第二讲(三 圆的切线的性质及判定定理)
合集下载
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)(2)
④t△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝3 cm，BC
(1)求△ABC 内切圆的半径； (2)若移动内切圆心 O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边 AC、BC 都相切． ①求半径 r 的取值范围； 12 ②当⊙O 的半径为 cm 时，求圆心 O 的位置． 7
分析：本题考查圆的切线的求法及三角形内切圆的 有关性质的应用．解答本题需要搞清直线与圆相切的条件 以及从“变”中找到“不变”，从而找到解决问题的突破口．
[读教材·填要点] 1．直线与圆的位置关系 直线与圆有 两个 公共点，称直线与圆相交；直线与 圆只有 一个 公共点，称直线与圆相切；直线与圆 没有 公 共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理 圆的切线 垂直于 经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ． 3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
恰与腰AB相切． 求证：以腰AB为直径的圆O2也与腰CD相切．
证明：连接O1O2，作O2E⊥O1D于E， DF⊥O1O2于F.
∵O1C＝O1D，O2B＝O2A，
∴O1O2∥AD∥BC. ∴AB⊥O1O2，DF＝O2A. ∵AB与⊙O1相切，∴O1O2＝O1D. ∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E＝DF.
证明：如图，连接BC交AE于F点．
∵AB∥CD，∴∠1＝∠3. 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2，即AF＝BF. ①
AB为⊙O的直径，BE为⊙O的切线，
∠2＋∠4＝90° ∴ ∠1＋∠5＝90°
， ② ③
∴∠4＝∠5，即 FE＝BF. 由①②得 AF＝FE. 又 AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AG. 又 EG⊥AG， ∴BC∥EG. 由③④得 AC＝CG.
15-16版：三 圆的切线的性质及判定定理
三 圆的切线的性质及判定定理
10
跟踪演练1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝ 90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径.求证：⊙O与CD 相切.
三 圆的切线的性质及判定定理
11
证明 过O作OE⊥CD，垂足为E.
因为AD∥BC，∠C＝90°，所以AD∥OE∥BC.
因为O为AB的中点，所以E为CD的中点. 所以 OE＝12(AD＋BC). 又因为AD＋BC＝AB，
三 圆的切线的性质及判定定理
39
1234
4.如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C 点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
三 圆的切线的性质及判定定理
40
证明 如图所示，连接OC. ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD. 由此得∠ACO＝∠CAD. ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO. 故AC平分∠DAB.
所以 OE＝12AB，且等于⊙O 的半径. 所以⊙O与CD相切.
三 圆的切线的性质及判定定理
12
要点二 圆的切线的性质定理的应用 例2 如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、 AC分别交于点D、点E.过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
三 圆的切线的性质及判定定理
13
(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
解 DF与⊙O相切. 证明：连接OD， ∵OB＝OD，∠ABC＝60°. ∴△BOD是等边三角形， ∴∠DOB＝60°. ∵△ABC是等边三角形，
三 圆的切线的性质及判定定理
14
∴∠ACB＝60°. ∴∠ACB＝∠DOB，∴OD∥AC. ∴∠ODF＝∠AFD＝90°， ∴DF是⊙O的切线.
课件1：三 圆的切线的性质及判定定理
典例剖析
【例 1】下列说法正确的是( D )
A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆不相切，则它与圆相交 C．若直线与圆有公共点，则它和圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则公共点是切点
变式 1 已知下列五个命题： A．过半径外端点的直线是圆的切线 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．经过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线 D．过直径的端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线 E．和圆有唯一交点的直线是圆的切线 其中正确的命题是__________．
思考探究1 垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？ 提示：这种说法错误．根据圆的切线的判断定理，主要考查 两个条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径， 这两个条件缺一不可．故此说法错误．
思考探究2 经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的 切线对吗？为什么？ 提示： 这种说法正确．因为直径有两个端点，且都为半径的 外端，因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
(1)求证：直线 ED 是⊙O 的切线； (2)连接 EO 交 AD 于点 F，求证：EF＝2FO.
(1)证明 连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形，AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90° ∴∠EDA＝45°，∠ODA＝45° ∴∠ODE＝∠EDA＋∠ODA＝90°. ∴直线 ED 是⊙O 的切线．
3．圆的切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清题设和结论，题设是：一条直 线 l 满足两个条件：(1)经过半径 OA 的外端点 A；(2)垂直于这 条半径 OA.结论是： 这条直线 l 是圆的切线．即直线 l⊥OA 于 A，则 l 为⊙O 的切线． 如图：①是切线，②，③不是切线．
4．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及数 值计算或距离问题，常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系常选用 (3).
