第四章 随机过程习题课
随机过程习题和答案
一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：＝当时，＝设失散型随机变量X 听从几何散布：试求的特点函数，并以此求其希望与方差。
解：因此：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确立的 t对应随机变量t假如对 t时获得红球X (t )3e t假如对 t时获得白球试求这个随机过程的一维散布函数族 .设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为试证明为宽安稳过程。
解：（ 1）与没关（2），因此（3）只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。
设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.试求它们的互协方差函数。
设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？一队学生按序等候体检。
设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多少学生接受过体检在这 1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则N (t ) 为参数为 30 的poisson 过程。
以小时为单位。
则 E(N(1)) 30。
40 (30) k e 30。
P(N (1) 40)k!k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为 1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有N2人乘坐后出发。
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为σY 的正态分布，求X 的概率密度分布。
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
随机过程习题课
3
(2)求[0,2]内收到3次且[0,3]内收到5次呼唤的概率 P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) P ( N (2) N (0) 3, N ( 3) N ( 2) 2) ( 2 2)3 ( 22 ) ( 2 1)2 ( 21) 64 6 e e e 3! 2! 3 (3)已知[0,3]内收到5次呼唤，求[0,2]内收到3次呼唤的概率.
E ( 2 ) E ( )( t1 t 2 ) E ( 2 )( t1t 2 ) C X (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) X (t1 ) X (t 2 )
[ E ( 2 ) E ( )2 ] [ E () E ( ) E ( )]( t1 t 2 ) [ E ( 2 ) E ( )2 ]( t1t 2 )
37 19 19 , , 75 75 75
p(2)
1 p(0) P (2) 3
即两年后所占市场份额分别是 20
(2)试问至第2年底，A公司转移多少客户给B公司。 p12 (2)
p12 (2) 0.24
即第2年底，A公司转移24%客户给B公司。 (3)若某顾客第一年底是A公司的客户，第三年是B公司 的客户，第四年仍然是A公司的客户，求该事件的概率
0 1 3 F ( x; ) 4 2 3 1 x 2 2
(1) t
4
X 4 P
2 X( ) A 4 2
2 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2
2 x 2 2 2 x x 3 2 2 3 2 2
( 2) t
P ( N ( 2) 3 N ( 3)
64 6 e P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) 35 5) 6 6 P ( N ( 3) 5) e 5!
随机过程第4章习题
于 (1 - x, 1) 之间。问 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , 是否满足严平稳的条件？ 解（待补充）
= E e j (ωt +θ ( t ) ) = e jωt
{
} ⋅ E {e ( ) }
jθ t
= e jωt ∫ e jx dF ( x, t )
由于 θ (t ) 是一个二阶严平稳过程，故
mξ ( t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x, t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x ) = e jωt ⋅ E e jθ ( 0)
条件数学期望
E (Y | xi ) = ∑ y j p j / i = ∑ y j p{ Y = y j | X = xi }
j j
全期望公式
E ( X ) = E{E [X / Y ]} = ∑ p Y = y j E (X / y j )
j
[
]
注意到
η ( t1 ) = m, η ( t2 ) = n η ( t1 ) − η ( t2 ) = k , η ( t1 ) + η ( t2 ) = η ( t1 ) − η ( t2 ) + 2η ( t2 ) = k + 2n
且 P{ξ (0) = 1} =
p1 p1 + p 2
，
p2 试证明该过程为严平稳过程。 p1 + p 2
解（提示） ： 给出初始时刻的概率分布，给出任意时刻的概率分布，证明它们示相同的； 给出任意 N 个时刻的概率分布，证明它们具有平移不变性。
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
随机过程-习题-第4章-01
4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。
问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======根据泊松过程的独立增量性质可知{}{})(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k ek k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，{}21122!)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----===(2) 解：该过程的均值为[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)[]()[])]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=其中，)()]()([1212t t t N t N E -=-λ121212)]([t t t N E λλ+=于是，12t t >时的相关函数为[]12121212121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=同理可得21t t >时的相关函数为[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程的相关函数为[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程过程不是平稳过程。
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
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1 5 5 , 3 16 48
p1(2) P{ X 2 1} p0(0) p01(2) p1(0) p11(2) p2(0) p21(2) 1 ( 5 1 9 ) 11 .
