4 点线面及习题(2010年)

A K O
b
32
[例]
是否在直线AB AB上 判断点M 是否在直线AB上？
z a′ m″ m′ a″
解：分析：AB为侧 分析： 平线， 在直线上， 平线，M在直线上， 必在直线AB的同面 投影上， 投影上，并满足定 比规律。 比规律。 X 作图： 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
解法一： 解法一： 借助第三投影） （借助第三投影） a′ ′ k′ ′ b′ ′ b k● a
H
●
解法二： 解法二： 应用定比定理） （应用定比定理）
b′ k′
k″● b″
a″ ″
a′ ′ k′ ′
A K B a k b O
● ●●Va′源自Xb′ ′b k● a
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V k′
b′
a′ X B a k H
投影为一点， (1)H投影为一点， 有积聚性； 有积聚性； ′⊥OX, (2)a′b′⊥OX,
a′′b′′⊥OYW ； ′′b′′⊥OY ′′b (3)a′b′=a′′b′′ =AB
正垂线 （⊥ V ）
(1)V投影为一点， 投影为一点， 有积聚性； 有积聚性； ab⊥ (2)ab⊥OX, a′′b′′⊥OZ ； ′′b′′⊥OZ ab= ′′b (3)ab=a′′b′′
名称 水平线 （∥H） 立体图 投影图 投影特性
a′′b′′∥OYW； ′′b′′∥OY ab=AB； (2)ab=AB；
(1)a′b′∥OX, (3)反映夹角α、 (3)反映夹角 β大小 (1)ab∥OX, ′′b′′∥OZ； ∥OZ a′′b′′∥OZ； =AB； (2)a′b′=AB； (3)反映夹角 (3)反映夹角α、 γ大小 (1)ab∥OYH,
α= AB∠ H β = AB∠ V γ = AB∠ W
16
正平线
Z b′ a′ b′ Z b″ a″ O Y
γ
B a″ b″ a′ X
α
α γ
A X O
a
b
Y
a
b Y
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侧平线
Z a′ A b′ X a B Y b a″ X
a′
Z
a″
β
b′ O a
α
b″
Y
β α
O b″
b Y
18
投影面平行线
3
⒉ 点的投影与点的坐标的关系
x x
Y
y z z y y
z
Z
X
y z
z x y x
y
x
45° A→W面 点A→W面 ＝ X坐标 ＝ a’→OZ ＝ a→OY → A→V面 点A→V面 ＝ Y坐标 ＝ a→OX ＝ a’’→OZ → A→H面 点A→H面 ＝ Z坐标 ＝ a’→OX ＝ a”→OY → →
10
二 直线的投影
• 直线对投影面的相对位置 • 直线上的点 • 两直线的相对位置 • 立体上直线的分析
X
V a′ A
Z b′ B b″ β γ α b aH W a″
Y
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直线的投影 ● 直线的投影一般仍为直线。直线的投影取 直线的投影一般仍为直线。 决于直线与投影面的倾角。 决于直线与投影面的倾角。 B A B α A A B b b a≡b a a P 垂直 倾斜 平行 AB∥P — 投影反映实长 ab=AB ∥ AB ⊥P — 投影有积聚性 a≡b Cosα AB ∠ P — 投影小于实长 ab = AB Cosα
正平线 （∥V ）
侧平线 （∥W）
a′b′∥OZ； ∥OZ； ′′b′′=AB； =AB (2)a′′b′′=AB； (3)反映夹角α、 (3)反映夹角α 反映夹角 19 β大小
例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H 过点A 右上方作一正平线AB,使其实长为25， AB, 25 面的倾角α=30° 面的倾角α=30°。 例题1 例题 Z b' a' X
2
一. 点的投影
1.点在三投影面体系中的投影 1.点在三投影面体系中的投影
投影轴： 、 投影轴：OX、OY、OZ 、 ●投影面：V、H、W 投影面： 、 、 指示长、 高方向） （指示长、宽、高方向） 互相垂直） （互相垂直） 由空间点A分别向 分别向V、 、 面进行投影 ●由空间点 分别向 、H、W面进行投影 得正面投影a’ 水平投影a、侧面投影a” 得正面投影 、水平投影 、侧面投影 ●将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。 将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。
c'
a' b'
c"( a") b"
o YW
X
c
a b
YH
AB指向右下前方 C在A的正左方
9
A、C两点的侧面投影重影
4. 特殊位置的点
主要指位于投影面上的点
例：根据点的两面投影求第三投影 根据点的两面投影求第三投影