三 圆的切线的性质与判定定理
AC2＝AB· AD CD2＝AD· BDBBiblioteka 2＝AB· BDAD
B
例4、试用直角三角形射影定理证明勾股
定理 已知：如图，Rt△ABC中， ∠C=90°
求证：AC2＋BC2＝AB2
C
A
D
B
例5、如图，Rt△ABC中， ∠C=90°， AC＞BC，CD⊥AB于点D，若CD＝4，AB＝10， 求AC及BC
C
A
D
B
例6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证： AC3 AE 3 BC BF
C E F
A D
B
（2）PO垂直平分线段AB A ※结论可以直接用 O · 切线长定理 切线，切线长相等 P
B 从圆外一点引圆的两条
例3、如图，⊙O和⊙O′外切于点P，一 条外公切线切两圆于点A、B，求证：∠APB ＝90° A B Q O · O′
· P
从一点向一条直线作垂线，垂足就称为 这点在这条直线上的射影 一般地，一个点集（例如线段或其它几 何图形）中所有的点在某直线上的射影的集 合，就是这个点集在这条直线上的射影 直角三角形射影定理 直角三角形一条 直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影 与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条 直角边的在斜边上射影的乘积 C Rt△ABC∽Rt△ACD∽△Rt△CBD
切线的判定定理 过半径外端且与这条 半径垂直的直线是圆的切线 切线的性质定理 切点的半径 圆的切线垂直于经过
例1、如图，已知P为⊙O外一点，以PO 为直径作⊙M，⊙M与⊙O交于点A、B， 求证：PA、PB是⊙O的切线 A O B · · M · P
例2、如图，从圆外一点P引⊙O的两条 切线PA、PB，点A、B为切点。 求证：（1）PO平分∠APB
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)(2)
考虑连接OQ，得到垂直关系，然后再证明．
证明：连接OQ.
因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.
因为OB＝OQ， 所以∠B＝∠OQB. 因为BO⊥OA， 所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP. 所以∠RPQ＝∠PQR.
所以RP＝RQ，所以PQR为等腰三角形．
[悟一法] (1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起
[读教材·填要点] 1．直线与圆的位置关系 直线与圆有 两个 公共点，称直线与圆相交；直线与 圆只有 一个 公共点，称直线与圆相切；直线与圆 没有 公 共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理 圆的切线 垂直于 经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ． 3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
∴O2E＝O2A.即⊙O2与CD相切．
[研一题] [例2] 如图，OA和OB是⊙O的半
径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，
BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R， 求证：△PQR为等腰三角形． 分析：本题考查切线的性质的应用．解答本题需
要证明△PQR中的两个角相等，因为QR为切线，故可
解：(1)如图(1)，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ，AC＝3 cm，BC＝4 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝5(cm)． 连接 OD、OE、OF，则 OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB. 又∵OD＝OE，∠C＝90° ，∴四边形 CEOD 为正方形． AC＋BC－AB 3＋4－5 ∴内切圆的半径 r＝ ＝ ＝1(cm)． 2 2 (2)①如图(2)，设与 AC、BC 相切的最大圆与 AC、BC 的切点分别为 A、D，连接 OA、OD，则四边形 AODC 为 正方形．
证明：连接OQ.
因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.
因为OB＝OQ， 所以∠B＝∠OQB. 因为BO⊥OA， 所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP. 所以∠RPQ＝∠PQR.
