数学课堂教学中“数学问题意识”的培养

数学课堂教学中“数学问题意识”的培养------《椭圆的简单几何性质》教学案例（洛阳市第一高级中学数学组 王伟）【教学主题】《椭圆的简单几何性质》第一课时课堂教学，使学生掌握椭圆的几何性质，正确作出图形，并能利用几何性质解决问题。

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决问题的能力。

培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法及学生的团队合作意识。

通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

【教学理念】数学教学过程的关键是引发学生的数学思维和数学思考，培养学生提出问题的意识和解决问题的能力，所以说问题是数学学习的关键。

本节课采用问题教学法，引导学生由“形”发现问题，以 “数”解决问题，达到“数形结合”的完美统一。

【教学描述】 1. 教学背景描述本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-1》（人教A 版）第二章，椭圆第二节第一课时，是在高二学生学习了直线、圆等解析几何知识和椭圆定义及标准方程之后，也是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质；同时，椭圆作为圆锥曲线的第一个曲线，对椭圆的研究方法直接关系到其他两个圆锥曲线（双曲线、抛物线）的学习方法。

对高二的学生来说，已学习圆，直线等解析几何的知识，有一定观察分析能力、运用解析法解决问题的能力；同时又对椭圆的定义及标准方程有了较深的了解，有了研究椭圆几何性质必备的知识基础。

2. 课堂教学描述师：在物理和地理学科中都涉及到了天体运动，大多数天体都是在以某个天体为一个焦点作椭圆运动的。

如果告诉你某天体的轨道方程，你能否作出它的的轨迹呢？比如椭圆2212516x y +=对应的曲线怎么画？ 生1：就是把一个圆画的扁一点嘛！生2：根据椭圆的定义，找一根绳子就可以画出来了！ 生3：列表、描点、画图就行了！……（大家的方法多种多样）师：同学们的方法都很好，但是都有些不能令人满意的地方。

比如有同学说把一个圆画的扁一点就是椭圆，作图的速度有了，但是不够精确，画多大的一个“扁圆”才是这个椭圆呢？再比如根据定义用绳子来画，很精确，但是太麻烦；还有列表、描点、画图的方法也很精确，但是不够快。

（针对大多数学生提出的几种作图方法做点评，留下疑问。

这时同学们最期待老师的方法是什么？）那我们用什么方法来画图，既能画图快速，又能保证精确程度呢？大家不妨先回忆一下，在以前我们还学过什么作图的方法，既能画图快速，又能保证精确程度？ （稍作提示：在三角函数部分） 生：五点作图法师：不错，是五点作图法！那么咱们学习五点作图法的前提是什么，要领又是什么？ 生：是在学习了正余弦函数性质之后，学习了这种方法；五点作图法的要领是五个关键点。

师：是的，那我们要想既快又准的画出椭圆的图像，我们首先要了解椭圆的几何性质。

这节课我们就来研究椭圆的简单几何性质（板书课题），这也是在研究和解决平面解析几何问题中的第二问题：通过方程，研究平面曲线的性质。

（引入课题）这节课我们就以方程22221x y a b+=（ a ＞ b ＞ 0 ）为例来研究椭圆的几何性质（播放幻灯片一）（图1） （图2）师：“没有规矩不成方圆”，从图形上看：椭圆是一个有边界的图形，你能为它“量身打造”一个矩形，以表示它有边界吗？（大多数同学都能画出这个表示范围的矩形（图2），播放幻灯片（动画）展示矩形） 根据图形我们可以说椭圆是有范围的，你能根据矩形写出椭圆的范围吗？ 生：位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里（这个问题很容易解答）师：（进一步引导）你能从“数”（方程）的角度来证明你写的范围是正确的吗？小组之间可以合作讨论。

（最终不难得出结论：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里）（老师板书椭圆范围） （播放幻灯片二）（图3） （图4）师：从图形上看，椭圆是个对称图形吗？yxF 1F 2yxF 1F 2yx F 1F 2OyxF 1F 2 OMPPP生：关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称。

师：是的，椭圆是一个很完美的对称图形，同样你怎么能从方程的角度，也就是“数”的角度来说明它是对称图形呢？小组间可以讨论一下。

（这个问题有点难度，老师巡视并对各小组的实际讨论情况做以引导）（大多数同学会想到设点验证的办法，即设点M（x0，y0）是椭圆上任意一点，则它关于x 轴、y轴及原点的对称点P仍在椭圆上（播放幻灯片（动画）图4）；有一部分同学会想到以“相关点法”求关于x轴、y轴及原点对称的曲线的方程和原方程是一样的）师：（对两种主要的方法简单说明并加以总结）其实这两种方法殊途同归，同学们能不能以这两种方法的本质总结一种更简单的操作方法？（让学生思考片刻，让学生举手回答）生甲：（该生思维活跃，但是表达能力不好）比如说点（x，y）在椭圆上，点（-x，y）也在椭圆上，则可以说明椭圆关于y轴对称，同理点（x，-y）在椭圆上，则可以说明椭圆关于x轴对称；点（-x，-y）在椭圆上，则可以说明椭圆关于原点对称。

