上海市南模中学2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷
上海市徐汇区南洋模范中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市徐汇区南洋模范中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知复数z =2i −1，则下列关系式中正确的是( )A. |z|≥3B. |z|≠|1+2i|C. |z|<2D. |z|>|(1+i)i|2. 点O 为△ABC 所在平面内一点，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，则△ABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形3. 若直线x −y +2=0与圆O:(x −a )2+y 2=2相切，则a =( )A. 0B. −4C. 2D. 0或−44. 已知椭圆C ：x 216+y 212=1的左右焦点分别为F 1、F 2，则在椭圆C 上满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点P 的个数有( )A. 0B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4,−2√2)，则它的标准方程为________．6. 设复数z =21+i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为______．7. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=√20，a ⃗ ⋅b ⃗ =4，则|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ． 8. 双曲线x 24−y 22=1的一条渐近线方程为______ ．9. 设向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−3,4)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数x 的值为______ ．10. 直线过点(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．11. O 为坐标原点，A(2,1)，若点B(x,y)满足{x 2+y 2≤112≤x ≤10≤y ≤1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是______． 12. 已知动圆P 过点A(−3,0)，且与圆B ：(x −3)2+y 2=64相内切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为______ ．13. 已知与向量v⃗ =(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24−y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________．14. 过抛物线x 2=2py(p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A在y 轴左侧)，则|FB||AF|= ______ ．15. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O ，并且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2⃗⃗⃗ ，若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成λe 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ ，λ、μ∈R 的形式，则λ+μ的取值范围为______．16. 一般地，给定平面上有n 个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λn ，已知λ4的最小值是√2，λ5的最小值是2sin 310π，λ6的最小值是√3.试猜想λn (n ≥4)的最小值是______ .(这就是著名的Heilbron 猜想，已经被我国的数学家攻克) 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 已知复数z =(1−i )a 2−3a +2+i (a ∈R )．(1)若z =z ，求|z |；(2)若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的取值范围．18. O 为坐标原点，平面内的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1)，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3)，点P(x,y)是线段OM 上的一个动点． (1)求x −2y 的值； (2)求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围；(3)当PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，求∠APB 的余弦值．19. 设双曲线y 2a 2−x23=1的两个焦点分别为F 1、F 2，离心率为2． (Ⅰ)求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；(Ⅱ)若A 、B 分别为l 1、l 2上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(Ⅲ)过点N(1,0)能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20. 已知动点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线l ：x =−1的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M(4,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，证明：OA ⊥OB ．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点M(√3,√32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线OM交于点N，并且点N是线段AB 的中点，求▵OAB面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：根据复数的模，以及复数的运算求解即可． 解：因为|z |=√5|(1+i )i |=|−1+i |=√2故选D ．2.答案：B解析：本题考查三角形形状的判断，着重考查平面向量的四则运算，向量垂直的判断，属于中档题．根据题意得到OA ⊥BC ，再由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|)即可得到答案． 【解答】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OA ⊥BC ．∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)， ∴AO 在∠BAC 的角平分线上， ∴△ABC 是等腰三角形． 故选B ．3.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的判定，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距离d =2=√2，解得a 的值，即可得答案．解：根据题意，圆(x −a)2+y 2=2的圆心为(a,0)，半径r =√2，若直线x −y +2=0与圆(x −a)2+y 2=2相切， 则圆心到直线的距离d =√2=√2，即|a +2|=2，解可得：a =0或−4， 故选D ．4.答案：A解析：解：设椭圆C ：x 216+y 212=1上的点P 坐标为(m,n)， ∵a 2=16，b 2=12，∴c =√a 2−b 2=2， 可得焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0)，由此可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,−n)，设PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得(−2−m)(2−m)+n 2=0，化简得n 2=4−m 2，…①又∵点P(m,n)在椭圆C 上，∴m 216+n 212=1，化简得3m 2+4n 2=48，再代入①得3m 2+4(4−m 2)=48，解之得m 2=−32，与m 2≥0矛盾． 因此不存在满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点P ． 故选：A根据题意求出焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0).设椭圆上点P 的坐标为(m,n)，可得向量PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用m 、n 表示的坐标形式，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0列式化简得n 2=4−m 2，根据点P(m,n)在椭圆C 上得m 216+n 212=1，两式联立解得m 2=−32，与m 2≥0矛盾，从而得到椭圆上不存在满足条件的点，由此可得本题的答案．本题给出椭圆的焦点分别为F 1、F 2，求椭圆上满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点P 的个数．着重考查了向量数量积及其运算性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．5.答案：y 2=2x解析：本题考查抛物线的标准方程的求解及抛物线的性质，属于基本题型． 由已知得抛物线开口向右，设抛物线方程，将点M 的坐标代入即可求解． 解： 因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4,−2√2)， 所以抛物线开口向右，所以设抛物线的标准方程为y2=2px，p>0，将M的坐标代入得(−2√2)2=2p×4，解得p=1，所以抛物线的标准方程为y2=2x．故答案为y2=2x．6.答案：−1解析：解：∵z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.答案：2解析：解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+8=20；∴a⃗2+b⃗ 2=12；∵|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =12−8=4；∴|a⃗−b⃗ |=2；故答案为：2由题意知，充分利用公式|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ 化简求解；本题主要考查了向量的运算公式，以及对向量数量积运算的掌握，属基础题．8.答案：y=±√22x解析：解：双曲线x24−y22=1的a=2，b=√2，则渐近线方程为y=±√22x，故答案为：y=±√22x.求出双曲线的a=2，b=√2，再由渐近线方程y=±bax，即可得到．本题考查双曲线方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．9.答案：−43解析：解：由于向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(−3,4)，若a⃗//b⃗ ，则由两个向量共线的性质可得1×4−x(−3)=0，解得x=−43，故答案为−43．由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．10.答案：3x+2y=0或x−y−5=0解析：本题考查了直线的截距式方程，当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设xa+y−a=1，把点(2,−3)代入即可得出．解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为y=−32x，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设xa +y−a=1，把点(2,−3)代入可得2a +−3−a=1，解得a=5．∴直线方程为x−y−5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x−y−5=0．故答案为3x+2y=0或x−y−5=0．11.答案：√5解析：解：由约束条件{x 2+y 2≤112≤x ≤10≤x ≤1作出可行域如图，令z =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y ， 由图可知，当直线z =2x +y 与平面区域切于A 1 时，z 有最大值． 由坐标原点O(0,0)到直线2x +y −z =0的距离为1，得|z|√5=1，解得z =√5．故答案为：√5．由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性约束条件，由点到直线的距离公式求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了平面向量的数量积运算，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.答案：x 216−y 27=1解析：解：圆B ：(x −3)2+y 2=64圆心为B(3,0)，半径为r =8，设动圆的圆心为P ，∵圆C 过点A(−3,0)，圆C 与圆B 相内切∴|PB|=8−|PA|， 得|PB|+|PA|=8(定值)因此，动点C 的轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆 2a =8，c =3，可得b =√16−9=√7 ∴椭圆的方程为x 216−y 27=1，即为动圆圆心的轨迹方程．故答案为：x 216−y 27=1．根据两圆内切的性质，算出动圆圆心到B(3,0)、A(−3,0)的距离之和等于常数8，由此可得轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，利用椭圆的基本概念加以计算即可得到所求轨迹方程．