随机过程及其统计描述
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数理统计与随机过程知识点总结
数理统计与随机过程知识点总结数理统计与随机过程是一门关于定量方法研究和应用统计和数学知识来描述和分析数据的学科。
它是一门极具挑战性的课程，帮助专业人士在统计学和数学方面更好地理解和使用相关概念，以分析重要的问题。
为此，本文将总结数理统计与随机过程的知识点，以便更好地掌握这门课程。
首先，需要了解数理统计与随机过程的基础概念。
数理统计与随机过程涉及数据收集，描述统计学和概率论。
其中，描述统计学是一种用来研究特定群体的统计方法，涉及描述统计总体和抽样方法。
概率论是一种研究事件发生的可能性和概率的科学，其目的是对自然和社会现象的发生概率进行估计和预测，以及了解概率的行为。
其次，也需要明确数理统计与随机过程研究中的一些基本概念。
数理统计与随机过程研究中的常见概念包括分布，假设检验，回归和管理统计，以及各种数据挖掘技术。
分布是指描述变量的分布类型，而假设检验是指使用统计技术来检验假设的过程。
回归分析是一种统计分析方法，可以根据实际变量的变化来预测变量的值，以及它们之间的关系。
而管理统计则是一种定量分析技术，用于确定管理决策的最优选择。
此外，数据挖掘技术是一种流行的数据分析技术，用于从海量数据中挖掘出有用的信息。
此外，数理统计与随机过程研究中还涉及许多数学概念，包括矩阵分析，概率分析，随机变量，概率分布，多变量分析，概率论，等等。
矩阵分析是一种用于组织和处理大量数据的非常有用的方法，可以用来对数据进行汇总和分析。
而概率分析是概率论研究中的重要概念，可以用来估计某个事件发生的可能性和概率，也可以用来分析复杂的统计问题。
而随机变量是概率分布中的一种重要概念，可以用来表示不同类型的变量。
多变量分析是一种特殊的回归分析，可以用来涉及多个变量的数据分析，而概率论是一种研究事件发生的可能性的科学，可以用来预测事件发生的概率。
最后，在处理数理统计与随机过程问题时，需要熟悉使用软件，包括分析软件，统计软件，数据库管理系统，以及数据可视化工具。
随机过程
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关 理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加 过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
(高等数学)概率统计与随机过程
λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。 它是随机现象的数量比。 给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分 布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时 ，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。 若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。 设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。 这 时 ， 如 果 分 别 记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的 分 布 函 数 为 F(x1,x2,···,xn) 与
第十章 随机过程及其统计描述
9
例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。 以X (t )表示时间间隔 ( 0, t ]内接到的呼叫次数， 它是一个随机变量，且对于不同的t ≥ 0，X (t )是不同 的随机变量，于是 { X (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，且它的 状态空间是 {0,1, 2,L} .
−1 出现H X (1) Vcosω t , t ∈ ( −∞, +∞ )，V 在[0,1]上均匀分布 求在t = 0, π , 3π , π , π 时X (t )的密度函数。 4ω 4ω ω 2ω 解：对给定的t , 若cosω t ≠ 0, 记a = cosω t， 则X (t ) = aV 的密度函数为： 1 0 < x <1 a f X ( x; t ) = fV x ⋅ 1 = a a a 其他 0 1 0 < x < 1 a = cosω ⋅ 0 = 1 于是 f X ( x;0 ) = 0 其他 2 π = 2 0< x< 2 π = 2 , f X x; a = cosω ⋅ 4ω 4ω 2 0 其他 2 3π = − 2 , f x; 3π = 2 − 2 < x < 0 a = cosω ⋅ X 4ω 4ω 2 0 其他 π = 1 − 1 < x < 0 π = −1, f X x; a = cosω ⋅ ω 其他 ω 0
12
§2 随机过程的统计描述
(一) 随机过程的分布函数族
设随机过程{ X (t), t ∈T} , 对每一固定的t ∈T,
分布函数 两种描述 数字特征
{FX (x,t),t ∈T} 称为一维分布函数族
FX (x, t) = P{ X (t) ≤ x}，x ∈R，称为随机过程{ X (t), t ∈T}的一维分布函数
随机过程的基本概念和统计特性
S1
S2 Sn
样本空间
x1(t) x2(t)
xn(t) tk
图 2- 1样本函数的总体
t
t (t)
t
具有两个基本特征： 其一，其样本是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本
在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随 机变量。
随机过程的定义：
设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有一条 时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可 能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成 一随机过程，记作ξ(t)。
4、相关函数
Rξ (t1, t2)=E［ξ(t1) ξ (t2)］
x1x2 f2 (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)－a(t1)a(t2)
现代通信原理
2. 方差
2(t) D[ (t)]＝ E[ (t) a(t)]2
E[ (t)]2 [a(t)]2
x
2