（有些同学开始议论：你说的还不是“取点验证法”；……）师：其实陈智隆说出了本质的东西，说的不错。

他的意思可以换种说法，点（x，y）在椭圆上，点（-x，y）也在椭圆上用方程表达就是22221x ya b+=成立时，2222()1x ya b-+=也成立。

也可以这样说，把方程22221x ya b+=中的x换成-x，方程2222()1x ya b-+=和原来的方程22221x ya b+=是一样的，也就是椭圆方程没变化，则椭圆关于y轴对称。

同理，把方程中的y换成-y，椭圆方程不变，则椭圆关于x轴对称；把方程中x换成-x同时y换成-y，椭圆方程不变椭，则椭圆关于原点对称。

（在“取点验证法”的基础上，同学们都能认可这种说法）那么这种方法能推广到一般方程对应的曲线上吗？（有些同学说是，有些同学表示怀疑，在回答是的同学中找一个表达看法）生乙：（该生思维细腻，学习程度中等）其实椭圆的方程完全可以改写成一般方程来代替，比如用f（x，y）=0来代替，其本质是一样的。

（其他同学也点头认可）师：回答得很好，这个性质是可以推广到一般情况的，今后咱们在由方程来了解曲线性质的问题上又多了一个法宝。

学以致用才是王道，请同学们完成《同步学案》对点训练第1题。

（老师板书椭圆对称性及总结内容）对点训练1x y、试判断方程||+||=1所示曲线的对称性，并画出简图.（本题的设计意图：让学生通过实例验证和使用自己总结的结论，同时巩固所学，鼓舞学生，激发学生的学习兴趣）（老师展示几个同学的解答过程并作出点评）（播放幻灯片三）yx F1F2yB2B1A1A2 F1F2（图5） （图6）师：这个是刚才同学们为椭圆“量身打造”的矩形，我们发现矩形与椭圆切于四个点，看来这四个点是椭圆比较突出的四个点，咱们就把它叫做顶点吧。

同学们能根据方程求出顶点坐标吗？生：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.（播放幻灯片（动画）图6显示顶点）师：可以形象的看出来线段21A A 、21B B 支撑了椭圆，我们把线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

根据以上知识请同学们完成《同步学案》对点训练第2题。

（老师板书椭圆的顶点及长短轴）对点训练2、已知椭圆方程为9x 2+25y 2=225它的长轴长是： 短轴长是：焦距是： 焦点坐标是： 顶点坐标是： 外切矩形的面积等于： （本题的设计意图：让学生通过实际的方程熟悉顶点、长轴、短轴。

本题较易，可以让学习程度偏下的学生回答，以增强自信心） （播放幻灯片四）（图7） （图8） （图9）师：椭圆不仅有大小之分（图7），同时也有扁平的区别，我们怎么用定量的“数”来刻画这些性质呢？生：只要是一样扁的，椭圆大小可以用长轴和短轴的大小来刻画。

但是扁平程度…… 根据所给的椭圆（图8），长轴一定，短轴的长短就决定了椭圆的扁平程度。

师：恩，是的。

当长轴一定时，短轴的大小能刻画扁平程度。

如果长轴不同呢？ （播放幻灯片显示图9）生：可以把长轴化成一样，或当做一样长的...那就利用比值吧？！ (答案很多，但基本上都认可比值)师：是的，咱们可以利用比值ba来刻画椭圆的这个特征，比值越大，椭圆越圆；比值越小，椭圆越扁。

我们是不是也能用比值ca来刻画这个特征呢？生：可以的，并且比值越大，椭圆越扁；比值越小，椭圆越圆。

师：在实际的问题中，我们常用比值ca来刻画这个特征，我们也给它取了一个名字：离心率，用e 来表示。

同学们能看出离心率e 的范围吗？ 生：因为c a <，所以e 在0到1之间。

师：那么给你一个方程，你能说出哪个椭圆更圆吗？请同学们完成《同步学案》对点训练第3题.22222:9362,1612x y x y C ---------+=+=1对点训练3、对于椭圆C 与椭圆：更接近于圆的是。

（本题的设计意图：让学生通过实际的方程计算离心率，并明确离心率的实际意义）师：我们刚才研究了椭圆的几何性质，请同学们自主总结性质，完成《学案》要点归纳的表格左半部分：焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形标准方程 范围 对称性 顶点坐标 轴长 离心率（填写完成后，展示几位同学的表格）师：根据自己所学的知识，方程为2212516x y +=的椭圆怎么画？ （设计意图：回应引入的问题，为今后椭圆的学习奠定基础） 生：描出椭圆的长短轴、矩形，再画椭圆。

（让学生实际的操作）（以下是巩固练习，都是由学生自己思考解答）例2 .求椭圆16x 2+25y 2=400中x,y 的取值范围，以及长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心率大小。

（设计意图：由实际的方程来熟练本节所学的定义和概念） 336.x 例、求适合下列条件的椭圆的标准方程：2(1)长轴长是6，离心率是；(2)在轴上的一焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距是 （设计意图：结合上一节所学知识，来求椭圆方程，让同学们能与上一节所学的知识联系起来）作业布置：1. 完成《学案》要点归纳的表格左半部分 2.《同步学案》【课时作业】思考题：如果给出曲线的方程：2212516x y-=.你能用本节方法来研究方程曲线的有关性质吗？（为学习双曲线的几何性质打下基础）【教学特点】培养学生的“数学问题意识”，就是培养学生发现问题的意识和解决问题的能力。