本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程．着重考查了圆与圆的位置关系、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．13.答案：4解析：本题主要考查了双曲线的应用，直线与双曲线的关系．常需要把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口解：由题意可设直线l 的方程为y =m ，代入x 24−y 2=1得x 2=4(1+m 2)，所以x 1=√4(1+m 2)=2√1+m 2，x 2=−2√1+m 2， 所以|AB|=|x 1−x 2|=4√1+m 2≥4， 即当m =0时，|AB|有最小值4． 故答案为4．14.答案：3解析：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴．则可知AA 1//OF//BB 1，根据比例线段的性质可知|FB||AF|=|OB 1||OA 1|=|x B||x A|，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x ，根据韦达定理求得x A +x B 和x A x B 的表达式，进而可求得x A x B =−(A B 2√33)2，整理后两边同除以x A 2得关于x B x A的一元二次方程，求得x B x A的值，进而求得|FB||AF|．解：如图，作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，则AA 1//OF//BB 1，∴|FB||AF|=|OB1||OA1|=|x B||x A|，又已知x A<0，x B>0，∴|FB||AF|=−x Bx A，∵直线AB方程为y=xtan30°+p2，即y=√33x+p2，与x2=2py联立得x2−2√33px−p2=0，∴x A+x B=2√33p，x A⋅x B=−p2，∴x A x B=−p2=−(A B2√33)2=−34(x A2+x B2+2x A x B)，∴3x A2+3x B2+10x A x B=0，两边同除以x A2(x A2≠0)得3(x B xA )2+10x Bx A+3=0，∴x Bx A =−3或−13．又∵x A+x B=2√33p>0，∴x A>−x B，∴x Bx A<−1，∴|FB||AF|=−x Bx A=3．故答案为：3．15.答案：[−1−√2,1+√2]解析：解：以O 为原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O 的半径为1，则OM =1，过M 作MN//OB ，交x 轴于N ， 则△OMN 为等腰直角三角形，∴ON =√2，OM =1，∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时λ+μ=1+√2； 同理可得：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时λ+μ=−1−√2； ∴λ+μ的最大值为1+√2，最小值为−1−√2． 故答案为：[−1−√2,1+√2].根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可．本题考查了平面向量的基本定理与应用问题，是中档题16.答案：2sinn−22n π解析：解：∵λ4=√2=2sin π4，λ5=2sin 310π， λ6=√3=2sin π3，…设数列{a n }(n ≥4)，a 4=14=12−14，a 5=310=12−15，a 6=12−16，… 于是可得a n =12−1n ．∴猜想λn (n ≥4)的最小值是2sin(12−1n )π=2sin n−22n π．故答案为2sin n−22n π．观察、分析λ4、λ5、λ6的规律，即可猜想出λn 的表达式．由已知的几个结论分析归纳猜想出其规律是解题的关键．此题要证明并不简单．17.答案：解 z =(1−i)a 2−3a +2+i =a 2−3a +2+(1−a 2)i ，(1)由z =z 知，1−a 2=0，故a =±1．当a =1时，z =0；当a =−1时，z =6．(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即{a 2−3a +2>01−a 2>0， 即{a >2或a <1−1<a <1， 所以−1<a <1．解析：本题主要考查复数的几何意义，以及复数的有关概念，比较基础．(1)根据z =z ，确定方程即可求|z|；(2)利用复数的几何意义，即可得到结论．18.答案：解：(1)∵点P 在线段OM 上，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 而OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， 则3x =6y ，∴x −2y =0．(2)由(1)知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y,y)，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2y,7−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−2y,1−y)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2y)(5−2y)+(7−y)(1−y)=5y 2−20y +12=5(y −2)2−8．∵点P 在线段OM 上，∴y ∈[0,3]，∴当y =2时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−8，当y =0时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值12，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−8,12](3)由(1)可知当y =2，x =4时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−8，此时P(4,2)，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,5)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)． ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3−5=−8，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√34，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2．∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB ，∴cos∠APB =√2×√34=−4√1717．