数学：2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》课件(新人教版选修2-2)20110512

C A O P B D
8
• 证明 假设AB,CD互相平分 则ACBD为平行四边 证明:假设 互相平分,则 假设 互相平分 为平行四边 所以∠ 形,所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 所以 ∠ ∠ ∠ • 因为 因为ABCD为圆内接四边形 为圆内接四边形, 为圆内接四边形 • 所以 ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180° ∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°. • 因此∠ACB=90°,∠CAD=90°. 因此∠ °∠ ° • 所以,对角线 所以 对角线AB,CD均为直径 与已知矛盾,因 均为直径,与已知矛盾 因 对角线 均为直径 与已知矛盾 不能互相平分. 此,AB,CD不能互相平分 不能互相平分
2
反证法： 反证法： 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误, 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
正难则反
3
反证法的基本步骤： 反证法的基本步骤： 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立 -----立； 从这个假设出发 经过推理论证，得出矛盾 假设出发， 矛盾； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 从矛盾判定假设不正确， （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 -----论正确 归缪矛盾： 归缪矛盾： 与已知条件矛盾； （1）与已知条件矛盾； 与已有公理、定理、定义矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； 自相矛盾。 （3）自相矛盾。
9
例4.求证： 2 是无理数。 4.求证： 是无理数。 求证
是有理数， 证：假设 2 是有理数，
∴ m = 2n
m 则 存 在 互 质 的 整 数 m， n使 得 2 = ， n 2 2
∴ m = 2n
2 2
是偶数，从而m必是偶数，故设m ∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N∗）
17
训练1： 、 、 都是小于 的正数， 都是小于1的正数 训练 ：若a、b、c都是小于 的正数， 求证： － 求证：(1－a)b, (1－b)c, (1－c)a不可能 － － 不可能+b3=2, 求证：a+b≤2. 训练3 训练3： 设f(x)=x2+px+q，求证：|f(1)|， ，求证： ， |f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 中至少有一个不小于
则ax1 = b，ax 2 = b ∴ ax1 = ax 2 ∴ ax1 - ax 2 = 0 a（ ∴ a（x1 - x 2） 0 = ∵ x1 ≠ x 2，x1 - x 2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 与已知a 矛盾, 故假设不成立，结论成立。 故假设不成立，结论成立。
7
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 证明： 弦不能互相平分. 弦不能互相平分. 已知： AB、CD相交于 相交于P 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径. AB、CD不全是直径. 不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分 不能互相平分. 求证：AB、CD不能互相平分.
1 . 2
18
15
课外练习： 课外练习：
证明: 关于x 1: 若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明: 关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根. 个有实根.
2 2
均为实数, 2 : 若 a ,b ,c 均为实数 ,且 a = x - 2 y + b = y - 2z +
14
矛盾. 与①式矛盾
3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解 求实数 m 的取值范围 方程 的取值范围. ]上有解, 的取值范围. 解: 先考虑 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上无解时 m 的取值范围 ] 包含两种情况: 无实数解; 包含两种情况 ①方程 x2 -mx+4=0 无实数解 ②方程有实数解, 但解不在 [-1, 1] 上. 方程有实数解 ] 设 f(x)=x2 -mx+4, 则①等价于 △=m2 -16＜0; ②等价于 ＜ 等价于: △≥0; △≥0; △≥0; m m < -1; 或 m >1; 或 -1≤ 2 ≤1; 2 2 f(-1)<0; f(1)>0. f(-1)>0. f(1)<0. 解得实数 m 取值的集合 A=(-5, 5). 的取值范围是: 故所求实数 m 的取值范围是 CRA=(-∞, -5]∪[ +∞). ]∪[5, ∞ ]∪[
13
课堂练习
2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R), 当 x∈[-1, 1] 时, |f(x)| 的最 对于函数 ∈ ∈求证: 大值为 M, 求证 M≥ 1 . 2 1 1 1 证: 假设 M< 2 , 则 |f(1)|=|1+a+b|< 2 , |f(0)|=|b|< 2 , |f(-1)|=|1-a+b|< 1 . 2 ∴|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|< 1 +2× 1 + 1 =2, 2 2 2 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|<2. ① 又∵|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥2, ∴假设不成立. 假设不成立 1 ∴ M≥ 2.
2.2直接证明与间接证明 2.2.2
反证法
普宁华侨中学 林文城
1
思考？ 思考？
三个人， 撒谎， A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 撒谎， 都撒谎。 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？ 是在撒谎，为什么？
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.
12
c 1.已知 abc≠0, 求证 三个方程 ax2+bx+ 4 =0、bx2+cx+ a =0 与 已知 ≠ 求证: 、 4 cx2+ax+ b =0 中至少有一个方程有实数根 中至少有一个方程有实数根. 4 2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R), 当 x∈[-1, 1] 时, |f(x)| 的最 对于函数 ∈ ∈求证: 大值为 M, 求证 M≥ 1 . 2 3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解 求实数 m 的取值范围 方程 的取值范围. ]上有解, 1.证 设三个方程的判别式分别为△ 1.证: 设三个方程的判别式分别为△1, △2, △3, 由 △1+△2+△3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb △ △ = 1 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0 2 即 △1+△2+△3 ≥0. △ △ 中至少有一个非负. ∴△1, △2, △3 中至少有一个非负 故所述三个方程中至少有一个方程有实数根. 故所述三个方程中至少有一个方程有实数根
2
2
π
2
,
π
3 6 中至少有一个大于0 求证 : a ,b ,c 中至少有一个大于 0 .
16
,c = z - 2x +
2
π
,
1. 若 p1p2=2(q1+q2), 证 明 : 关 于 x 的 方 程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中至少有一个方程有实根 中至少有一个方程有实根. 假设这两个方程都没有实根, 从而有: 证: 假设这两个方程都没有实根 则 △1<0 且 △2<0, 从而有 △1+△2<0. 又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2) =p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0, 矛盾. 即 △1+△2≥0, 与 △1+△2<0 矛盾 ∴假设不成立. 假设不成立 故这两个方程至少有一个有实根. 故这两个方程至少有一个有实根
从而有4 从而有4k = 2n ，即n = 2k 互质矛盾！ 也是偶数， 这与m ∴ n 2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立， 是有理数成立。 所以假设不成立，2是有理数成立。
10
2
2
练习1.设 求证: 练习 设 f(x)=x2+ax+b, 求证 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个 、 、 不小于 1 . 2 证: 假设 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于 1 , 即: 、 、 2 1 <1+a+b< 1 3 <a+b<- 1 -2 -2 -2 ① 2 - 1 <4+2a+b< 1 ⇒ - 9 <2a+b<- 7 -2 ② 2 2 2 19 17 1 1 - 2 <9+3a+b< 2 - 2 <3a+b<- 2 ③ 1 由①式得 2 <-a-b< 3 , 与②式相加得 -4<a<-2 ④ - - 2 7 由②式得 2 <-2a-b< 9 , 与③式相加得 -6<a<-4 ⑤ - - 2 显然④ 显然④与⑤矛盾, 矛盾 假设不成立. ∴假设不成立 1 故 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于 2 . 、 、