Z f' f"
c' a'
b'
c" a"
b" g' f
45°
X
g"
b
YW
a c g
辅助线 YH
6
3. 两点的相对位置及重影点
Z Z a′ a″ b″ b b a Y a Y b′ X O b″ Y a′ a″
b′ X B O
A
B点在A点的左后下方 点在A AB 指向左后下方
正面投影看高低 正面投影看高低 水平投影看前后 水平投影看前后 侧面投影看前后 侧面投影看前后
7
Z Z a′ a″ b″ b b a Y a Y b′ X O b″ a′ a″
22
正垂线 Z a′ b′ A B O a b Y b Y
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a′ b′ a″ b″ X a O
z a″
b″
Y
X
侧垂线 Z a′ b′ a″b″ A X O a a b Y b YH B X O YW a′ b′ Z a″b″
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投影面垂直线
名称 铅垂线 （⊥ H ） 立体图 投影图 投影特性
=AB
(1)W投影为一点， (1)W投影为一点， 投影为一点 有积聚性； 有积聚性； ab⊥ (2)ab⊥OYH,
侧垂线 （⊥ W ）
a′b′⊥OZ ； ′⊥OZ (3)ab=a′b′ ab= =AB
25
★ 怎样看直线的投影图？ 怎样看直线的投影图？
首先明确你的看图方位； ① 首先明确你的看图方位 ② 把投影轴看成是相邻的投影面（积聚投影）；该面投影两端点与 把投影轴看成是相邻的投影面（积聚投影）；该面投影两端点与 ）； 投影轴的距离，显示与相邻投影面的距离。 投影轴的距离，显示与相邻投影面的距离 例如看正面投影时，若正面投影倾斜于X 两端点高度不同）， 例如看正面投影时，若正面投影倾斜于X轴（两端点高度不同）， 表明直线倾斜于H 表明直线倾斜于H面；正面投影倾斜于Z轴，表明直线倾斜于W面。 正面投影倾斜于Z 表明直线倾斜于W 余类推
c' g’h’ d' O c d X h g O
侧平线
Z b' a' O a” b” c'
一般线
Z c” a'
正垂线
b' b
d'
d”
a
一般线
正平线 O
水平线 28
3. 直线上的点
V
b′ c′ a′
C A B
b′ b″ c″W a″
X
Z
c′ a′
O
b″ c″ a″
Y
c b
b c a
Y
a H
直线上点的投影特性: 直线上点的投影特性: 1、直线上点的投影在直线的同面投影上(从属关系不变)。 直线上点的投影在直线的同面投影上(从属关系不变) 直线上的点分割线段之比，投影后比值不变。 2、直线上的点分割线段之比，投影后比值不变。即： AC:CB=ac:cb= a′c′ : c′b′= a″c ″: c″b″
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例：已知点的两个投影，求第三投影。 已知点的两个投影，求第三投影。 解法1: 解法1: a′● ′ a″ ″ 解法2: 解法2: a′● ′ a″ ″
●
●
a●
45° °
a●
借用45° 借用 °辅助线实现 H、W投影宽相等（Y坐标相等） 、 投影宽相等 投影宽相等（ 坐标相等 坐标相等）
直接用分规量取
b′ X B O
A
Y
把AB连成直线，观察直线的三面投影。 AB连成直线，观察直线的三面投影。 连成直线 你得到了什么启示和结论？ 你得到了什么启示和结论？ 请你用手中的铅笔模拟直线的空间方位 正面投影看高低 正面投影看高低 水平投影看前后 水平投影看前后 侧面投影看前后 侧面投影看前后
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例:比较两点的相对位置 Z
a′ a
b′
a″ b″
b′
b
a′
a″ b″
a′ b′ a b
a″ b″
b
a
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水平线
Z
z a′ b′ a″ b″
a′
A X
b′
β
a″
γ
X
O
Y
B
O
b″
a
β γ
a b
Y
b
投 影 特 性
Y
在所平行的投影面上,反映实长, 1. 在所平行的投影面上,反映实长, 反映与相邻投影面的倾角 2. 另二投影平行于相应的投影轴
第四章 正投影的基本知识
点、直线、平面的投影
1
点的投影 投影关系， ⑴ 点的三面投影 及 投影关系，已知两投影求第三投影 ⑵ 点的投影与点的直角坐标的关系 看图的基础） ⑶ 两点的相对位置 （看图的基础） 直线的投影 三类七种） ⑴ 直线对投影面的相对位置 （三类七种） 从属关系） ⑵ 直线上的点 （从属关系） ⑶ 两直线的相对位置 （平行、相交、交叉、垂直） 平行、相交、交叉、垂直） 平面的投影 ⑴ 平面的表示法及形式转换 ⑵ 平面相对于投影面的位置 （三类七种） 三类七种） ⑶ 平面内的点和直线