f1( x, t )d x
[a(t)]2
它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
3、协方差 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1 a(t1)][x2 a(t2 )]f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
即F1(x1, t1) ＝P［ξ(t1)≤x1］
F1(x1, t1)是随机过程ξ(t)的一维分布函数。
如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有
F1(x1, t1) x1
f1(x1, t1)
称f1(x1, t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。
随机过程的基本概念以统计特性
所确定的一族样本函数
X (t )
=
X (t,i ) ，由全部元素 {ξ }
称为随机过程，简记为 X (t , )
。
S
9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻 ， 是一个随机变量，则 X(t) tj(j 1 ,2 ,3 ) X (t j , ) 称为随机过程。
S
10
噪声电压的起伏波形
5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位 的电压波形 若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量， 电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第1章
随机过程
主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链
2
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。 确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。 正弦信号 随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 示波器的噪声电压 的确定函数表示。
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
25
1 数学期望（均值函数）
m ( t ) E [ X ( t ) ] f (,) x td x X x
X (t )
=
X (t,i ) ，由全部元素 {ξ }
称为随机过程，简记为 X (t , )
。
S
9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻 ， 是一个随机变量，则 X(t) tj(j 1 ,2 ,3 ) X (t j , ) 称为随机过程。
S
10
噪声电压的起伏波形
5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位 的电压波形 若A和 0为常数， 是（0，2π）的随机取值的随机变量， 电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第1章
随机过程
主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链
2
随机变量 随机过程
与时间无关
与时间相关
3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。 确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。 正弦信号 随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 示波器的噪声电压 的确定函数表示。
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。
25
1 数学期望（均值函数）
m ( t ) E [ X ( t ) ] f (,) x td x X x
随机过程及其统计描述
{v1 (t ), v2 (t ),
, vk (t ), }
在给定的时刻 t j观测热噪声电压 V, 它是一个随机变量，其取值是
{v1 (t j ), v2 (t j ),
中的任意一个。
, vk (t j ), }
对热噪声电压的重复观测
3
12.1 随机过程的概念
热噪声电压现象的特点
(1)在某一时刻tj，电压V是一个随机变量，有其样本空间：
12.3 泊松过程及维纳过程
2
12.1 随机过程的概念
一个实例：热噪声电压
在一段时间内对热噪声电压进行观测 是随机试验。观测结果将得到某种形 式的v-t函数图象，可能是
v1 (t ), v2 (t ),
中的任意一个。
, vk (t ),
在相同条件下，独立、重复的观 测，所有可能的结果构成一个函 数族：
, tn ), ti T} 称为n维分布函数族
, X (tn ) xn }
,n
xi R, i 1, 2,
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均值函数
X (t ) 是一个随机变量， 给定随机过程 { X (t ), t T } ，固定 t T ， t 时刻的均值(数学期望)，记为
mn维分布函数可分离变量两随机过程相互独立的概念互相关函数12extytrt互协方差函数12不相关的判据若对任意恒有二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述仍指的是线性不相关24三个随机过程的和wtxtytzt均值函数自相关函数12rttewtwtxxxyxzyxyyyzzxzyzzxtytztxtytzt二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述25123泊松过程及维纳过程增量的概念给定二阶矩过程我们称随机变量为随机过程在区间上的增量
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。
2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
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于是可知, 对任意s,t 0,协方差函数可用方差函数表示为
CX s,t DX mi.计数过程:以N t,t 0表示在时间间隔0,T 内出现的质点
数.Nt,t 0是一状态取非负整数,时间连续的随机过程,
称为计数过程.
