第三章泊松(Poisson)过程.
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泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
第3讲第三章泊松过程
对于n＞1 和t＞0,以及 s1，s2，…，sn-1>0,有
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
第3章 泊松过程
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第三章 Poisson过程
由Posisson过程定义，N (t + s) − N ( s) 分布不依赖于s，Poisson过 Posisson过程定义 过程定义， 分布不依赖于s Poisson过 程是平稳过程。 程是平稳过程。 E[ N (t )] = λt , λ 为单位时间内发生事件的平均次数，称为 为单位时间内发生事件的平均次数， Poisson过程的强度或速率 Poisson过程的强度或速率。 过程的强度或速率。
金融随机方法
3
何林： 何林：helinmail@
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠） 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 泊松过程是Lévy过程 过程（ process）中最有名的过程之一。 泊松过程是Lévy过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子 过程的例子。 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
(4 ×12) n −4×12 P{N (12) − N (0) = n} = e , n! E[ N (12) − N (0)] = 4 × 12 = 48.
第4讲 第三章泊松过程(2)
n! n, f (t1 , t2 , , tn N (t ) n) t 0,
0 t1 tn t 其他.
证明：
0 t1 t2 t n1 t n t
P Wi ti -ti，ti , i 1, , n | N (t ) n
k 1
t
Dk e ( t Wk ) N ( t ) n]
N (t ) n] （Dk 与N(t), Wk相互独立） N (t ) n]
n
e
k 1
n
EDk E[e
n
Wk
e
t
ED1 E[e
k 1
n
Wk
E ( D1 )e t E[ eWk N (t ) n]
解： 每次损伤初始为Dk，经时间t 后衰减为
Dke－αt，t≥0 (α>0);
Wk 为第k 次受震动的时刻，则在t 时刻的总损伤： N (t ) D( t ) D e t Wk
k 1
k
需求E[D( t )].
由全期望公式来计算期望.
E[ D t N (t ) n] E[
ti 0 i 1,, n
n! n t
注 若在(0, t]时间内A出现n 次,则这n 次到达时间 W1,W2,…,Wn与 n个相互独立的[ 0, t]上的均匀分布 随机变量U1,U2, …,Un的顺序统计量U(1),U(2), …,U(n)
有相同分布.
性质3 设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程,
P Wk s，s s | N (t ) n
P Wk s，s s ，N (t ) n
P N (t ) n P N ( s ) k 1, N ( s s ) N ( s ) 1, N (t ) N ( s s ) n k P N (t ) n
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基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
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令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
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(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
特征: 增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于 区间的长度t-s, 而与它的位置无关.
当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
第四章 泊松过程
基础部张守成
一、齐次泊松过程
1、独立增量过程
给定二阶矩过程 {X (t), t 0}, 定义随机变量 X (t) X (s), 0 s t 为随机过程 在(s, t] 上的 增 量 . 如果对任意选定的正整数 n 和任意选定的 0 t0 t1 t2 tn , n 个增量
用N (t), t 0表示在时间间隔 (0, t]内发生的某种
事件的数目，则{N(t), t 0}称为计数过程. 一个计数过程一定满足： (1) N(t)取非负整数值； (2) 如果s<t,则N(s)≤N(t); (3) N(t)在[0, ∞)上右连续且逐段取常数; (4) 对于0 s t , N (s, t) N (t) N (s) 等于在
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定理：
N (t)
设 X (t) Y是k ,复t 合0泊松过程，则 k 1
(1) {X(t), t0}是独立增量过程；
(2) X(t)的特征函数 gX (t) (u) exp t[gY (u) 1]
是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数；
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2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
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4
2 (t)dt
3
4
2 (200 400t)dt 3 1400dt
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
P{N(9) N(7) 2000} e2800 (2800)2000 2000!
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2、复合泊松过程
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
fWn
(t)
e
t
( t )n1
,t (n 1)!
0
0 , t 0
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二、泊松过程的推广
1、非齐次泊松过程
若 是时间t的函数 (t), t 0, 则称泊松过
{N (t), t 0}是强度函数为(t)的非齐次泊松过程.