解析：(1)利用向量共线定理即可得出；(2)利用数量积的坐标运算和二次函数的单调性即可得出；(3)由(1)(2)即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积的坐标运算和二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵e =2，∴c 2=4a 2∵c 2=a 2+3，∴a =1，c =2，∴双曲线方程为y 2−x 23=1，渐近线方程为y =±√33x ；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点M(x,y)，∵2|AB|=5|F 1F 2|∴|AB|=52|F 1F 2|=52×2c =10，∴√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=10，∵y 1=√33x 1，y 2=−√33x 2，2x =x 1+x 2，2y =y 1+y 2∴y 1+y 2=√33(x 1−x 2)，y 1−y 2=√33(x 1+x 2)，∴12[√312=10，∴3(2y)2+13(2x)2=100，即x 275+3y 225=1，则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为10√3，短轴长为10√33的椭圆．(Ⅲ)假设存在满足条件的直线l ．设l ：y =k(x −1)，l 与双曲线交于P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=0，∴x 1x 2+k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=0，∵{y =k(x −1)y 2−x 23=1⇒(3k 2−1)x 2−6k 2x +3k 2−3=0， ∴x 1+x 2=6k 23k 2−1,x 1x 2=3k 2−33k 2−1，∴k 2+3=0∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l ．解析：(Ⅰ)运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a =1，进而得到双曲线方程； (Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用代入法，由中点坐标公式和两点的距离公式，即可得到中点的轨迹方程和轨迹；(Ⅲ)假设存在满足条件的直线l.设l ：y =k(x −1)，l 与双曲线交于P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可判断． 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式和两点的距离公式以及联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意知，动点P 的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程是y 2=4x ；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =4，联立{x =4y 2=4x ，解得{x =4y =4或{x =4y =−4， 不妨设A(4,4)，B(4,−4)，k OA ⋅k OB =44×−44=−1，所以OA ⊥OB ；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y =k(x −4)，联立{y =k(x −4)y 2=4x，消去y 整理得k 2x 2−(8k 2+4)x +16k 2=0， Δ=(8k 2+4)2−4k 2⋅16k 2=64k 2+16>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2+4k 2,x 1x 2=16，=16k 2−4k 2⋅8k 2+4k 2+16k 2=−16， 从而k OA ⋅k OB =y 1x 1⋅y 2x 2=y 1y 2x 1x 2=−1616=−1，所以OA ⊥OB ，综上所述，OA ⊥OB ．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，属于中档题．(1)说明动点P 的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线，求解即可；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =4，联立直线方程与抛物线方程，设出A ，B 坐标，k OA ⋅k OB =44×−44=−1，即OA ⊥OB ；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y =k(x −4)，联立直线与抛物线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理转化求解斜率乘积为−1，即OA ⊥OB ； 综合两种情况即可得到结论．21.答案：解：(Ⅰ)由题意，知：a =2c ，则b 2=3c 2，将M(√3,√32)代入椭圆方程x 24c 2+y 23c 2=1， 解得c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)易得直线OM 的方程为y =12x ，当直线l 斜率不存在时，AB 中点不在直线y =12x 上，故直线l 斜率存在，设l 方程为y =kx +m(k ≠0,m ≠0)，与椭圆方程联立，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，所以Δ=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2，由y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m3+4k 2，得AB 的中点为N(−4km 3+4k 2,3m 3+4k 2)，因为N在直线y=12x上，所以3m3+4k2=12×(−4km3+4k2)，解得k=−32．所以Δ=48(12−m2)>0，得−√12<m<√12且m≠0．|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+(−32)2×√(x1+x2)2−4x1x2=√396√12−m2，又原点O到直线l的距离为d=√13，所以SΔOAB=12×√396√12−m2×13=√36√(12−m2)m2≤√36·12−m2+m22=√3，当且仅当12−m2=m2，m=±√6时，等号成立，满足−√12<m<√12且m≠0．所以ΔOAB面积的最大值为√3，此时直线l的方程为y=−32x±√6．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、均值定理、椭圆性质的合理运用．(Ⅰ)根据离心率得出a，b，c的关系，再把点M坐标代入椭圆方程可得a，b值，从而得具体的椭圆方程．(Ⅱ)对直线l可分类讨论：斜率不存在时，不合题意;斜率存在时，设方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)，与椭圆方程联立，消去y得x的二次方程，同时设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2，由弦长公式求得弦长｜AB｜，再求得O到直线l的距离，从而得出三角形OAB的面积，利用基本不等式可得最大值，及取最大值时m的值，注意验证是否保证直线与椭圆确有两个交点．。
上海市南模中学2019-2020学年高二数学上学期9月考试卷附答案解析
y f (x)
