随机过程 计算与应用 维纳过程 1
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，它具有均值为零、独立增量和高斯分布的特性。
这种过程可以应用于多种领域，例如金融、物理和工程等。
下面我们来看一个应用维纳过程的例子。
假设我们要预测某公司股票价格的变化。
我们可以将股票价格视为随机过程，并应用维纳过程来模拟其价格走势。
为了进行预测，我们需要先对过去的股票价格数据进行分析和建模。
假设我们已经通过历史数据建立了一个股票价格模型，该模型使用维纳过程描述股票价格的随机变化。
我们可以使用该模型来预测未来股票价格的变化。
例如，假设我们预测某一天该公司的股票价格会上涨。
我们可以使用维纳过程计算出股票价格的随机变化，从而确定股票价格的可能范围。
如果我们发现预测股票价格上涨的概率很高，那么我们可以考虑购买该公司的股票。
另外，维纳过程还可以应用于其他领域。
例如，我们可以使用维纳过程模拟气象变化，从而预测未来的天气情况。
此外，维纳过程还可以应用于信号处理、控制系统和电子通信等领域。
总之，维纳过程是一种非常有用的随机过程，可以应用于多种领域，帮助我们进行预测和决策。
- 1 -。
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子维纳过程是一种随机过程，常常被用于模拟股票价格、货币汇率和认知行为等具有随机性的现象。
下面是一个应用维纳过程的例子：假设有一只股票的价格在未来1年内是随机波动的。
我们可以用维纳过程来模拟这个价格的变化。
首先，我们需要确定股票价格的初始值和波动率。
假设股票价格的初始值为100元，波动率为0.2。
然后，我们可以用维纳过程的公式来模拟股票价格在未来1年内的变化。
公式如下：dS = μSdt + σSdz其中，S表示股票价格，μ表示股票价格的年化收益率，σ表示股票价格的波动率，dt表示时间间隔，dz表示标准正态分布随机变量。
假设我们要模拟1个月内的股票价格变化。
我们可以将时间间隔dt设为1/12，标准正态分布随机变量dz可以用随机数生成器生成。
假设在这个月内，股票价格的年化收益率为5%。
我们可以用以下代码来模拟股票价格的变化：import numpy as npS = 100 # 初始股票价格mu = 0.05 # 年化收益率sigma = 0.2 # 波动率dt = 1/12 # 时间间隔T = 1 # 总时间N = int(T/dt) # 时间步数# 生成标准正态分布随机变量z = np.random.standard_normal(N)# 计算股票价格变化S_t = S*np.exp(np.cumsum((mu - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*z))print(S_t)运行代码，可以得到一个包含30个元素的数组，表示股票价格在未来1个月内的变化。
我们可以用这个数组来预测股票价格在未来的走势，帮助我们做出更明智的投资决策。
维纳过程还可以用于模拟其他具有随机性的现象，如货币汇率和认知行为。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据，选择合适的参数来模拟随机过程，并通过模拟结果来帮助我们做出决策。
《随机过程——计算与应用》课件维纳过程2
jmX
(tk
)T
1 uCuT 2
)
e j
n
uk mX
k 1
(tk
)1 2
n k 1
n l1
uk ul CX
(tk
,tl
)
布朗桥在统计中的应用
设X , ,X
1
n
独立同服从U[0，1]分布,对0<s<1,记
n
N (s)= I
n
(Xi s)
i 1
Fn (s)
N (s) n
n,
则有
P(lim n
Fn
(s)
s)
1
若令n (s) n(Fn (s)-s),则当n 时， {n (s)，0 s 1}的极限过程为布朗桥.
4. 几何布朗运动
设 R, 0, 定义
B e , ge
Bt , 2
t
t 0
其中Bt , 2 是( , 2 )-布朗运动,
则称随机过程Bge {e Bt,2 ,t 0}为几何布朗运动
Ba 0
b
=a,B1ab
b.
(2)计算从a到b的布朗桥的均值函数和协方差函数.
(3)验证从a到b的布朗桥也是正态过程.