将 2, t代入5
E[ X (t )] tE(Yn ), D[ X (t)] tE(Yn2 )
可得五周内移民到该地人口数的的期望
E[X (t)] 25, D[X (t)] 69
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课堂练习
设进入到某超市的人数是一个速率为 100
CN (s,t) mins,t, s,t 0.
相关函数:
RN (s,t) E[N(s)N(t)] 2st mins,t, s,t 0.
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例1：设{N(t), t 0}服从强度为 2的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
注：
称
m(t
)
t
0
( s )ds
为累积强度函数或均值函数，
则有
N(t) N(s) ~ (m(t) m(s))
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
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例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客
流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时
200 400t,
0 t 3
(t) 1400,
3 t 13
1400 400(t 13),13 t 16
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[N(4) N(2)] m(4) m(2)
故 FT2 T1 (t s) P{T2 t T1 s} 1 P{T2 t T1 s} 1 et .
表明T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.
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重复上面的推导，可得下面的结论：
结论: 设{N(t), t0}是强度为的泊松过程，则
(3)若E(Y12 ) ， 则
E[ X (t )] tE[Y1] D[ X (t )] tE[Y12 ]
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例2 设移民到某地的户数是一个速率为 2
（每周）的泊松过程{N(t), t 0}, 若每户人口
数为独立同分布的随机变量Yn：PYn 1 0.1，
时间间隔 (s, t]中发生的事件数 .
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计数过程的一个典型样本函数
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定义 计数过程 {N(t), t 0}称作强度(或速率)为 的齐次泊松过程 , 如果它满足以下条件：
(1) N (0) 0； (2) 是独立增量过程; (3) 对任意 0 s t, N(t) N(s) ~ ((t s)).
解： (1) P N 5 4 104 e10 4! (2) PN 5 4, N(7.5) 6, N(12) 9
=PN 5 4, N(7.5) N(5) 2, N(12) N(7.5) 3
104 e10 4! 52 e5 2! 93 e9 3!
PYn 2 0.4，PYn 3 0.4， PYn 4 0.1.
设X (t)表示[0,t)时间内移民到该地的人口数，
求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
N (t )
解：X (t) Yn 是复合泊松过程,由Yn的分布律可得 n1
E(Yn ) 2.5, E(Yn2 ) 6.9
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再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数
由于 P{T2>t|T1=s} =P{在(s, s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{N(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1} = P{N(s+t) -N(s)=0 } (独立增量过程)
et .
X (t1 ) X (t0 ), X (t2 ) X (t1 ), , X (tn ) X (tn1 )
相互独立, 则称 {X (t), t 0} 为 独立增量过程. 特征: 在互不相交的区间上,状态的增量是相
互独立的，有 CX (s,t) DX (min( s,t)).
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(3) P{N(12) 9 N(5) 4} P{N(12) N(5) 5 N(5) 4}
P{N(12) N(5) 5} 145 e14 5!
(4) E[N(5)]=10, D[N(5)]=10, Cov[N(5), N(12)] 10.
注：
(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始. (2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证. (3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.
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3. 齐次泊松过程的数字特征
由于 N(s, t) N(t) N(s) ~ ((t s))，
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
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令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
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(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
特征: 增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于 区间的长度t-s, 而与它的位置无关.
当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
第四章 泊松过程
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一、齐次泊松过程
1、独立增量过程
给定二阶矩过程 {X (t), t 0}, 定义随机变量 X (t) X (s), 0 s t 为随机过程 在(s, t] 上的 增 量 . 如果对任意选定的正整数 n 和任意选定的 0 t0 t1 t2 tn , n 个增量
用N (t), t 0表示在时间间隔 (0, t]内发生的某种
事件的数目，则{N(t), t 0}称为计数过程. 一个计数过程一定满足： (1) N(t)取非负整数值； (2) 如果s<t,则N(s)≤N(t); (3) N(t)在[0, ∞)上右连续且逐段取常数; (4) 对于0 s t , N (s, t) N (t) N (s) 等于在
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定理：
N (t)
设 X (t) Y是k ,复t 合0泊松过程，则 k 1
(1) {X(t), t0}是独立增量过程；
(2) X(t)的特征函数 gX (t) (u) exp t[gY (u) 1]
是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数；
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2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
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4
2 (t)dt
3
4
2 (200 400t)dt 3 1400dt
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
P{N(9) N(7) 2000} e2800 (2800)2000 2000!