7
y 2sin 2x
__________.
k
,
2
k
,k
z
,
,
, 2sin 2x 0 , sin 2x 0 ,
y sin x 0 x 2k , 2k k z ,
x f 1( y)
x, y
.
5
2k 2x 2k k z , k x k ,k z
2
y 2sin 2x
ABC
A
B
C
D
B
AB BC AC
AB AC 0
.
AB
BC
AB
2
AB
AB BC
AB
AC
0
AB
AC
ABC
B
A 90
4
1
.
ABCDEF A d1, d2, d3, d4, d5 . m, M
a1,a2, a3, a4,a5
D
(ai a j ak ) (dr ds dt )
Sn
Sn OA1 An An1
an
2
OAn1
.
OA1An1 n N *
S OA1An1
3
cn
bn an
2
n
cn
.
OA1 i j
.
bn
bn
21
[0, )
f x
y f x (ax b)
[0, )
;
p
(0, p]
g x ax b
f x “
”.
1
g
x
1 2100
x
f x 0.5 x 2 “
,
q
1 8
,
上海市上海中学2019-2020年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1. 若复数()1231i z i +=-，则z =______.2. 抛物线2y x =的准线方程是______.3. 椭圆2236x y +=的焦距是______.4. 已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5. 计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6. 已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7. 已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不．．．到．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9. 1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10. 已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11. 已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12. 已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13. “1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要14. 双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A. B.C.2D.215. 给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.D.三、解答题17. 已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18. 已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19. 假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20. 已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21. 由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题1.2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.310. 5052 11. 5 12. ①③【第9题解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为'1F ，由题意及椭圆对称性，可知'11F PF ∆为等边三角形，'1PF x ⊥轴且经过2F ，∵122F F c =，∴122c PF PF a a +==⇒=. 【第10题解析】设()(),0n n n n A x y y >，其中222019n n nx y -=， n E 为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，∴2n n n B A C π∠=，∴1122n n n n n a A B A C =⋅⋅=2248076n n x y n -==， ∴12201912201950580762a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==. 【第11题解析】设直线AB 的方程为()1x t y =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，知122x x =-，()()()2222214844044x t y t x tx m t x y m⎧=-⇒+++-=⎨+=⎩， ∴()()122222222212222288444422244t t x x x x t t m t m t x x x x t t ⎧⎧+=-=-=⎪⎪++⎪⎪⇒⎨⎨--⎪⎪=-==⎪⎪++⎩⎩，①当0t =时，1m =，20x =； ②当0t ≠时，()()222222222264324414m t t xt t m t-==⇒+=+-+()236411mt m m -⇒=≠-， 此时()()2222364222213241mm m tm x t m ----==+-()22516109444m m m --+-+-==≤， 当5m =时，2x 取得最大值2；综上，5m =.【第12题解析】由题意，点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆Γ：222166y x m+=-的交点（共4个），①正确；②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=，Γ：22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P不在坐标轴上，∴OP <.二、选择题 13-16：BCBB【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设1z 、2z 在复平面上对应点1Z 、2Z ，则120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r，反例可以是11z =，2z i =；③的反例0z =. 【第16题解析】1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ()120,0y y ><，其中211x y =，222x y =， 121212222OA OB x x y y y y ⋅=⇒+=⇒=-u u u r u u u r，()21122212121*********1ABO yy S y y y y y y y y ∆==-=-，21111111012481AFO y y S y ∆==， ∴112199288ABO AFO y y S S y y ∆∆+=-=+3≥=. 三、解答题17. 32z i =+或12z i =-+.18. ()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=. 21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111k k k k k kk --+=--++，即2210kk --=， 解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22. 椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+， 由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩， ∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，2222212i m x x k -=+，而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k--⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT∆∆⇒⋅==:.。
