学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第一章概率论习题__奇数题
01 11 11 11 11 5 25 35 45 55
77 300
15 解 ： 设 A1 入市时间在1年以内 ， A2 入市时间在1年以上不到 4年 ，
A3 入市时间在4年以上， B1 股民赢， B2 股民平， B3 股民亏
则
pB1 A1 0.1 , pB2 A1 0.2 , pB3 A1 0.7 , pB1 A2 0.2 , pB2 A2 0.3 ,
pB3 A2 0.5 , pB1 A3 0.4 , pB2 A3 0.4 , pB3 A3 0.2
(1) pB1 pB1 A1 pA1 pB1 A2 pA2 pB1 A3 pA3
0.22
（2）
p A1 B3
pA1B3 pB3
pB3
A1 p A1
pB3 A1 pA1 pB3 A2 pA2
（1） pAi p C1Ci1Ci p C1 p Ci1 pCi p1 p i1 pB4 p C1C2C3C4 p C1C2C3C4 p2 1 p
p
（2）
B4
A1
pB4 A1 p A1
p31 p
p
p2 1 p
（3）
pA1
B4
pB4 A1 pB4
p 3 1 p2 1
0.8 0.9 0.99 0.2 0.01 1 0.9 1 0.9 0.99 1 0.2 0.01
1 19
（2）记
Ai
第i个元件正常工作，则
pAi
1 19
p A1 A5 1 p A1 A5 1 p A1 p A5
1 1 1 5 19
0.9984
pB3
A3 pA3
7 0.538 13
17 解：（1）第三天与今天持平包括三种情况：第 2 天平，第 3 天平；第 2 天涨，第 3 天跌； 第 2 天跌，第 3 天涨。则
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
北京工业大学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷
北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2011年1月4日1.某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？2. 某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。
为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本，请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗？（取显著性水平）3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单 位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？（取显著性水平050.=α）4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（1） 试确定（2） 对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3） 当x=20时,求y 的95％的预测区间。
5．6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩阵为 3104411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求： （1）求2{1}P X =；（2）求2{2|1}n n P X X +==；（3）求012{1,2,1}P X X X ===；（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第一章概率论习题__偶数题
第一章概率论的基本概念注意：这是第一稿（存在一些错误）第一章概率论习题__偶数.doc2、解（1）AB BC AC 或ABC ABC ABC ABC ；（2）AB BC AC（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）；（3）ABCABC ABC ；（4）A B C 或ABC ；（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+ (2)A B ，都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；6、解设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”}若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则（1）88()0.641010P A =⨯=；（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）；（3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C ==若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）82210()45P B C ==；（3）111187282104()5A A A A P C A +==。
8、解（1）设A ={“1红1黑1白”}，则1112323712()35C C C P A C ==；（2）设B ={“全是黑球”}，则33371()35C P B C ==；（3）设C ={第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球”}，则2322()7!35P C ⨯⨯==。
10、解由已知条件可得出:()1()10.60.4P B P B =-=-=；()()()0.70.50.2P AB P A P AB =-=-=；()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-= ；（1）(())()7(|==()()9P A A B P A P A A B P A B P A B = ）；（2）()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=()(+()()0.5P A B P A P B P AB =-= ）于是(())()2(|==5()()P A A B P AB P A A B P A B P A B = ）；（3）(())()2(|)()()9P AB A B P AB P AB A B P A B P A B === 。
2009-2010第一学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.解 85:0=μH ，85:1≠μH选统计量n s x T /0μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k X P =有估计=i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k=0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
(完整版)随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
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北京工业大学2009-20010学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛
骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？
解：这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量 n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31
.328/885
80=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝
0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为
该班的英语成绩为85分.
050.=
解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ
在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k X P =有估计
=i p ˆΛΛ,7,0,
!2}{ˆ2
===-k k e k X P k
=0ˆp
三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：
α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取（取05
=
.0
α）。
=
0.
05
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：
在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取α, 计算结果保留三位小数。
显著性水平05
.0
=
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；
（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，
一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；
（2）求}1|3{2==+n n X X P ；
（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
七、设X(t)是平稳随机过程，若)
X
t
t
Yπ，其中Θ是在)
,0(π上
2
=t
cos(
2
+
)
(
(Θ
)
服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)
Y是否是平稳随机过程？
(t
标准答案（仅供参考）
一．这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量 n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31
.328/885
80=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝
0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为
该班的英语成绩为85分.
七．解：设)(,)(τμx x R c t =，
)]2[cos()()]([)(Φ+∏==t E t t Y E t X Y μμ
0)2cos(2120=+∏=⎰∏θθd t
τ
τττ∏=-=-∏⋅=Θ++∏+-∏==2cos )()(2cos 2
1)(]}2)(2cos[21)(2cos 21{),()]
()([),(X X X Y R t s s t R s t s t E s t R s Y t Y E s t R 其中 所以，是平稳随机过程
五 解： （}1|3{2==+n n X X P =1/8。
中无零元，所以遍历3)3(P 。
⎩⎨⎧=+++=1
),,,(),,,(.432143214321ππππππππππππP 的解，具体求解略平稳分布为以下方程组 解得平稳分布为7/1,7/24321====ππππ。