所以RP＝RQ，所以PQR为等腰三角形．
[悟一法] (1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起
[读教材·填要点] 1．直线与圆的位置关系 直线与圆有 两个 公共点，称直线与圆相交；直线与 圆只有 一个 公共点，称直线与圆相切；直线与圆 没有 公 共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理 圆的切线 垂直于 经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ． 3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
∴O2E＝O2A.即⊙O2与CD相切．
[研一题] [例2] 如图，OA和OB是⊙O的半
径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，
BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R， 求证：△PQR为等腰三角形． 分析：本题考查切线的性质的应用．解答本题需
要证明△PQR中的两个角相等，因为QR为切线，故可
解：(1)如图(1)，在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ，AC＝3 cm，BC＝4 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝5(cm)． 连接 OD、OE、OF，则 OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB. 又∵OD＝OE，∠C＝90° ，∴四边形 CEOD 为正方形． AC＋BC－AB 3＋4－5 ∴内切圆的半径 r＝ ＝ ＝1(cm)． 2 2 (2)①如图(2)，设与 AC、BC 相切的最大圆与 AC、BC 的切点分别为 A、D，连接 OA、OD，则四边形 AODC 为 正方形．
切线的性质及判定
一、切线的性质及判定1．切线的性质2．切线的判定3． 切线长和切线长定理切线的性质及判定（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；（）圆中证明角相等的方法：①同角（或等角）余角相等；爱智康2018/06/121122⇒AB AB M AB ⊥l ⇒AB AB ⊥l AB M ⇒AB ⊥l AB M AB 1231212②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；④平行线出同位角或内错角相等；⑤全等或相似三角形中的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。
（）给出圆的切线，作辅助线，连接过切点的半径，则半径垂直于切线．爱智康 2018/06/123。
人教版高中数学选修4-1《2.3圆的切线的性质及判定定理》
∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必经过圆心 .
下面通过考察性质定理 的 逆命题来得到判定定理 .
如图 2 11 , 点 A 是圆 O 与直 线 l 的公共点且 l OA .在直 线 l 上任取异于点 A 的点 B , 都有 OB OA , 这是因为 OBA
l
A
M
B
O
图 2 11
是直角三角形 , 而 OB 是 Rt OBA 的斜边 .因此 , 点 B 在圆外 .由点 B 的任意性 , 知圆与直线只有一个公 共点 , 因此 l 是圆的切线 .由此可得
于是有:
切线的性质定理 切点的半径 .
圆的切线垂直于经过
因为经 过一点 只有一条直 线与已知直 线 垂直, 所以经过圆心垂直于切线的直线一 定过切点; 反之, 过切点且垂直于切线的直 线也一定经过圆心.由此得到:
推理 1 经过圆心且垂直于切线 的直线
必经过切点 .
推理 2 经过切点且垂直于切线 的直线
思考 圆的切线性 质定 理及它的 两个推论, 涉及一条直线的三条性 质 : 1 经过圆心 ; 2 经过切点 ; 3 垂直于切线你能把圆的切线性质 . 及它的两个推论概括在 同一个定 理中吗 ?
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂 直
于这条半径的直线是圆 的切线 .
例1
如图2 12 , AB 是圆O的直
E
C D B
径,圆O过BC 的中点D, DE AC. 求证 : DE是圆O的切线.
单击图示 ,打开几何画板实验 .
O
证明
连接 OD .
A
因为 BD CD , OA OB ,
所以 OD 是 ABC 的中位线 .
如图2 11, 直线 l 是圆O的 切线, A为切点 观察、测量 . 图形可发现 l OA.那么l与 , 半径OA 是否一定垂直呢?
假设l与OA 不垂直, 那么过 点O可作OM l , 垂足为M ,
l
A
M
O
图 2 11
根据" 垂线段最短 性质, 可得OA OM .这就是说 " 圆心到直线l 的距离小于圆的半径于是l 就应与 , 圆O相交, 这与 l 是圆O的切线相矛盾 . 因此, l与OA 一定垂直 .
A
B
单击图示 ,打开几何画板实验 .
证明
连结 OC , 因为 CD
图 2 13
是圆 O 的切线 , 所以 OC CD . 又因为 AD CD , 所以 OC // AD .由此得
ACO CAD . 因为 OC OA , 所以 CAO ACO .
则 CAD CAO .故 AC 平分 DAB .
三
圆的切线的性质及判定
定理
我们知道, 直线与圆有相交、相切 和相 离三种位置关系 这是从直线与圆的公 ， 共点个 数 刻画的.直线与圆有两个公共 点, 称直线与圆相交; 直线与圆只有一个 公共点, 称直线与圆相切 直线与圆没有 ; 公共点, 称直线与圆相离 .
本节专门讨论直线与圆 相切的情形. 我 们先看当直线与圆相切 时有什么性质 .
则 OD // AC , 又因为 DEC 90 0 ,
图 2 12
0 所以 ODE 90 . 又因为 D 在圆周上 , 所以
DE 是圆 O 的切线 .
例2
如 图2 13 , AB 为圆O 的
D C
直径 , C 为圆O上一点, AD 和过 C点的切线互相垂直 垂足为D. , 求证 : AC平分DAB .