记成
2.泊松过程: 将增量Nt Nt0 Nt0,t,0 t0 t,它表示
•由定义即知该过程为一随机过程。
4. 随机过程的分类
(a) 随机过程可依其在任一时刻的状态是
连续型随机变量或离散型随机变量
而分成连续型随机过程或离散型随机过程；
(b) 随机过程还可依时间（参数）是连续或 离 散进行分类。
当时间集T是有限或无限区间时，相应 的随机过程为连续参数随机过程，
当T是离散集合时，相应的随机过程为 离散参数随机过程或随机序列
记Y t X t X t. 首先注意,当X t 具有独立增量时,Y t 也具有独立增量;
其次Y0 0, EYt 0,且方差函数DY t E Y 2t DX t.
故当0 s t时,就有:
C X s,t EY sY t
EYsY0YtYsYs
EYsY0EYtYs EY 2s
DX s.
1 t 0tPk t 0 , t t 0tPk1 t 0 , t 0tk 1
将此式适当整理后,两边除以t,并令t 0,
就可得到Pk t0 ,t 满足的微分 差分方程:
dPk t0
dt
,
t
Pk
t0
,
t
Pk
1 t0
,
t
3
又因N t0 ,t0 0,故有初始条件Pk t0 ,t0 , k 1 4
(b)对固定的 S, X t, 是一个仅依赖于 的函数；
在本书中随机过程定义为一依赖于参数 t T （T是一无
限实数集）的一族（无限多个）随机变量。
2. 随机过程的状态与状态空间
状态 : 若t为时间,则X t,称为随机过程在t时刻的状
随机过程的
态, 而X
t1 ,
x说成是在时刻t
t1过程处于状态x.
W t X t Y t Z t,
RWW t1, t2
EW t1W t2
RXX t1,t2 RXY t1,t2 RXY t1,t2 RYX t1,t2 RYY t1,t2 RYZ t1,t2 RZX t1,t2 RZY t1,t2 RZZ t1,t2
*
说明: 1*式表明几个随机过程之和的自相关函数可以表示
现以t除上式两边,并令t 0,即得P0 t0,t满足的微分方程
dP0 t0
dt
,
t
P0
t0
,
t
2,因为N t0,t0 0,故P0 t0,t0 1.
把它看作初始条件即可从方程2解得P0 t0,t ett0 ,t t0.
10.3.5Pk t0 , t 的计算
根据和事件概率公式和条件10 ,
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念 §2 随机过程的统计描述 §3 泊松过程及维纳过程 本章小结
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§1 随机过程的概念
1. 随机过程的定义 随机过程{x(t, w),t T, w S}实际上是一个定义在一 实数集T和一样本空间S上的二元可测函数，它满足 两个基本的条件：
(a)对固定的 t T, X t,是一个随机变量；
3 特别地,令t1 t2 t,由2式可得的方差
此处即均方值函数为
2 W
t
2 W
t
2 X
t
2 Y
t
2 Z
t
.
back
10.3.1 泊松过程
独立增量过程: 给定二阶矩过程X t,t 0,随机变量X t X s,0 s t为
随机过程在区间s, t 上的增量.
如果对任意选定的正整数n和任意选定的0 t0 t1 t2 tn ,
...,tm' 是T中任意两组实数, n m维随机变量的分布函数
F x1,..,xn ;t1,...,tn ; y1,...,ym;t1' ,...,tm' , xi , yi R,
i 1,2,...,n, j 1,2,...,m.
3二维随机过程的数字特征 :
a互相关函数: RXY t1,t2 EX t1X t2 ,t1,t2 T,
时间间隔t0 , t 内出现的质点数."在t0 , t 内出现k个质
点",即Nt0,t k是一事件,其概率记为Pk t0,t PNt0,t k, k 0,1,2,.现假设Nt满足如下条件:
10 在不相重叠的区间上增 量具有独立性 ;
20 对于充分小的t :
P1t,t t PN t,t t 1 t 0t,
n个增量X t1 X t0 , X t2 X t1,...,X tn X tn1 相互独立,则称X t,t 0为独立增量过程.
