泊松过程

(t ) D[ X (t )] D[ X (t ) X (0)] t
2 X
R X ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ) X ( s ))] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ))] E[( X ( s ))2 ] E[( X ( s ) X (0))(X (t ) X ( s ))] D[ X ( s )] E[ X ( s )]2 E[ X ( s ) X (0)]E[ X (t ) X ( s )] D[ X ( s )] E[ X ( s )]2 s (t s ) s (s ) 2 s (t 1)
从而W1的条件分布函数为
0 , s 0 s FW1| X (t )1 ( s) , 0st t 1 , s t
条件分布密度函数为
1 , 0st fW1| X (t )1 (s) t 0 ,
设{X(t), t0}是泊松过程， 已知在[0, t]内 事件A发生n次，则这n次事件的到达时间 W1< W2<< Wn的条件概率密度为
T1服从均值为1/的指数分布
t t
FT1 (t ) P T1 t 1 P T1 t 1 e
(2)n=2
P{T2>t| T1=s} = P{在(s, s+t]内没有事件发生| T1=s}
=P{X(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1} = P{X(s+t) -X(s)=0 }
等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
时间间隔Tn
设{X(t), t0}是参数为的泊松过程， {Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间间隔 序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值 为1/的指数分布。
证： (1)n=1
事件{T1> t}发生当且仅当在[0, t]内没有事件 发生
P T1 t P X (t ) 0 P X (t ) X (0) 0 e
等待时间（到达时间）Wn
设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程，{Wn, n 1}是相应等待时间序列，则Wn服从参数为n 与的分布，概率密度为
t (t ) n 1 ,t 0 e fWn (t ) ( n 1)! 0 , t 0
证明： Wn Ti (n 1)
2
= E[X(s) - X(0)]E[X(t) - X(s)] + D[X(s)] + {E[X(s)]}
2 2
2
= s(t - s) + s + ( s) = st + λ s = s( t + 1),

协方差函数
B ( s, t ) R ( s, t ) m
X X
FTn (t ) PTn t 1 PTn e t , t 0 FTn (t ) PTn t 0 , t 0
概率密度为
e t , t 0 fTn (t ) 0 , t 0
se e t te
s ( t s )
s t
对st，有
PW1 s, X (t ) 1 PX ( s ) 1, X (t ) 1 PX (t ) 1 PX (t ) 1 PX ( s ) X (t ) 0, X (t ) 1 PX (t ) 1 P{ X ( s ) X (t ) 0}P{ X (t ) 1} PX (t ) 1 P{ X ( s ) X (t ) 0} s t X ( s ) X ( t ) P{ X ( s ) X (t )} 1 PW1 s | X (t ) 1
换言之，到达时间在[0, t]上服从 均匀分布。
对s<t，有
P W1 s, X (t ) 1 PX (t ) 1 PX ( s ) 1, X (t ) 1 PX (t ) 1
P W1 s | X (t ) 1
PX (s) 1, X (t ) 1 W1 s X (s) 1 PX (t ) 1 PX (s) X (0) 1, X (t ) X (s) 0 PX (t ) 1 PX (s) X (0) 1}P{ X (t ) X (s) 0 s t X (s) X (t ) 1 PX (t ) 1
(4 0.5) 40.5 (4 2) 42 e e 4! 1!
1
4
0.0155
3.2 泊松过程的基本性质
数字特征 泊松过程的时间间隔Tn与等待时间Wn的分 布 到达时间Wn的条件分布

数字特征

均值函数
m ( t ) E[ X ( t )] E[ X ( t ) X (0)] t X
FT2 (t ) PT2 t 1 PT2 t 1 e
T2服从均值为1/的指数分布
t
(3)n 1
PX (s1 L sn1 t ) X (s1 L sn1 ) 0 e
t t
PTn t | T1 s1 , L , Tn1 sn1
e s
(s ) k ( t s ) [ (t s )]n k e k! (n k )! n t ( t ) e n!
n
s C t
k n
1
s t
nk
参数为n和s/t的二项分布
例2
已知仪器已知仪器在[ 0 , t ] 内发生振动的 次数X(t) 是具有参数λ的泊松过程。若仪器 振动k (k ≥1)次就会出现故障，求仪器在时 刻 t0 正常工作的概率。
n! n ,0 t1 t2 tn t f (t1 , t2 , , tn ) t 0 , 其他
例1
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t,对 于0<k<n,求在[0,s]内事件A发生k次的概率 解： PX ( s) k , X (t ) n PX ( s) k | X (t ) n PX (t ) n PX ( s ) k , X (t ) X ( s ) n k PX (t ) n PX ( s ) k PX (t ) X ( s ) n k PX (t ) n
P[ X ( t
(t )
k 1 dt
( k 1) !
) k] (t ) n
0
k 1 t0 e n 0
0
n!
例3
设X 1 (t )和X 2 (t )是分别具有参数 1 和 2 的相互独立的泊 松过程，证明 （1） Y (t ) X1 (t ) X 2 (t ) 是具有参数的泊松过程； （2） Z (t ) X1 (t ) X 2 (t ) 不是泊松过程。
协方差函数
BX (s, t ) RX ( s, t ) mX (s)mX (t ) s 若t s, 则BX (s, t ) t , 从而 BX (s, t ) min(s, t )
泊松过程的特征函数为
g X (u ) E e e e
n 0 iun t
例2
顾客到达某商店服从参数λ=4人/小时的泊松 过程，已知商店上午9：00开门，试求到9： 30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达 5位顾客的概率。 解：设X(t)表示在时间t时到达的顾客数 P(X(0.5)=1，X(2.5)=5) =P(X(0.5)=1，X(2.5)-X(0.5)=4) =P(X(0.5)=1)P(X(2)=4)

方差函数
X (t ) D[ X ( t )] D[ X ( t ) X (0)] t
2

相关函数
R X (s,t) = E[X(s)X(t)] = E{X(s)[X(t) - X(s) + X(s)]} = E[X(s) - X(0)][X(t) - X(s)] + E[X(s)]
解： 仪器发生第k振动的时刻Wk ，则Wk 的概率分布为Γ分布：
(t ) t e , t 0 f (t ) Wk ( k 1) ! t 0 0,
k 1
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为：
P P (W t ) k 0 t t e 0
e t
(t ) n 1 ( n 1)!
到达时间Wn的分布
参数为n与的分布又称爱尔兰分布，它 是n个相互独立且服从指数分布的随机变 量之和的分布。
到达时间Wn的条件分布
假设在[0, t]内事件A已经发生1次，我们要确 定这一事件到达时间W1的分布。 因为泊松过程有平稳独立增量，固有理由认 为[0, t]内长度相等的区间包含这个时间的概率相 等。
X
(s)m
X
(t ) s
推导过程
设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程，对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有
E[ X (t ) X (s)] D[ X (t ) X (s)] (t s) mX (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
i 1
n
， Ti为时间间隔
Wn t X (t ) n
FWn (t ) P Wn t P X (t ) n P X (t ) j j n j t ( t ) P X (t ) j e j! j n j n
fWn (t )

dF Wn (t ) dt
j 1 (t ) j ( t ) e t j j! j! j n