上海市南模中学2019-2020学年高二数学上学期9月考试卷附答案解析
上海市南模中学2019-2020学年高二数学上学期9月考试卷一、单选题1．设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r若，则点P 是△ABCA ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 3．若20AB BC AB ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则三角形ABC 必定是（ ）三角形A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．等腰直角 4．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{}{},,1,2,3,4,5i j k ⊆,{}{},,1,2,3,4,5r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.A ．0,0m M =>B ．0,0m MC ．0,0m M <=D ．0,0m M <<二、填空题 5．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =I_________.6．函数10)y x =+≥的反函数是__________7．函数y =__________.8．已知向量a r 、b r 满足1a b a b ==+=r r r r ，则a r 、b r 的夹角为__________.9．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()221x x x f =++，当0x >时，()y f x =的解析式为()f x =__________.10．从数列()*12n n N ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中可以找出无限项构成一个新的等比数列{}n b ，使得该新数列的各项和为17，则此数列{}n b 的通项公式为__________.11．已知3a =r ，5b =r ，且12a b ⋅=r r ，则向量a r 在向量b r 的方向上的投影为__________．12．在ABC ∆中，222b c a bc +=+，4AC AB ⋅=u u u r u u u r ，则ABC ∆面积为__________.13．若a v 、b v 、c v 均为平面单位向量，且(1,a b c +-=v v v ，则c v 的坐标为________14．如图，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =，一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得30APB ∠=︒，90BPC ∠=︒，则此时无人机到甲、丙两船的距离之比为__________.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）15．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 16．函数()()224sin 164xf x x x x π=-+-≤≤的值域为________.三、解答题17．已知()2x x bf ax =+（,a b 为常数），且方程()120x x f -+=有两个实根为13x =，24x =. （1）求函数()f x 的解析式； （2）当0k>时，解关于x 的不等式：()()2x x x x f k -<-.18．已知：,a b r r 是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a =r（1）若b =r ，且a b +r r 与b r 垂直，求a r 与b r 的夹角θ； （2）若(1,1)b =r ，且a r 与a b l +r r 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.19．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意*n N ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n T 是{}n b 的前n 项和，是否存在常数λ，对任意*n N ∈，使2n a n T λ--⋅>恒成立？若存在，求λ取值范围；若不存在，说明理由.20．设x 轴、y 轴正方向的单位向量分别为,i j r r ，坐标平面上的点n A 满足条件：1OA i j =+u u u r r r ，12n n n A A i j +=-u u u u u u r r r ()*n N ∈. （1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S OA A A +=⋅u u u r u u u u u u r ，求数列{}n a 的通项公式. （2）求向量1n OA +u u u u u r 的坐标，若()*11n OA A n N +∈△的面积11n OA A S +△构成数列{}n b ，写出数列{}n b 的通项公式.（3）若2n nnb c a =-，指出n 为何值时，n c 取得最大值，并说明理由.21．对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[0,)+∞上单调递减;②存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()gx ax b =+是函数()f x 的“渐近函数”. （1）求证：函数()10012g x x =不是函数()2f x =+的“渐近函数”；（2）判断函数()1g x x =+是不是函数()2231x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的“渐近函数”，并说明理由； （3）若函数()x x f =[0,)x ∈+∞，()g x ax =，求证：()g x 是函数()f x 的“渐近函数”充要条件是2a =.解析上海市南模中学2019-2020学年高二数学上学期9月考试卷一、单选题1．设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】分析21x =成立的条件,根据充分性、必要性的概念即可选出正确答案.【详解】因为211x x =⇔=±,所以由1x =一定能推出21x =,由21x =,不一定能推出1x =,所以甲是乙的充分非必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条件的判断,属于基础题.2．