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2、复合泊松过程
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
fWn
(t)
e
t
( t )n1
,t (n 1)!
0
0 , t 0
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二、泊松过程的推广
1、非齐次泊松过程
若 是时间t的函数 (t), t 0, 则称泊松过
{N (t), t 0}是强度函数为(t)的非齐次泊松过程.
将 2, t代入5
E[ X (t )] tE(Yn ), D[ X (t)] tE(Yn2 )
可得五周内移民到该地人口数的的期望
E[X (t)] 25, D[X (t)] 69
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课堂练习
设进入到某超市的人数是一个速率为 100
CN (s,t) mins,t, s,t 0.
相关函数:
RN (s,t) E[N(s)N(t)] 2st mins,t, s,t 0.
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例1：设{N(t), t 0}服从强度为 2的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
注：
称
m(t
)
t
0
( s )ds
为累积强度函数或均值函数，
则有
N(t) N(s) ~ (m(t) m(s))
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
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例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客
流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时
200 400t,
0 t 3
(t) 1400,
3 t 13
1400 400(t 13),13 t 16
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[N(4) N(2)] m(4) m(2)
故 FT2 T1 (t s) P{T2 t T1 s} 1 P{T2 t T1 s} 1 et .
表明T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.
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重复上面的推导，可得下面的结论：
结论: 设{N(t), t0}是强度为的泊松过程，则
(3)若E(Y12 ) ， 则
E[ X (t )] tE[Y1] D[ X (t )] tE[Y12 ]
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例2 设移民到某地的户数是一个速率为 2
（每周）的泊松过程{N(t), t 0}, 若每户人口
数为独立同分布的随机变量Yn：PYn 1 0.1，
时间间隔 (s, t]中发生的事件数 .
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计数过程的一个典型样本函数
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定义 计数过程 {N(t), t 0}称作强度(或速率)为 的齐次泊松过程 , 如果它满足以下条件：
(1) N (0) 0； (2) 是独立增量过程; (3) 对任意 0 s t, N(t) N(s) ~ ((t s)).
解： (1) P N 5 4 104 e10 4! (2) PN 5 4, N(7.5) 6, N(12) 9
=PN 5 4, N(7.5) N(5) 2, N(12) N(7.5) 3
104 e10 4! 52 e5 2! 93 e9 3!
PYn 2 0.4，PYn 3 0.4， PYn 4 0.1.
设X (t)表示[0,t)时间内移民到该地的人口数，
求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
N (t )
解：X (t) Yn 是复合泊松过程,由Yn的分布律可得 n1
E(Yn ) 2.5, E(Yn2 ) 6.9
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再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数
由于 P{T2>t|T1=s} =P{在(s, s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{N(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1} = P{N(s+t) -N(s)=0 } (独立增量过程)
et .
X (t1 ) X (t0 ), X (t2 ) X (t1 ), , X (tn ) X (tn1 )
相互独立, 则称 {X (t), t 0} 为 独立增量过程. 特征: 在互不相交的区间上,状态的增量是相
互独立的，有 CX (s,t) DX (min( s,t)).
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(3) P{N(12) 9 N(5) 4} P{N(12) N(5) 5 N(5) 4}
P{N(12) N(5) 5} 145 e14 5!
(4) E[N(5)]=10, D[N(5)]=10, Cov[N(5), N(12)] 10.
注：
(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始. (2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证. (3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.
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3. 齐次泊松过程的数字特征
由于 N(s, t) N(t) N(s) ~ ((t s))，