也可以用过程的n维特征函数
n
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
E[e
j Btakbuk k 1
]
注意到：正态过程X的特征函数为
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
(
e (s t )E[e 2Ws ]E[e (Wt Ws ) ]
=e e e (s t )
维纳过程_精品文档
维纳过程什么是维纳过程？维纳过程（Wiener process），又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，常用来描述粒子在流体介质中的随机运动。
维纳过程最早由数学家尼尔斯·维纳（Norbert Wiener）于20世纪20年代提出，并广泛应用于物理、金融等领域的建模和预测。
维纳过程在数学上具有许多有趣的特性，例如连续性、无界性和马尔可夫性等。
它是一种满足齐次增量和高斯分布的过程，也就是说，在维纳过程中，任意两个时刻之间的增量是独立同分布的高斯随机变量。
维纳过程的定义维纳过程可以用数学形式进行定义。
设维纳过程{W(t), t >= 0}满足以下条件：1.初始点：W(0) = 0；2.齐次增量：对于任意的s < t，W(t) - W(s)是一个均值为0、方差为t-s的高斯随机变量；3.独立增量：对于任意的s < t < u < v，W(t) - W(s)和W(v) - W(u)是独立的。
维纳过程可以看作是一个随机游走，在任意一小段时间内，粒子的位置发生微小的随机扰动，随着时间的推移，这些微小扰动累积起来，形成了维纳过程。
维纳过程的性质维纳过程具有一些重要的性质，这些性质使得它在建模和预测中具有广泛的应用。
连续性维纳过程是连续的，即其路径是连续函数。
这意味着在任意时刻上，维纳过程的取值都是确定的，不存在跳跃现象。
无界性维纳过程是无界的，即它可以在任意区间内无限增长或无限减小。
这是因为维纳过程的增量是高斯分布的，高斯分布的尾端是无界的。
马尔可夫性维纳过程具有马尔可夫性，即给定当前时刻的状态，未来的发展与过去的历史无关。
这意味着维纳过程的未来状态只与当前状态相关，与之前的状态无关。
维纳过程的应用维纳过程在许多领域有着重要的应用，以下是几个典型的应用案例：物理学中的应用在物理学中，维纳过程可用于描述微粒在液体或气体中的随机扩散运动。
维纳过程的连续性和无界性使得它可以模拟各种扩散现象，例如热传导、粒子的布朗运动等。
维纳过程
维纳过程（Brown 运动） 一.维纳过程的一维数学模型及定义 花粉微粒的一维随机游动 定义: 如果随机过程 {W(t) ,t ≥0} 满足下列条件： 1 ) W 0 0 ;
2 ) EW t 0 ;
3 ) 具有平稳独立增量; 4 ) t 0 ,W t ~ N 0, 2 t ,
0
称随机过程 {W(t) ,t ≥0}是参数为2的维纳过程
几 种 重 要 的 随 机 过 程
注：1）维纳过程为平稳独立增量过程 2）平稳独立增量的有限维概率分布由其一维分布 确定，故维纳过程是正态过程。 二、维纳过程的概率分布及数字特征 一维概率分布
f (t,x )
1
2t
2 2 su 2 suv tv2 2
几 种 重 要 的 随 机 过 程
n 维概率分布
f t1 , t 2 ,...,t n ; x1 , x2 ,...,xn
1
2
n/ 2
C
1 2
1 1 exp x C x 2
1 t1 , t 2 ,...,t n ; u1 , u2 ,...,un exp uCu 2
1 2 tu2 2
e
x2 2 2 t
0 t , x R t , u源自 e0 t , u R
W t W s ~ N 0, 2 t s
几 种 重 要 的 随 机 过 程
C s , t 2 mins , t
注意: 协方差矩阵C 的表示。
几 种 重 要 的 随 机 过 程
三、维纳过程的性质 性质1： 维纳过程 { X( t ) ,t ≥0}为平稳独立增量过程
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，被广泛应用于金融、工程、物理学等领域。
维纳过程的主
要特点是其连续性和无限可分性。
维纳过程的应用非常多，下面我们介绍几个常见的例
子。
1. 金融领域中的维纳过程
金融领域中的维纳过程被广泛用于投资组合的风险管理。
在金融市场中，股票和股指
价格的波动通常被认为是随机的和连续的，因此可以使用维纳过程模型来描述。
维纳过程
也可以用于衡量基金的风险，帮助投资者制定更好的投资策略。
2. 工程领域中的维纳过程
维纳过程也被应用于工程领域，其中一个例子是通信系统。
在通信系统中，数据传输
的信噪比是非常重要的，如果数据传输受到噪声的干扰，信噪比会下降。
使用维纳过程可
以帮助工程师建立数学模型，以预测信噪比的变化，从而优化通信系统的性能。
3. 物理学中的维纳过程