说明: 1独立增量过程具有“在互不重叠的区间上状态的
增量是相互独立的”这一特征;
2在X 0 0的条件下它的有限维分布函数族可以由 增量X t X s的分布所确定;
3特别,若对任意的实数h和0 s h t h, X t h X s h 与X t X s具有相同的分布,则称增量具有平稳性.
b互协方差函数: CXY t1,t2
EX t1 X t1Y t2 Y t2
RXY t1,t2 X t1 y t2 ,t1,t2 T.
若CXY t1,t2 0,则称随机过程 X t和Y t是不相关的.
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t,Y t, Zt是三个随机过程 ,令W t X tY t Zt,则
状态空间: 对所有t T , S, X t,可能取值的全体.
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H,T, 现
以此定义
Xt,
cos
t
t, ,
H T
t , 其中 PT PH 1
2
试问：以此定义的过程Xt,,t T, S 是否为一随机过程？
解：显然（1）对固定的S，Xt, 是一个仅依赖于 t
如果对每一个t T,二阶矩E X 2 t2 都存在.
2.5.随机过程数字特征的计 算问题;
例1设A, B是两个随机变量.试求随机过程
X t At B,t T ,的均值函数和 自相关函数如果A, B相互独立且A ~ N 0,1, B ~ U 0,2, 问X t的均值函数和自相关函数是怎样的?
的泊松过程, 相应的质点流或质点 出现的随机时刻t1, t2 ,称作为强度为的泊松流
10.3.4 泊松过程的分布律
由题设有 Pk t0 , t 1,结合条件 20 和30 , 有 k 0 P0 t,t t 1 P1t,t t Pk t,t t k 2 1 t 0t.(1)
假设t 0, 则i当k 0时, 有
5自协方差函数, 简称协方差函数:
CXX t1,t2 CovX t1 , X t2 EX t1 X t1 X t2 X t2
简记为CX t1, t2 .
随机过程数字特征之间 的关系 :
1
2 X
t
RX
t,
t
;
2CX
t1,
t2
RX
t1,
t2
X
t1
X
t2
;
3
2 X
t
CX
t,
t
2 X
t
.
2.4.二阶矩过程:随机过程X t,t T,
这时,增量X t X s的分布函数实际上只依赖于
时间差t s0 s t,而不依赖于t和s本身事实上,令h s.
当增量具有平稳性时称相应的独立增量过程是齐次或时齐的.
10.3.2已知条件下独立增量过程的协方差
本节将在X 0 0和方差函数DX t为已知的条件下计算独 立增量过程X t,t 0的协方差函数CX s,t.
其中常数 0称为过程
N t 的强度,而0t 当t 0时是关于t的高阶无穷小;
30 对于充分小的t, Pj t,t t PN t,t t j
0t , 亦即对于充分小的t, 在t, t t出现2个或2个
以上质点的概率与出现一个质点的概率相比可以忽 略不计;
40 N 0 0. 满足条件10 ~ 40的计数过程N t ,t 0称强度为
函数族。 一维分布函数族作用：刻画了随机过 程在各个个别时刻的统计特性。
2.2 随机过程的n分布函数族：
FX x1, x2,...,xn;t1,...,tn PX t1 x1, X t2 x2,...,X tn xn,
xi R,i 1,2,...,n
对于固定的 n，称 FX x1, x2,..., xn;t1,t2,..., tn ,ti T
有PN t0,t t k PN t0,t N t,t t k
k
PNt,t t jPNt0,t k j, j0
再由10 ~ 40 及
Pk t0 , t t Pj t, t t 0t k 2, j2
上式可表示成
k
Pk t0 , t t Pj t, t t Pk j t0 , t j 0
为各个随机过程的自相关函数以及各对随机过程的互相关函 数之和;
2如果上述三个随机过程是两两不相关的,且各自的均值函数 都为零,则由*式可知诸相关函数均等于零,此时W t的自相关
函数简单地等于各个过程的自相关函数之和,即
RWW t1, t2 RXX t1,t2 RYY t1,t2 RZZ t1,t2
P0 t0 , t t PN t0 , t t 0 PN t0 , t N t, t t 0 PN t0 , t 0, N t, t t 0,
由条件10 和1式上式可写成 P0 t0 , t t PN t0 , t 0PN t, t t 0
CX s,t DX mi.计数过程:以N t,t 0表示在时间间隔0,T 内出现的质点
数.Nt,t 0是一状态取非负整数,时间连续的随机过程,
称为计数过程.
