以BM∥平面ADEF．………..6分20.已知圆2214:5C x y +=，直线:(0)l y x m m =+>与圆1C 相切，且交椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>于11,A B 两点，c 是椭圆的半焦距，c =. （1）求m 的值；（2）O 为坐标原点，若11OA OB ⊥，求椭圆2C 的方程；（3）在（2）的条件下，设椭圆2C 的左右顶点分别为A ，B ，动点0020(,)(0)S x y C y ∈>，直线,AS BS 与直线3415x =分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值.以用k 表示S 坐标，利用B 点坐标，求出直线BS 的方程，直线BS 的方程与直线3415x =联立，求出N 点设),(00y x S 则)2(,418241416)2(00220220+=+-=⇒+-=-⋅x k y kk x k k x 即21.已知函数()ln(1)f x a x =+，21()2g x x x =-，a R ∈. （1）若1a =-，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，都有()()f x g x ≥恒成立，求a 的最小值； （3）设()(1)px f x =-，0a >，若11(,)A x y ，22(,)B x y 为曲线()y p x =的两个不同点，满足120x x <<，且312(,)x x x ∃∈，使得曲线()y P x =在33(,())x f x 处的切线与直线AB 平行，求证：1232x x x +<.即212112ln ln 2a x a x ax x x x ->-+，变形可得：22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x -->=++.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB 过圆心O ，交O 于F （不与B 重合），直线l 与O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC.求证：（1）BAC CAG ∠=∠；（2）2AC AE AF =∙.23.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（2）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-==t t y t t x 22143sin 12243cos ππ（t 为参数）24.（选修4-5：不等式选讲） 设()||,f x x a a R =-∈.（1）当13x -≤≤时，()3f x ≤，求a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值.。
2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f （n +1）﹣f （n ）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
2014-2015年河南省南阳市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2014-2015学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）}B．{1}C．[0，1]D．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则=（）A．B．C．1D．23．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．（2，+∞）4．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1B．C．3D．45．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b （a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2=的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．9．（5分）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]10．（5分）已知x∈（0，1）时，函数f（x）=的最小值为b，若定义在R上的函数g（x）满足：对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+b，则下列结论正确的是（）A．g（x）﹣1是奇函数B．g（x）+1是奇函数C．g（x）﹣是奇函数D．g（x）+是奇函数11．（5分）过原点的直线交双曲线x2﹣y2=4于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=﹣x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（）A．2B．4C．4D．312．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是．14．（5分）已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．16．（5分）已知下列五个命题：①命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＞0”②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等③已知x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题⑤过M（2，0）的直线l与椭圆=1交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于﹣．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n+1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．21．（12分）已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：∵M={y|y=x2}═{y|y≥0}，N={y|x2+y2=2}={y|﹣≤y≤}，∴M∩N={y|y≥0}∩={y|﹣≤y≤}={y|≥y≥0}，故选：D．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则=（）A．B．C．1D．2【解答】解：z======+i则=|z|2=（）2+（）2=，故选：A．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．（2，+∞）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间[，]，即[2﹣2，2﹣1]内，∴x∈[﹣2，﹣1]．故选：B．4．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1B．C．3D．4【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，+1令12﹣3r=3，求得r=2，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a4•b2=20，∴a4•b2=，即b2=，∴a2+b2 =a2+=++≥3=，当且仅当a6=时等号成立．故选：B．5．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高EF=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，则在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=（EF﹣EO）2+AF2，即R2=（4﹣R）2+（2）2，解得：R=故选：C．6．