《随机过程概论》第4章 随机信号的频域分析 作业
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第4章
(4-50)
第四章 随机信号的频域分析
对式（4-49）两边取数学期望， 则可得到随机信号的平均功 率
第四章 随机信号的频域分析
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析 4.2 随机信号的功率谱密度 4.3 互功率谱密度 4.4 随机信号的带宽 4.5 高斯白噪声与带限白噪声
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析
4.1.1 对于确知信号， 根据能量是否有限， 可将其分为能量信
号和功率信号两类。 在通信理论中， 通常把信号功率定义为 电流或电压信号在单位电阻(1 Ω)上消耗的功率， 即归一化 功率P。 因此， 功率就等于电流或电压的平方：
(4-29)
第四章 随机信号的频域分析
图4-1 截短信号示意图
第四章 随机信号的频域分析
显然， 截短信号sT(t)是时间持续有限长的能量信号， 我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(ω)|2或者 |ST(f)|2， 并由帕斯瓦尔能量守恒定理有
E
T T
sT2
t
dt
1 2π
ST
2
（1） s(t)在(－∞, ∞)范围内满足狄利克利条件（只
有有限间断点）；
（2） s t dt （绝对可积）的等价条件为
s(t) 2 dt
（信号s(t)的总能量有限）。
若s(t)满足上述条件， 则傅里叶变换对存在。
频谱（正变换）
第四章 随机信号的频域分析
S()
s
t
e jtdt
P
V2
I 2R
V2
I2
W
R
(4-1)
第四章 随机信号的频域分析
假定确知实信号为s(t)代表信号电压或电流的时间波形。
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
随机信号分析(第3版)第四章习题及答案
4-1习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ） （b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T Tττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=2222[()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]()Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=+++++++=+++++++=因此，()Z t 是均值各态历经信号4.54.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。
求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
4-2 解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯= 而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯= 显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
随机信号分析第四章new
运算结果
作业
4.3 4.4 4.5 4.14 4.16 4.22
]=
1
2
GX ( )d
lim 1
T 2T
T T
E
X
(t )
2 dt
若X (t)为平稳随机信号时
W=E[X2(t)]
举例
例：随机过程X(t)为
X(t)=acos(0t+) a,0为常数，是在(0, / 2)上均匀
分布的随机变量，求随机信号X(t) 的平均功率W
E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 (0t )]
L
2n
b 2(n1) 2(n1)
L
a22 a0 b22 b0
举例
例、已知谱密度为
GX
(
)
4
2 1
3 2
1
求相关函数及平均功率。
解、 由因式分解
GX
()
4
2 1 32
2
1
2
2
由公式：
e
2 2
2
RX ( )
1 (e 22
2
)
W R(0) 1 22
例、已知谱密度为 求相关函数。
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
RXY ( ) GXY ()
互谱密度及其性质
GXY () GYX () GY*X () Re[GXY ()]与Re[GYX ()]是的偶函数 Im[GXY ()]与Im[GYX ()]是的奇函数 GXY()2 GX ()GY () 若X (t)与Y (t)正交，则GXY () GY*X () 0 若不相关，则GXY () GY*X () 2 mX mY ()
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第4章 随机信号的频域分析 作业
4-1、已知平稳信号()X t 的功率谱密度为()2
42
32
X P ωωωω=++，求此信号的均方值和方差。
4-2、已知平稳信号()X t 的自相关函数为()4cos cos3X
R e
τ
τπτπτ-=+，求其
功率谱密度()X P ω。
4-3、如下图所示：该线性系统的输入()X t 为平稳随机信号，且()X t 的功率谱密度为()X P ω，系统的输出为()Y t ，试求输出信号()Y t 的功率谱密度()Y P ω及其自相关函数()Y R τ。
()
X t
4-4、已知随机信号()()()00cos sin W
t X t t Y t t ωω=+，式中随机信号
()(),X t Y t 联合平稳，0ω为常数。
①讨论()(),X t Y t 的均值和自相关函数在什么条件下才能使随机信号()
W t 宽平稳。
②利用①的结论，用功率谱密度()()(),,X Y XY P P P ωωω表示()W t 的功率
谱密度()W
P ω。
③若()(),X t Y t 互不相关，求()W t 的功率谱密度()W P ω。