记成
2.泊松过程: 将增量Nt Nt0 Nt0,t,0 t0 t,它表示
•由定义即知该过程为一随机过程。
4. 随机过程的分类
(a) 随机过程可依其在任一时刻的状态是
连续型随机变量或离散型随机变量
而分成连续型随机过程或离散型随机过程；
(b) 随机过程还可依时间（参数）是连续或 离 散进行分类。
当时间集T是有限或无限区间时，相应 的随机过程为连续参数随机过程，
当T是离散集合时，相应的随机过程为 离散参数随机过程或随机序列
记Y t X t X t. 首先注意,当X t 具有独立增量时,Y t 也具有独立增量;
其次Y0 0, EYt 0,且方差函数DY t E Y 2t DX t.
故当0 s t时,就有:
C X s,t EY sY t
EYsY0YtYsYs
EYsY0EYtYs EY 2s
DX s.
1 t 0tPk t 0 , t t 0tPk1 t 0 , t 0tk 1
将此式适当整理后,两边除以t,并令t 0,
就可得到Pk t0 ,t 满足的微分 差分方程:
dPk t0
dt
,
t
Pk
t0
,
t
Pk
1 t0
,
t
3
又因N t0 ,t0 0,故有初始条件Pk t0 ,t0 , k 1 4
(b)对固定的 S, X t, 是一个仅依赖于 的函数；
在本书中随机过程定义为一依赖于参数 t T （T是一无
限实数集）的一族（无限多个）随机变量。
2. 随机过程的状态与状态空间
状态 : 若t为时间,则X t,称为随机过程在t时刻的状
随机过程的
态, 而X
t1 ,
x说成是在时刻t
t1过程处于状态x.
W t X t Y t Z t,
RWW t1, t2
EW t1W t2
RXX t1,t2 RXY t1,t2 RXY t1,t2 RYX t1,t2 RYY t1,t2 RYZ t1,t2 RZX t1,t2 RZY t1,t2 RZZ t1,t2
*
说明: 1*式表明几个随机过程之和的自相关函数可以表示
现以t除上式两边,并令t 0,即得P0 t0,t满足的微分方程
dP0 t0
dt
,
t
P0
t0
,
t
2,因为N t0,t0 0,故P0 t0,t0 1.
把它看作初始条件即可从方程2解得P0 t0,t ett0 ,t t0.
10.3.5Pk t0 , t 的计算
根据和事件概率公式和条件10 ,
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念 §2 随机过程的统计描述 §3 泊松过程及维纳过程 本章小结
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§1 随机过程的概念
1. 随机过程的定义 随机过程{x(t, w),t T, w S}实际上是一个定义在一 实数集T和一样本空间S上的二元可测函数，它满足 两个基本的条件：
(a)对固定的 t T, X t,是一个随机变量；
3 特别地,令t1 t2 t,由2式可得的方差
此处即均方值函数为
2 W
t
2 W
t
2 X
t
2 Y
t
2 Z
t
.
back
10.3.1 泊松过程
独立增量过程: 给定二阶矩过程X t,t 0,随机变量X t X s,0 s t为
随机过程在区间s, t 上的增量.
如果对任意选定的正整数n和任意选定的0 t0 t1 t2 tn ,
...,tm' 是T中任意两组实数, n m维随机变量的分布函数
F x1,..,xn ;t1,...,tn ; y1,...,ym;t1' ,...,tm' , xi , yi R,
i 1,2,...,n, j 1,2,...,m.
3二维随机过程的数字特征 :
a互相关函数: RXY t1,t2 EX t1X t2 ,t1,t2 T,
时间间隔t0 , t 内出现的质点数."在t0 , t 内出现k个质
点",即Nt0,t k是一事件,其概率记为Pk t0,t PNt0,t k, k 0,1,2,.现假设Nt满足如下条件:
10 在不相重叠的区间上增 量具有独立性 ;
20 对于充分小的t :
P1t,t t PN t,t t 1 t 0t,
n个增量X t1 X t0 , X t2 X t1,...,X tn X tn1 相互独立,则称X t,t 0为独立增量过程.
