有理数的运算复习课(2)

有理数的运算复习课（含答案）（一）、课前提问：1.四则（加减乘除）混合运算的顺序：先算_______，再算_______，如有括号，就先算__________.同级运算按照从_____往_____的顺序依次计算。

2.有理数的运算定律：______________________________________________. 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.3.请观察下面的算式里有哪几种运算?3+50÷22×(-10)-1.这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算,这种运算称为有理数的混合运算.（二）、基础知识总结一、有理数的加法1.有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加得0．(3)一个数与0相加，仍得这个数．2．有理数的加法运算律(1)交换律两数相加，交换加数的位置，和不变．a＋b＝b＋a(2)结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)【基础知识讲解】1．有理数的加法法则，是进行有理数加法运算的依据，运算步骤如下：(1)先确定和的符号；(2)再确定和的绝对值．2．运算规律是：同号的两个数(或多个数)相加，符号不变，只把它们的绝对值相加即可．如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7．(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20．异号两数相加，首先要确定和的符号．取两数中绝对值较大的加数的符号，作为和的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值的差，作为和的绝对值．如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1．3．运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置．把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错．二、有理数的减法有理数的减法运算根据计算法则转化为加法运算，再按加法的计算法则进行计算.将减法转化为加法时要同时改变两个符号：一是运算符号由“-”变为“+”；另一个是减数的性质符号.三、有理数的加减混合运算方法一：从左往右依次进行计算方法二：a.整理符号，减法换成加法b.分组计算，运用运算律简化1.在代数里，一切加法与减法运算，都可以统一成加法运算。

在一个和式里，通常有的加号可以省略，每个数的括号也可以省略。

如：4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）可以写成省略括号的形式：4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4（仍可看作和式）读作：“正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和”.也可读作：“4.5减3.2加1.1减1.4”。

例－3＋5－9＋3＋10＋2－1解：原式＝(－3＋3)＋[(－1－9)＋10]＋5＋2＝0＋0＋5＋2＝7四、有理数的乘法有理数的乘法运算律：乘法交换律：a b b a⨯=⨯.乘法结合律：() a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯.乘法分配律：().a b c a b a c ⨯±=⨯±⨯乘法分配律逆运算：()=.a b a c a b c ⨯±⨯⨯±（1）()() 53-⨯+；（2）()() 68-⨯-；（3）121333⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）9.750-⨯.【解析】（1）-15；（2）48；（3）449；（4）0.【总结与反思】负负为正，任何数与0相乘都为0. 五、有理数的除法 有理数的除法法则法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0（注意：0不能作除数）。

法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

实际计算中我们如何选择？(-36) ÷9 用法则_____比较简便。

用法则____比较简便。

归纳：整数的除法，我们一般选用第一个法则；分数的除法，我们一般选用第二个法则。

注意：有理数的除法可以转化为乘法，但除法没有相应的交换律，结合律，分配律。

推广：下列各式的乘积符号为正的是（ ） A 、()()()()()23456-⨯-⨯-⨯+⨯+； B 、()()()()()23456-⨯-⨯+⨯+⨯-；C 、()()()()()23456-⨯-⨯-⨯-⨯-；D 、()()()()()23456-⨯-⨯+⨯-⨯-. 【解析】D【总结与反思】奇数个负数相乘为负数，偶数个负数相乘为正数. 六、有理数的乘方求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.其中a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作“a 的n 次幂”或a 的n 次方.【归纳结论】正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 注意：0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的偶次幂为1，奇次幂为-1.七、有理数的混合运算有理数混合运算的运算顺序. (1)先算乘方,再算乘除,最后算加减; (2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.注意:①加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算;乘方和开方叫做第三级运算;②可以应用运算律适当改变运算顺序,使运算简便.运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算：（－2）2÷()2112(13)632-÷--⨯解：原式＝()25466⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭（第一步） ＝()()425-÷- （第二步） ＝425-（第三步） （1）上面解题过程有两处错误：第一处是第 步，错误的原因是 ； 第二处是第 步，错误的原因是 ； （2）请将其更正.例1 计算（1）2132()5+⨯- （2）211912(2)()2-÷-⨯-变式1-1 计算下列各题（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3164322 （2）(－4)×(－57)÷(－47)－312⎛⎫⎪⎝⎭（3） ()2253[()]39-⨯-+-例2 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2232a cd b m +++的值．例2 已知x 、y 为有理数，现规定一种新运算※，满足x ※y ＝xy ＋1. (1)求2※4的值； (2)求(1※4)※(－2)的值；(3)任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下面的□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；(4)探索a ※(b ＋c )与a ※b ＋a ※c 的关系，并用等式把它们表达出来.例3 若()2210ab b -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)ab a b a b a b ++++++++++L 的值．例4 如图，填在下面各正方形中的四个数之间都有着相同的规律，根据此规律可知m 的值是（ ）A.38B.52C.66D.74例5 先找规律，再填数：111111111111,,,12234212563301111111,,-______.7845699910009991000+-=+-=+-=+-=+=⨯L 则变式1 观察下列一组算式：32－12＝8＝8×1，52－32＝16＝8×2， 72－52＝24＝8×3，92－72＝32＝8×4，….根据你所发现的规律，猜想20152－20132＝8× . 变式2 观察下列等式：1×5＋4＝32，2×6＋4＝42，3×7＋4＝52，4×8＋4＝62. 请你观察后用你得出的规律填空： × ＋ ＝502.（三）重难点练习典例一：有理数的加减法1、数轴上A，B两点所表示的数分别是3，﹣2，则表示AB之间距离的算式是（）A.3﹣（﹣2）B.3+（﹣2）C.﹣2﹣3D.﹣2﹣（﹣3）【答案】A【考点】有理数的减法【解析】【解答】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是3、﹣2，∴A、B之间距离为3﹣（﹣2）．故答案为：A【分析】根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数中，较大的数与较小的差即可列出算式。

2、设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（）A.2016xB.x+2016C.|2016x|D.|x|+201 6【答案】D【考点】有理数的加法，有理数的减法，绝对值的非负性【解析】【解答】解：A、当x≤0时，2016x≤0，不是正数，A不符合题意；B、当x≤﹣2016时，x+2016≤0，不是正数，B不符合题意；C、当x=0时，|2016x|=0，不是正数，C不符合题意；D、∵|x|≥0，∴|x|+2016＞0，D符合题意，故答案为：D【分析】题中只是告知x是有理数，故x需要分三类讨论，A当x时非正数的时候，根据有理数的乘法法则2016x≤0，不是正数；B根据有理数的加法法则，异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，故当x≤﹣2016时，x+2016≤0，不是正数；C根据绝对值的非负性，当x=0时，|2016x|=0，不是正数；D根据绝对值的非负性，|x|≥0，故一个非负数与一个正数的和一定是正数即：|x|+2016＞0，从而得出答案。

典例二：有理数的乘除法3.计算：32×3.14＋3×(－9.42)＝________；－5.4× －1.6× ＝________.【答案】0；-2【考点】有理数的乘法运算律【解析】【解答】解：原式=9×3.14＋3×(－9.42)=3×3×3.14＋3×(－9.42)=3×9.42＋3×(－9.42) =3（9.42-9.42）=0；原式=（－5.4－1.6）× =－7× =－2.【分析】（1）先算乘方，再利用拆项及乘法的结合律的方法将9×3.14＋3×(－9.42)变形为3×9.42＋3×(－9.42)，最后利用乘法分配律的逆用算出答案；（2）直接利用乘法分配律的逆用将运算简化，再按有理数的减法法则算出括号里面的减法，最后按有理数的乘法法则算出答案。