3 16 2 16 24
例4 一质点在圆周上做随机游动,圆周上共有N格, 质点以概率 p顺时针移动一格,以概率 q 1 p逆时 针 移 动 一 格, 试 用 马 尔 可 夫 链 描 述 游动 过 程, 确 定 状 态空间和转移概率矩阵.
解 状态空间为 S 1, 2, , N .
pi,i1 p, i 1, 2, , N 1, pi,i1 q, i 2, , N .
pN ,1 p,
p1,N q,
例5 试证Wiener过程B(t)是马尔可夫过程. 证明
p{B(t s) y | B(s) x, B(u)(0 u s)} p{B(t s) B(s) y x | B(s) x,
随机过程
随机过程的数字特征
独 立泊维 增松纳 量过过 过程程 程
均值函数 均方值函数 方差函数 自相关函数 自协方差函数
主要内容（续）
马尔可夫过程
齐 次
C-K 方程
马尔可夫链
马 尔
可
遍历性
夫
转移概率矩阵
链
充要条件
三、典型例题
例 1 设随机过程 X (t ) Y1 Y2t, Y1, Y2 相互独立并 且服从 N (0, 1) 分布.
B(u)(0 u s)} p{B(t s) B(s) y x} 独立增量性 p{B(t s) B(s) y | B(s) x}.
备用例题
(1) 求 X (t) 的一维分布;
(2) 求 X (t) 的均值函数, 方差函数,自协方差函数.
解 (1) 因为 Y1, Y2 相互独立且同服从标准正态分布, 所以对 t T , Y1 Y2t～N (0,1 t 2 ), 故 X (t) 的一维
分布函数为
F ( x, t )
P{Y1
(
Y2t x ).
第四章 随机过程 习题课
一、重点和难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点和难点
1.重点
随机过程的概念与分类
随机过程的统计描述 泊松过程和维纳过程 平稳性
马氏链 n 步转移概率的确定
2.难点
随机过程数字特征的计算 随机过程理论的应用
有限维分布律的计算方法 遍历性问题
二、主要内容
随机过程的分布函数
1 t2;
C XX (t1 , t2 ) E[(Y1 Y2t1 )(Y1 Y2t2 )]
E[(Y1 Y2t1 )]E[(Y1 Y2t2 )]
E[Y12 (t1 t2 )Y1Y2 t1t2Y22 ]
1 t1t2 .
例2 设齐马尔可夫链的转移概率矩阵为
1 3 1 P 12
x}
P Y11Yt22t
1 t2
x
1
t
2
(2) X (t) E[ X (t)] E[Y1 Y2t] 0;
2 X
(t)
E{[X (t)]2 }
{E[X (t)]}2
E[(Y1 Y2t )2 ] E(Y12 2Y1Y2t Y22t 2 )
E(Y12 ) 2tE(Y1 )E(Y2 ) t 2 E(Y22 )
2 3
4
14 4
(1) (2)
P{ X0 0, X2 1}; P{ X2 1}.
解 先求出2步转移概率矩阵.
5 5 1
8 16 16
P(2)
P2
5
1
3
.
136
2 9
116
16 16 4
于是
P{ X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0}
p0(0) p01(2)
1
3 1
2 1
1 3 0
0
0
0
1
.
(1) 问马尔可夫链有几个 状态?
(2) 问从第二状态至少几
4 4 2
0
1 2
0
1 2
步才能到第三状态?
(3) 求2步转移概率矩阵.
解 (1) 有4个状态,状态空间为
S 1, 2, 3, 4 .
(2) 从第二状态至少2步才能到第三状态
13 13 1 1
36 36 9 6
5
5
1
0
(3)
P 2 PP 152
12 11
6 1
1.
24 14 12 4
1 4
1 2
0
1 4
2 1 3.
例3 设Xn,n 0是具有三个状态的齐次马氏链,一
步转移概率矩阵为
3 4
1 4
0
初始布pi (0)
P{ X 0
i}
1, 3
P
1
1
1, i 0, 1, 2, 求 :
4 0