物理学中的维纳过程被广泛用于描述分子的扩散。
分子在一个体系中随机移动和碰撞，这种运动可以用维纳过程来描述。
维纳过程也可以用于描述量子系统中的热力学行为，例
如电子在理论上满足维纳过程模型的布朗运动模型，从而可以对系统进行模拟和计算。
4. 金融衍生品定价领域的维纳过程
在金融衍生品与定价领域，维纳过程是基于随机漫步的原理，被用来建模标的资产价
格的变化过程。
例如，欧式看涨期权的价格可以被认为是在未来某个时间的标的资产价格
的确定性部分和波动性部分。
其中，确定性部分可以用基础资产的价值加上无风险利率的
折现值表示，而波动性部分则可以用维纳过程来表示。
随机过程在金融中的应用7金融市场中的维纳过程及小事件概率
设Wk 的方差为Vk ，即 Vk E0[Wk2 ]
n
n
累积误差的方差 V E0[ Wk2 ] Vk
k 1
k 1
且 Wk 之间不相关，以及干扰项的期望是0。
首页
默顿方法
假设1
V A1 0
A1 独立于 n
注 此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当
间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差V
它可写成
Ek 1[Sk Sk 1] A(Ik 1, h)
如果 A(•) 是 h 的光滑函数，它在h 0 的泰勒展开式为
A(Ik1, h) A(Ik1,0) a(Ik1 k1 ) 是在 h 0 时 A(I k1, h) 对h 求的一阶导数。
R(I k1, h) 是泰勒展开式的余项。
是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消
除所有的风险，即资产价格具有不确定性。
假设2 V A2
A2 独立于 n
注
首页
这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。 当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交 易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限 制的不稳定性。
假设3
Vk Vmax
A3,0
A3
首页
Ek 1[•]
表示在间隔 k 1结束时的可得信息
的期望条件，反映在给出信息集 情况下市场参与者的预期。
I
k
1
则 Wk
革新项具 有特征
是[Sk Sk1]中的一部分，称为“革新
项”
1、在间隔 k 1结束时未知，而在间隔 k
结束时可观察到。即知道信息 Ik ，就能
说出其确切值，且 Ek [Wk ] Wk
W1 Wk1 Wk1
首页
随机过程
又设任意t1 , t2 T RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] (自)相关函数 C XX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )] E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
T 为参数集，对固定的e和t , X (e, t )称为过程的状态； X (e, t )所有可能的值的全体称为状态空间；
4
今后将X (e, t )简记为X (t )
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
则 X (t ), t , 是一随机过程。
cos t 当出现H X (t ) 当出现T t
FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn )
ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
一般地，FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程 X (t ), t T 的有限维分布函数族 它完全确定了随机过程的统计特性
2 X t RX t , t
各数字特征之间的关系如下：
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 X
t C X t , t RX t , t t
2 X
15
e ( X (e, t ) t (, )),
即( X (t ), t (, ))பைடு நூலகம்—随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
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所以
（ W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W ） t n 1 是n维正态变量.