设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 若，则点P 是△ABCA ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 【答案】D【解析】试题分析：由于点P 是△ABC 所在平面内一点，()0PA PB PB PC PC PA PA PB PB PC PB PC PA PB AC PB AC⋅=⋅=⋅∴⋅=⋅⇒⋅-=⋅=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 若， 同理可知PC AB ⊥u u u r u u u r ,则说明点P 是三角形ACB 的垂心，故选D.【考点】本题主要考查了向量的数量积的几何意义的运用，以及向量的加减法的综合运用．点评：解决该试题的关键是利用已知中向量的等式，变形得到垂直的关系，进而分析得到点P 的位置． 3．若20AB BC AB ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则三角形ABC 必定是（ ）三角形A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．等腰直角 【答案】B【解析】由AB BCAC+=u u u r u u u r u u u r 得到，0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，即可求解. 【详解】 ()20AB BC AB AB AB BC AB AC ⋅+=⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB AC ∴⊥u u u r u u u r ，即90A =︒ 所以三角形ABC 必定是直角三角形故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.4．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{}{},,1,2,3,4,5i j k ⊆,{}{},,1,2,3,4,5r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.A ．0,0m M =>B ．0,0m MC ．0,0m M <=D ．0,0m M <<【答案】D 【解析】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r ，其余均有0i r a d ⋅≤u r u u r ，故选D ．【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题．二、填空题5．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =I_________. 【答案】()0,1【解析】根据交集的定义即可写出答案。
上海市南洋模范中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市南洋模范中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．2．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A ，B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为，则= ．3．在10201711x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示） 4．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为________5．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .6．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________ 7．不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为25．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ．8．由正整数组成的一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)9．若x M ∈，且1M x∈，则称集合M 是“兄弟集合”，在集合112,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭中的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率是__________10．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________11．设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）二、单选题12．三棱锥P ABC -中，D E 、分别为PB PC 、的中点，则三棱锥D ABE -的体积与三棱锥P ABC -的体积之比为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2513．设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +14．正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为线段11B D ，上的一个动点，则下列错误的是（ ） A ．AC BE ⊥B ．1//B E 平面ABCDC ．三棱锥E ABC -的体积为定值D ．直线1BE ⊥直线1BC .15．对于二项式()20171x -的展开式中，有下列四个命题，其中正确命题是（ ）A ．非常数项系数绝对值的和是1B ．系数最大的项是第1009项和第1010项C ．偶数项的系数和是20162D ．当2018x =时，除以2018的余数为1.16．若函数()()()2log 30,0a f x x ax a a =-+>≠，满足对任意的12,x x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x <>，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()0,11,3B ．(C ．()(0,1⋃D ．()1,3三、解答题17．己知()23f x x ax a =++-，且()f x 在[]22-,上恒为非负数，求实数a 的取值范围.18．在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256.（1）求展开式的常数项：（2）求展开式中所有奇数项的系数和.19．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC(2) 设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD 的体积20．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.21．已知函数()2xf x =，且()()()f xg xh x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数.（1）求()()g x h x 、的解析式：（2）若不等式()()220a g x h x ⋅+≥对任意]2[1x ∈，恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．