数理统计与随机过程试题

一、（10分）某工程部队的工程师向领导建议，他提出的一项新工艺在不降低工程质量和影响工程进度的同时，还将节省机器运转的开支。假如采用旧工艺时机器每星期运转开支平均是1000元，又假定新旧工艺机器每星期运转开支X 都是服从正态分布，且具有标准差250元。使用新工艺后观察了9个星期，其机器运转开支平均每星期是750元。试在01.0=α的水平下，检验工程师所述是否符合实际，即新工艺是否能节省开支。 （3554.3)8(005.0=t ，8965.2)8(01.0=t ，57.2005.0=u ，33.201.0=u ） 二、（12分）设母体

X

服从正态分布),(2σμN ，X 是子样),,,(21n X X X Λ的平均数，

∑=-=n

i i n

X X n S 1

2___

2

)1（是子样方差，又设),(~21σμN X n +，且与n X X X ,,,21Λ独立，求：

（1）X E ，X D ，2

n ES ，2n DS ；（2）统计量

1

1

1+--+n n S X

X n

n 的分布。 三、（13分）一个罐中装有黑球和白球，其中黑球、白球的个数均未知，如何用统计的方法估计其中黑球与白球的比例。（建立模型并给出两种估计方法） 四、（15分）以下为温度对某个化学过程的生产量的影响的数据：

已知

X 和Y 之间具有线性依赖关系。

（1）写出其线性回归模型，并估计参数βα,； （2）讨论回归系数的性质（分布）。

五、（10分）设有一随机过程)( t X ，它的样本函数为周期性的锯齿波。下图（a ）、（b ）画出了二个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在0=t 后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在) , 0 ( T 内均匀分布，即

?????≤≤=其它值

00

1

)( 0T t T

t f τ

若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)( t X 的一维分布函数和分布密度。

六、（10分）() t X 通过一线性系统后产生输出() t Y ，有?-=t

T t du u X T

t Y )(1)(

（1） 求该系统的频率响应函数；

（2） 若()t X 为一平稳过程，且其相关函数为,4

1)(2τ

λτ-=

e R X （λ为常数），求输出过程的谱密度。

七、（15分）设0),(≥t t X 为泊松过程，

（1）求})(,)({2211k t X k t X p ==，用21,t t 的函数表示； （2）求该过程的期望和相关函数。该过程是否为平稳过程？ （3）证明泊松过程是具有负指数间隔的计数过程。

八、（15分）设随机过程()0,≥t t X 只取两个值：A ，A -，且

t

A t X A t t X p t A t X A t t X p ????211})(|)({1})(|)({μμ-=-=-=+-===+

（1）说明()t X 是一个齐次马尔科夫过程，写出转移概率函数满足的微分方程组； （2）求极限概率。