（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b （a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：|f （x ）﹣1|＜a 即|2x +2|＜a ，即﹣a ＜2x +2＜a ，即 ＜x ＜．|x +1|＜b 即﹣b ＜x +1＜b 即﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1． ∵|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x +1|＜b （a ，b ＞0）， ∴（，）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1）， ∴﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，解得b ≥， 故选：A ．7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点（P 1，P 2）在圆（x ﹣m ）2+y 2=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣，+∞） B ．（﹣∞，） C ．（﹣，） D ．（﹣，）【解答】解：对于a 与b 各有6中情形，故总数为36种设两条直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2平行的情形有a=2，b=4，或a=3，b=6，故概率为P==设两条直线l 1：ax +by=2，l 2：x +2y=2相交的情形除平行与重合即可，∵当直线l 1、l 2相交时b ≠2a ，图中满足b=2a 的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，∴满足b ≠2a 的有36﹣3=33种， ∴直线l 1、l 2相交的概率P==，∵点（P 1，P 2）在圆（x ﹣m ）2+y 2=的内部，∴（﹣m ）2+（）2＜，解得﹣＜m ＜故选：D．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：C．9．（5分）在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：B（1，2）．当s=3时，可行域为四边形OABC及内部区域，当直线z=3x+2y过B（1，2）时，z有最大值，等于3×1+2×2=7；当s=5时，可行域为三角形OAD及内部区域，当直线z=3x+2y过D（0，4）时，z有最大值，等于3×0+2×4=8．∴当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：D．10．（5分）已知x∈（0，1）时，函数f（x）=的最小值为b，若定义在R上的函数g（x）满足：对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+b，则下列结论正确的是（）A．g（x）﹣1是奇函数B．g（x）+1是奇函数C．g（x）﹣是奇函数D．g（x）+是奇函数【解答】解：设x=sinα∈（0，1），则y==tanx+≥2=（当且仅当tanx=，x=时，等号成立），故b=；故对任意m，n∈R都有g（m+n）=g（m）+g（n）+成立；令F（x）=g（x）+，则g（x）=F（x）﹣；故g（m+n）=g（m）+g（n）+可化为F（x+y）=F（x）+F（y）；从而F（0）=F（0）+F（0），故F（0）=0；故F（0）=F（x）+F（﹣x）=0；故F（x）是奇函数，故选：D．11．（5分）过原点的直线交双曲线x2﹣y2=4于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=﹣x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（）A．2B．4C．4D．3【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=4是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线的图象∵双曲线x2﹣y2=4的顶点（，0），逆时针方向旋转45°变为点（，）∴点（，）在y=的图象上，可得m=•=，即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线的图象问题转化为：过原点的直线交双曲线于P、Q两点将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值设P（t，）（t＞0），过点P作PM⊥y轴于M，连结MQ，可得M（0，），Q（﹣t，﹣），|MQ|==，在折叠后的图形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=2t2+≥2=16，当且仅当t2=4，即t=2时等号成立∴当t=2时，即P坐标为（2，）时，|PQ|的最小值为=4综上所述，折后线段PQ的长度的最小值等于4故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），f（0）=0∴函数f（x）为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，∵定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，∴在（﹣2，0]上是增函数，即（﹣2，2）上是增函数，①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则0＜x1＜2，2＜x2＜4，0＜4﹣x2＜2，﹣2＜x2﹣4＜0，∴f（4﹣x2）＞f（x2﹣4），又∵f（x1）=f（4﹣x2），﹣f（x2）=f（x2﹣4），∴f（x1）＞﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞0，故①正确；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则0＜x1＜，＜x2＜5，观察可知f（x1）＞f（x2），故②正确；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，当m＞0时（如上方虚线所示），可知左边两个交点之和为﹣12（因为两个交点关于﹣6对称，一个交点可表示为﹣6﹣x0，另一个交点可表示为﹣6+x0），y轴右边的两个交点之和为4，则x1+x2+x3+x4=﹣8，同理m＜0时x1+x2+x3+x4=8，故③正确；④函数f（x）在[﹣8，8]内有5个零点，故④不正确，结论正确的有①②③，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是20．【解答】解：按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：A22A33；另一类是首位是偶数，有：（A33﹣A22）A22则这样的五位数的个数是：A22A33+（A33﹣A22）A22=20．故答案为：2014．（5分）已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是a≥﹣．【解答】解：f（x）=2x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和∴g（x）+h（x）=2x①，g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=2﹣x②①②联立可得，h（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x），ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立对于x∈[1，2]恒成立a≥﹣=﹣（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）对于x∈[1，2]恒成立t=2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，t∈[，]则t+在t∈[，]，t=，时，则t+=，∴a≥﹣；故答案为a≥﹣；15．（5分）在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．