《随机过程》第四章习题
（整理）随机过程课后习题
（整理）随机过程课后习题习题⼀1．设随机变量X 服从⼏何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和⽅差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是⼀随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为⾃然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独⽴，具有相同的⼏何分布，试求的分布。
5．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独⽴同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协⽅差矩阵，再求的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独⽴，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的⼆项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协⽅差矩阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --?>?Γ??≤?=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ?+--<（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
随机过程第四章
pii
(n)
1
i
0
证：(1)如i为零常返则i
，由lim n
pii nd
d
i
0
而当n不能被周期d整除时n 0modd ,
必然有pii
(n)
0，故
lim
n
pii
n
0
反之，若lim n
pii
(n)
0,
而i是正常返，
则由lim n
pii (nd )
d
i
0矛盾.
(2) 如i为遍历，即d 1，由上面定理得
即 Tij minn：X m i, X mn j，n 1
而称：
fij (n) P Tij n
P{X mv j，1 v n 1，X mn j / X m i}，n 1 为自状态i出发，经n步首次到达状态j的概率， 简称首达概率。
注：由齐次马氏链性质知，首达概率与出发时刻
p3
① q1 q2
p1
③ q3 ②
p2
求从状态1出发经n步转移首次到达各个状态的概率。
f12
(n)qq11p3 p3源自q m1 1m p1,
q3
,
n 2m, n 2m 1,
m 1 m0
同理：
f13 (n)
p1q2 p1q2
p m1 1
m q1,
p2
,
n 2m, n 2m 1,
m 1 m0
互通关系的状态是同一类型.
定理：如果i j， 则
(1) i与j同为常返或非常返，如为常返，则它们
同为正常返或零常返；
(2) i与j有相同的周期。
1证：因为i j，故存在正整数k与m，使
pij (m) 0, p ji (k ) 0
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为σY 的正态分布，求X 的概率密度分布。
《随机过程》第四章作业解答
20. 解：由例 4.8 中的结果可知甲最终赢的概率为：
(1)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)16
(
2 3
)36
− −
1 ;
1
(2)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)4
−
1
(
2 3
)24
−
1
21. 解：(1) 状态空间可以分为三个等价类：{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}。其中 {1, 2} 与 {3, 4} 是常 返的，{5, 6} 是瞬时的，而且状态 {1, 2, 3, 4} 是非周期的。从而由推论 4.1 可知：
不妨记 p11 ≥ p12 ≥ · · · ≥ pn1 ≥ 0，若 p11 > p12 严格成立，从而有：
n
n
p11 = p1ipi1 < p11 p1i = p11
i=1
i=1
得到矛盾，从而有 p11 = p12。类似可证：对 ∀j ≤ n，p11 = p1j 均成立。从而类似可证：
对 ∀i, j ≤ n, p1j = pjj。
19.
解：结合概率转移矩阵画出有向图，可以得到： f1(1n) = a,
n=1 ， 从而状态{1}是
0, n > 1
如有疏漏，欢迎指正
4
《随机过程》第四章作业解答
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
随机过程课后题答案
《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介第二章随机信号概论参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。
（3）一维概率密度函数：nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(21)(21),(δδ二维概率密度函数：[][]⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nTt T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 22122112121212121)1(,)1(,)()()()(41,,)1(),()(21)()(21),;,(或δδδδδδδδ参考答案：[][]625.3341683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[][]625.2141283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[]()875.7)13(41)62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ参考答案：Φ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=Φ其它,020,21)(πϕπϕp均值：[][]021)cos()cos()()(2000=Φ⋅Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X ππωω 方差：01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数：[][12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[][][]1010*******01020102111201022201211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-22201)cos ()cos ()22a b ωτωτ=++第三章平稳随机过程参考答案：0)sin(cos )cos(21)(21)(000lim lim lim=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰T T A dt t A T dt t x T t x T TT T T T T ωωω)cos(2)cos()cos(21)()(020002limτωτωωωτA dt t t A T t x t x T T T =Φ++Φ+=+⎰-∞→由于A 和Φ为统计独立的随机变量，于是有[][][][]021)cos()cos()(2000=ΦΦ+⋅=Φ+⋅=⎰ππωωd t A E t E A E t X E[][][][][][])cos(21)22cos()cos(21)cos()cos()()(),(020*******τωτωωτωτωωωττA E t E A E t t E A E t X t X E t t R X =Φ+++⋅=Φ++Φ+⋅=+=+由图3.5可看出，不同样本函数的A 不同，则相应的时间平均自相关函数)()(τ+t x t x 也不同，),()()(ττ+=+t t R t x t x X 不能以概率1成立，因此该随机过程不具有各态历经性。