又由于 (W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0 1 1
1
0
= 0 1
0
y n
wn 0 0
1
J 1
则向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数为 f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J
要将y k 换为w k -w k 1,k 1,2,L ,n
f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J 将yk 换为w k -w k 1
j(u2 u3 un )Y2
E [ e junYn ]
Y1 (u1 u2 un )Y2 (u2 u3 un ) Yn (un )
证毕
例2.3.5(1) 计算标准布朗运动的有限维特征函数
提示：利用过程的独立增量性
解 对任意n 1及0 t1 L tn , n维随机变量的
E [ e ] t1,t2,...,tn (u1,u2 ,..., un )
j (u1X t1 un X tn )
①
令 Y1 Xt1 ,Y2 Xt2 Xt1 ,L ,Yn Xtn Xt n1
由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立
则 Xt1 Y1,
Xt2 Y1 Y2 ,
L,
Xtn Y1 Y2 L Yn
代入①式
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [ e j ( u 1X t1 ] u n X Байду номын сангаас n )
E [ e ] j ( ( u 1 u 2 u n ) Y1 ( u 2 u 3 u n ) Y 2 u n Y n )
E [ e ] E [ e ] j ( u 1 u 2 u n ) Y1
x2
y
t
2
t 1
(
z
)dz
t
1
(
y
)dy
其中t1 ( y )为N(0,t1 )分布的密度函数， t2 t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明 由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W t n 1 相互独立且
(Wt1 ,Wt2 ,L ,Wtn ) 的特征函数为
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [e j(Wt1u1 ] Wtnun )
令 Y1 Wt1 ,Y2 Wt2 Wt1 ,L ,Yn Wtn Wtn1
(u , u , ..., u ) t1 ,t2 ,...,tn 1 2
n Y1 (u1 L un )Y2 (u2 L un ) L Yn (un )
注意到有
Y1 (u1 L
u ) e 21(u1 L un )2t1 n
Yk (uk L
u ) e ,
1 2
(uk
L
un
)2 (t k
t k 1 )
n
k=2,L ,n
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
(1) W0 0
(2) 对任意0 s t,Wt Ws ~ N (0,t s)
(3) W 具有独立增量性．
问题：计算布朗运动的有限维分布？
结论： 独立增量过程的有限维分布函数由其一维分 布函数和增量分布函数确定．
证明 对n 1及t1 t2 tn T , n维随机变量的
( Xt1 , Xt2 ,L , Xtn ) 的特征函数为
注 意 到 有 W t1 N(0,t1)
一 维 分 布 函 数 F (t1; x ) = P (W t1 ≤ x )
二维分布函数为
1
2t1
e dx x
- x2 2t1
-
F(t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P(W t1 ≤ x 1, Wt2 ≤ x 2 )
令 W ,t 1
= P ( W t 1 ≤ x 1 , W t 1 ( W t 2 W t 1 ) ≤ x 2 )
W t2 W t1 ,则 服 从 N ( 0 ,t 1 )分 布 ， 服 从 N ( 0 ,t 2 t 1 )分 布
所 以 F (t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P ( ≤ x 1, ≤ x 2 )
x1
P(
≤
x
2
-y
,
dy
)
x1
P(
≤
x
2
-y
)P（
dy
)
x1
主要内容
➢ 布朗运动及其定义 ➢ 布朗运动的一些性质 ➢ 与布朗运动的相关的随机过程 本章作业：1、2、3、6、8
布朗运动
Brown 1827 年
Einstein 1905
Wiener 1918年以后
自然现象 物理解释
数学定义
布朗运动及其推广在经济、工程、管理及数理统计等领 域有广泛应用。
定义2.2.7 称实随机过程W={Wt，t≥0}是标准布朗运动, 如果
,W
tn W
) t n 1
0
0
1
0
0
1
所以 ( W t 1 ,W t 2 , ,W t n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
证2. 提示 计算向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数
记 Ytk =Wtk -Wtk -1 ,k = 1,2,L ,n
由增量独立性知，向量(Yt1 ,Yt2，L ,Ytn )的 联合概率密度函数为
n
1
(wk wk1 )2
e 2(tk tk1 )
k 1 2 tk tk 1
n (2 )2
1
1 n (wk wk1 )2
e 2 k1 (tk tk1 )
n
(tk tk1)
k 1
为n维正态随机变量的联合概率密度函数.
n
f (y ,L t1,t2 t1,L ,tn tn1 1 , yn ) k 1
2
1
yk2
e 2(tk tk1 )
tk tk 1
因Wk Y1 L Yk y k =w k -w k 1, k = 1,L ,n
y 1
w1
则雅可比矩阵J=
y n
w1
y 1 1 0
0
wn
1