【解答】解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cosA=∴5AB2﹣12AB﹣65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．16．（5分）已知下列五个命题：①命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＞0”②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等③已知x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题⑤过M（2，0）的直线l与椭圆=1交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于﹣．其中真命题的序号是③④⑤．【解答】解：对于①，命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”则①错误；对于②，若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，则②错误；对于③，x＞0时，（x﹣1）f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若△ABC是锐角三角形，即有A+B＞，A＞﹣B，sinA＞sin（﹣B）=cosB，即有f（sinA）＞f（cosB），则③正确；对于④，在三角形ABC中，sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，则原命题的否命题是真命题，则④正确；对于⑤，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减可得：（x1﹣x2）×2x+2（y1﹣y2）×2y=0，由于直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k2，则k1k2=﹣，则⑤正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n+1，n∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=，，又a n＞0，∴a n=a n+2．+1∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2=3，由条件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，∴数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）==，∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令c n=，c n﹣c n﹣1==，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4，时，c n＜c n﹣1∴，∴．18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，所以P（B）=0.7×0.7×0.05×2=0.049．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，，，．X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为X～B（3，0.7），所以期望E（X）=3×0.7=2.1．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．【解答】解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=6，b2=2．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．于是．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．于是，====．所以==．当且仅当，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．21．（12分）已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？【解答】解：（Ⅰ），当a=1时，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴，由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【解答】（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x ﹣a |+|x +3|≥2x +4的解集为A ． （Ⅰ）若a=1，求A ；（Ⅱ）若A=R ，求a 的取值范围．【解答】解：（I ）若a=1，则|2x ﹣1|+|x +3|≥2x +4当x ≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x ﹣2≥2x +4，可得x ≤﹣3 当﹣3＜x ≤时，原不等式可化为4﹣x ≥2x +4，可得3x ≤0 当x ＞时，原不等式可化为3x +2≥2x +4，可得x ≥2 综上，A={x |x ≤0，或x ≥2}；（II ）当x ≤﹣2时，|2x ﹣a |+|x +3|≥0≥2x +4成立 当x ＞﹣2时，|2x ﹣a |+|x +3|=|2x ﹣a |+x +3≥2x +4 ∴x ≥a +1或x ≤∴a +1≤﹣2或a +1≤∴a ≤﹣2综上，a 的取值范围为a ≤﹣2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
河南省南阳市2014—2015学年高三上期终质量评估理科综合试题及答案
南阳市2014—2015学年高中三年级期终质量评估理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．2．回答笫Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷和草稿纸上无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并交回．5．本试卷共16页．如遇缺页、漏页、字迹不清等情况，考生须及时报告监考老师．可能用到的相对原子质量：H l C 12 O 16 Na23 Mg24 S32 Cl35．5 K39 Cu64 I127第Ⅰ卷（选择题）一、选择题．本题共13小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、如右图所示，种子在吸水萌发时，呼吸作用的速率有显著的变化．风干的种子中所含的水是结合水，呼吸酶的活性降低到极限．此时，种子呼吸极微弱，可以安全贮藏．下列说法正确的是A．据图，花生干种子中含结合水最多B．亚麻种子在含水量为14％时呼吸速率最大C．种子萌发前一般进行渗透作用吸水D．玉米和小麦干种子中含结合水较多2．下列有关人体细胞生命历程说法正确的是A．红细胞衰老后酶活性降低，细胞核体积变大B．细胞分化以后，不同种类的细胞内DNA有差异C．神经元凋亡是由基因控制的、自动的细胞死亡D．显微镜下可以观察到癌变细胞形态发生改变、细胞表面糖蛋白减少3．下列有关实验叙述正确的是A．探索生长素类似物促进扦插枝条生根最适的浓度，实验前要进行预实验，预实验的浓度梯度越小越好．B．探索生长素类似物促进扦插枝条生根最适的浓度实验，如果用浸泡法，对不同插条浸泡的时间长短要有不同的梯度．C．在研究酵母菌种群数量的变化实验中，应该将培养液滴在计数室上然后用盖玻片的一侧接触液滴缓缓放下，以免产生气泡影响观察．D．洋葱鳞片叶内表皮细胞可用于观察DNA和RNA在细胞中的分布实验．4、下列为某一遗传病的家系图，已知Ⅰ－1为携带者．可以准确判断的是A．该病为常染色体隐性遗传B．Ⅱ－6是携带者的概率为1／2C．Ⅱ－4是携带者D．Ⅲ－8是正常纯合子的概率为1／25、右图是当人所处的环境温度从25℃降到5℃时，产热速率和散热速率的变化趋势．下列相关叙述错误的是A．①指的是散热速率，②指的是产热速率B．t1－t2时刻体温降低，t2－t3时刻体温升高，t3以后体温维持相对恒定，因此t2时刻人体体温最低C．该过程中人体TSH激素浓度先升高后降低D．此过程中耗氧量、尿量、抗利尿激素及体内酶活性的变化依次为增加、减少、减少、不变6．右图曲线a、b表示两类生物种群密度与存活率之间的关系。