随机过程第四章作业及参考答案
第四章 马尔科夫过程P2271. 将一颗骰子扔很多次。
记n X 为第n 次扔正面出现的点数，问(){}12X n n = ，，，是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记n Y 为前n 次扔正面出现点数的总和，问(){}12Y n n = ，，，是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率。
解： （1）由于(){}12X n n = ，，，的取值只能是{}123456，，，，，，故状态空间为{}123456E =，，，，，。
由于()X n 的取值的概率与()1X n -以前的()X i 的取值完全无关，所以是()X n 是马尔科夫链。
故()(){}116ij p P X n j X n i ==-==. 它的一步转移概率矩阵为：111111666666111111666666111111666666111111666666111111666666111111666666P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）由于前n 次扔正面出现点数的总和()Y n =前1n -次扔正面出现点数的总和+第n 次扔正面出现的点数，而前1n -次扔正面出现点数的总和与第n 次扔正面出现的点数相互独立，因此()Y n 具有无后效性，是马尔科夫链。
它的一步转移概率为：()112616078ij j i i i p n n j i i i j i ⎧=+++⎪+=⎨⎪=++<⎩ ，，，，，，，，，，或 其中16i n n n =+ ，，，；()1261j n n n =+++ ，，，。
2. 一个质点在直线上作随机游动，一步向右的概率为p （01p <<），一步向左的概率为q ，1q p =-。
在0x =和x a =处放置吸收壁。
记()X n 为第n 步质点的位置，它的可能值是(){}012X n n = ，，，，。
试写出一步转移概率矩阵。
解：状态空间为{}012E a = ，，，，。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第四章作业
为独立增量过程 Y (n )
∴ Y (n ) 为马氏链
Y (0 ) = 0
Pij (m , k ) = P { Y (m + k ) = j Y (m ) = i } = P{ Y (m + k ) − Y (m ) = j − i Y (m ) − Y (0 ) = i } m+k = P ∑ X (i ) = j − i i= m +1
16 8 ) λ (17 41 , 41 , 41 放在 A 处好
1 1
1 1
习题十三
1 1 2 3 4 5 . . ∞
1 2
习题十四
2
1 1 2 2
3 0
1 1 2 2
4 0 0
1 1 2 2
5 0 0 0
1 1 2 2
6 0 0 0 0
1 2
7 ........
∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
1
=
1
2
p
a −1
+
p
a +1
p (a + b ) − p (a + b − 1 ) = p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) = p (a + b − 2 ) − p (a + b − 3 . p (a . p( 1 ) − p (0
0 0 0
+ + +
0 0 0 0 0 0
1 1 1
3 3 3
× 60 × 10 × 10
7 7 7 30 30 30
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E[ X (t ) X (s)]2 t s , s, t ；
令： Y (t ) X (t ) X (t 1), t ，试证明 Y (t ) 是平稳过程。 7、 设 (t ) X sin(Yt ); t 0 ， 而随机变量 X 、Y 是相互独立且都服从 [0, 1] 上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设 { X (t ), t R } 是连 续平稳过程， 均值为 m ， 协方差函数为 C X ( ) ae 中 : R ， a, b 0 。对固定的 T 0 ，令 Y T
2 2
t 0
X (u )du ，
Z (t ) X 2 (u )du ，对于任意 0 s t ，
0
t
中国科学院大学 2014～2015 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
（1） 求 E{ X (t )} ， E{Y (t )} ， E{Z (t )} ， Cov( X (s), X (t )) ， Cov(Y (s), Y (t )) ； （2） 证明 X (t ) 在 t 0 上均方连续、均方可导； （3） 求 Y (t ) 及 Z (t ) 的均方导数。 10、 设随机过程 {X (t ); t } 是均值为零、自相关函数为 R X ( ) 的实平稳正
A 是与 (t ) 独立的随机变量，且 P{A 1} P{A 1} 1 / 2 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设 { X (t ), t 0} 是 一 实 的 零 初 值 正 交 增 量 过 程 ， 且 X (t ) ~ N ( , t ) 。 令
态过程。设 X (t ) 通过线性全波检波器后，其输出为 Y (t ) X (t ) ，试求： （1） 随机过程 Y (t ) 的相关函数 RY ( ) ，并说明其是否为平稳过程； （2） 随机过程 Y (t ) 的均值和方差； （3） 随机过程 Y (t ) 的一维概率分布密度函数 f Y ( y ) 。
2
Y (t ) 2 X (t ) 1 ， t 0 。试求过程 {Y (t ), t 0} 的相关函数 RY ( s, t ) 。
4、 设有随机过程 X (t ) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、 是相互独立的随机 变量， Z ~ N (0,1) ， P( / 4) P( / 4) 1 / 2 。问过程 X (t ) 是否均方可积 过程？说明理由。 5、 设随机过程 (t ) X cos 2t Y sin 2t ， t ， 其中随机变量 X 和 Y 独立同分 布。 （1） 如果 X ~ U (0,1) ，问过程 (t ) 是否平稳过程？说明理由； （2） 如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t ) 是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程 {X (t ); t } 是一实正交增量过程，并且 E{ X (t )} 0 ，及满足：
1
b
，其
T 0
X ( s)ds ，证明： E{Y } m ,
Var (Y ) 2a[(bT ) 1 (bT ) 2 (1 e bT )] 。
9、 设 ( X , Y ) ~ N (0,0, 1 , 2 , ) ， 令 X (t ) X tY ， 以 及 Y (t )
中国科学院大学 2014～2015 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题
1、 设 X n
k 1
NБайду номын сангаас
k
2 cos( k n U k ) ，其中 k 和 k 为正常数，U k ~ U (0, 2 ) ，且相互
独立， k 1,2,, N ，试计算 { X n , n 0,1,} 的均值函数和相关函数，并说明其是 否是平稳过程。 2、 设有随机过程 X (t ) A cos(t (t )) ， 其中 0 为常数， { (t ), t 0} 是泊松过程，