说明: 1独立增量过程具有“在互不重叠的区间上状态的
增量是相互独立的”这一特征;
2在X 0 0的条件下它的有限维分布函数族可以由 增量X t X s的分布所确定;
3特别,若对任意的实数h和0 s h t h, X t h X s h 与X t X s具有相同的分布,则称增量具有平稳性.
b互协方差函数: CXY t1,t2
EX t1 X t1Y t2 Y t2
RXY t1,t2 X t1 y t2 ,t1,t2 T.
若CXY t1,t2 0,则称随机过程 X t和Y t是不相关的.
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t,Y t, Zt是三个随机过程 ,令W t X tY t Zt,则
状态空间: 对所有t T , S, X t,可能取值的全体.
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H,T, 现
以此定义
Xt,
cos
t
t, ,
H T
t , 其中 PT PH 1
2
试问：以此定义的过程Xt,,t T, S 是否为一随机过程？
解：显然（1）对固定的S，Xt, 是一个仅依赖于 t
如果对每一个t T,二阶矩E X 2 t2 都存在.
2.5.随机过程数字特征的计 算问题;
例1设A, B是两个随机变量.试求随机过程
X t At B,t T ,的均值函数和 自相关函数如果A, B相互独立且A ~ N 0,1, B ~ U 0,2, 问X t的均值函数和自相关函数是怎样的?
的泊松过程, 相应的质点流或质点 出现的随机时刻t1, t2 ,称作为强度为的泊松流
10.3.4 泊松过程的分布律
由题设有 Pk t0 , t 1,结合条件 20 和30 , 有 k 0 P0 t,t t 1 P1t,t t Pk t,t t k 2 1 t 0t.(1)
假设t 0, 则i当k 0时, 有
5自协方差函数, 简称协方差函数:
CXX t1,t2 CovX t1 , X t2 EX t1 X t1 X t2 X t2
简记为CX t1, t2 .
随机过程数字特征之间 的关系 :
1
2 X
t
RX
t,
t
;
2CX
t1,
t2
RX
t1,
t2
X
t1
X
t2
;
3
2 X
t
CX
t,
t
2 X
t
.
2.4.二阶矩过程:随机过程X t,t T,
这时,增量X t X s的分布函数实际上只依赖于
时间差t s0 s t,而不依赖于t和s本身事实上,令h s.
当增量具有平稳性时称相应的独立增量过程是齐次或时齐的.
10.3.2已知条件下独立增量过程的协方差
本节将在X 0 0和方差函数DX t为已知的条件下计算独 立增量过程X t,t 0的协方差函数CX s,t.
其中常数 0称为过程
N t 的强度,而0t 当t 0时是关于t的高阶无穷小;
30 对于充分小的t, Pj t,t t PN t,t t j
0t , 亦即对于充分小的t, 在t, t t出现2个或2个
以上质点的概率与出现一个质点的概率相比可以忽 略不计;
40 N 0 0. 满足条件10 ~ 40的计数过程N t ,t 0称强度为
函数族。 一维分布函数族作用：刻画了随机过 程在各个个别时刻的统计特性。
2.2 随机过程的n分布函数族：
FX x1, x2,...,xn;t1,...,tn PX t1 x1, X t2 x2,...,X tn xn,
xi R,i 1,2,...,n
对于固定的 n，称 FX x1, x2,..., xn;t1,t2,..., tn ,ti T
有PN t0,t t k PN t0,t N t,t t k
k
PNt,t t jPNt0,t k j, j0
再由10 ~ 40 及
Pk t0 , t t Pj t, t t 0t k 2, j2
上式可表示成
k
Pk t0 , t t Pj t, t t Pk j t0 , t j 0
为各个随机过程的自相关函数以及各对随机过程的互相关函 数之和;
2如果上述三个随机过程是两两不相关的,且各自的均值函数 都为零,则由*式可知诸相关函数均等于零,此时W t的自相关
函数简单地等于各个过程的自相关函数之和,即
RWW t1, t2 RXX t1,t2 RYY t1,t2 RZZ t1,t2
P0 t0 , t t PN t0 , t t 0 PN t0 , t N t, t t 0 PN t0 , t 0, N t, t t 0,
由条件10 和1式上式可写成 P0 t0 , t t PN t0 , t 0PN t, t t 0