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设直线 l 的斜率为 k1（k1≠0） ，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 等于﹣ ． 其中真命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，满分 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 17． （12 分）设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 an+12=4Sn+4n+1， n∈N*，且 a2，a5，a14 恰好是等比数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）记数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N*， （Tn+ ）k≥3n﹣6 恒成 立，求实数 k 的取值范围． 18． （12 分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下 记录： 日车流量 x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x＜20 20≤x＜25 频率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 x≥25 0
11． （5 分）过原点的直线交双曲线 x2﹣y2=4
于 P，Q 两点，现将坐标平面沿直 ） D．3
线 y=﹣x 折成直二面角，则折后 PQ 长度的最小值等于（ A．2 B．4 C．4
12． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且 f（x﹣4）=﹣f（x） ，给出下列结论： ①若 0＜x1＜x2＜4 且 x1+x2=4，则 f（x1）+f（x2）＞0； ②若 0＜x1＜x2＜4 且 x1+x2=5，则 f（x1）＞f（x2） ； ③若方程 （ f x） =m 在[﹣8， 8]内恰有四个不同的实根 x1， x2， x3， x4， 则 x1+x2+x3+x4= ﹣8 或 8； ④函数 f（x）在[﹣8，8]内至少有 5 个零点，至多有 13 个零点 其中结论正确的有（ A．1 个 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个
3． （5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[ ， ]内，则 输入的实数 x 的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，﹣2） B．[﹣2，﹣1]
C．[﹣1，2]
D． （2，+∞） ）
6 4． （5 分） 若 （ax2+ ） 的展开式中 x3 项的系数为 20， 则 a2+b2 的最小值为 （
7． （5 分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数 记为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1：ax+by=2，l2：x+2y=2 平行的概 率为 P1，相交的概率为 P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 则实数 m 的取值范围是（ A． （﹣ ） ） C． （﹣ ， ） D． （﹣ ， ） 的内部，
15． （5 分） 在△ABC 中， AC=6， BC=7，
其中 0≤x≤1，0≤y≤1，则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 16． （5 分）已知下列五个命题： ①命题“∃ x∈R 使得 x2+x+1＜0”的否定是：“∀ x∈R 均有 x2+x+1＞0” ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等
的变化范围是（ A．[6，15]
） B．[7，15] C．[6，8] D．[7，8]
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10． （5 分）已知 x∈（0，1）时，函数 f（x）=
的最小值为 b，若定义
在 R 上的函数 g（x）满足：对任意 m，n∈R 都有 g（m+n）=g（m）+g（n） +b，则下列结论正确的是（ A．g（x）﹣1 是奇函数 C．g（x）﹣ 是奇函数 ） B．g（x）+1 是奇函数 D．g（x）+ 是奇函数
，+∞） B． （﹣∞，
8． （5 分）抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两 个动点，且满足∠AFB= 的最大值是（ A． ） B． C． D． ．设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则
9． （5 分）在约束条件
下，当 3≤s≤5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值
A．1
B．
C．3
D．4
5． （5 分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）
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A．
B．
C．
D．
6． （5 分）已知 f（x）=2x+3（x∈R） ，若|f（x）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a，b＞0） ，则 a，b 之间的关系是（ A． B． ） C． D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分）用 0，1，2，3，4 排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇 数字也相邻，则这样的五位数的个数是 ．
14． （5 分）已知 f（x）=2x（x∈R）可以表示为一个奇函数 g（x）与一个偶函数 h（x）之和，若不等式 a•g（x）+h（2x）≥0 对于 x∈[1，2]恒成立，则实数 a 的取值范围是 ． ， O 是△ABC 的内心， 若 ． ，
2014-2015 学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1． （5 分）已知 M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则 M∩N=（ A．{（1，1） ， （﹣1，1）} D． 2． （5 分）已知 是 z 的共轭复数，复数 z= A． B． C．1 ，则 =（ D．2 ） B．{1} ） C．[0，1]
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③已知 x＞0 时， （x﹣1nA）＞f （cosB） ④“在三角形 ABC 中，若 sinA＞sinB，则 A＞B”的否命题是真命题 ⑤过 M（2，0）的直线 l 与椭圆 =1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 中点为 P，
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立． （Ⅰ）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天 的日车流量低于 5 万辆的概率； （Ⅱ）用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数，求 X 的分布 列和数学期望． 19． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ ADC=90°， 平面 PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点， PA=PD=2， BC= AD=1，CD= ．