4 【解析】试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解． 2． 【解析】试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为．在直角三角形ODA 中，因为，所以．则．考点：异面直线及其所成的角点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题 3．45 【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有2x 项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求．【详解】 解：0100100191101010102017201721001720171111(1)(1)()(1)()(1)()x C x C x C x xxxx++=++++⋯++，∴仅在第一部分中出现2x 项的系数．再由110r rr T C x +=，令2r ，可得，2x 项的系数为21045C =．故答案为45． 【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． 4．13 【分析】由于关于x 的方程220ax x b ++=有实数根，分两种情况：当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解；当0a ≠时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出1ab ，从而得到有序数对(,)a b 的个数． 【详解】解：当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解；此时1b =-，0，1，2；即(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2)四种； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，∴△440ab =-，则1ab ．当1a =-，1，2时，此时a ，b 的对数为(1,0)-，(1,2)-，(1,1)--，(1,1)-，(1,1)-，(1,0)，(1,1)，(2,1)-，(2,0)，共9种，关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对的个数为13种， 故答案为13． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，在解题时要注意分类讨论思想运用，是中档题． 5．24 【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324⨯-⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积.. 6．15 【分析】 可令1()2g x =，得出x 的值，再代入可得答案． 【详解】 解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =． 221511()11164()[()]151124()416f f g -∴====．故答案为15． 【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题． 7．【解析】试题分析：这属于古典概型问题，设其中有黑球x 只，则有2105x =，4x =，故白球有6只，任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为1124662101315C C C C +=. 考点：古典概型. 8．1,1,3,3 【详解】设1234x x x x ≤≤≤，则x 2+x 3=4，123414244x x x x x x +++=∴+=.22222222212341234(2)(2)(2)(2)1(2)(2)(2)(2)44x x x x x x x x -+-+-+-=∴-+-+-+-=因为1234,,,x x x x 为正整数，所以12341,1,3,3x x x x ====考点：本题考查平均数与中位数及标准差的求解. 9．7255【解析】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“兄弟集合”的定义，可列举出所有“兄弟集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合A 的非空子集共有：821255-=个集合A 的非空子集中，为“兄弟集合”的有：{}1，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,2,,323⎧⎫⎨⎬⎩⎭，111,,2,,323⎧⎫⎨⎬⎩⎭，共7个 根据古典概型可知，所求概率7255p = 本题正确结果：7255【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够根据“兄弟集合”的定义确定符合题意的集合个数.10．221228216πππππ⋅⋅+⋅=+ 【解析】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题．11．充要 【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 12．A 【分析】由题意画出图形，把两个三棱锥的体积转化，由相似三角形的关系得到:1:4BDE PBC S S ∆∆=，从而得到答案． 【详解】 解：如图，D ，E 为PB ，PC 的中点，∴34PBC BDEC S S ∆=四边形， 则11313344BDEPBC PBC BDEC S S S S ∆∆∆==⨯=四边形， P ABC A PBC V V --=， D ABE A BDE V V --=，且三棱锥A PBC -与三棱锥A BDE -高相等， ::1:4D ABE P ABC BDE PBC V V S S --∆∆∴==．即1:4D ABE P ABC V V --=. 故选A 【点睛】本题考查了棱锥的体积，考查了相似三角形面积比和相似比的关系，属中档题． 13．A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数． 14．D 【解析】 【分析】结合正方体的性质，利用线面平行和垂直的性质定理和判定定理分别进行判断证明． 【详解】 解：A ．在正方体中，AC BD ⊥，1AC DD ⊥，1BDDD D =，AC ∴⊥面11BB D D ， BE ⊂面11BB D D ， AC BE ∴⊥，A ∴正确．B ．11//B D 平面ABCD ，1//B E ∴平面ABCD 成立．即B 正确．C ．三棱锥E ABC -的底面ABC ∆为定值，锥体的高1BB 为定值，∴锥体体积为定值，即C 正确．D ．1111D C BC D ⊥，1BE ∴⊥直线1BC 错误．故选D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 15．D【分析】利用二项式项的通项公式1r n r r r n T a b -+=，及二项式系数的性质对四个命题逐一判断，判断出正确命题．【详解】解：二项式2017(1)x -的展开式中，令1x =-，得出20172017(11)2+=， ∴展开式中非常数项系数绝对值的和为201721-，A 选项错误；展开式中的通项公式为12017()r r r T C x +=-， ∴系数最大的项是第1009项，B 选项错误；令1x =，得2017(11)0-=，∴展开式中偶数项的系数和是20162-，C 选项错误；2018x =时，2017122201720172017(12018)1201820182018C C -=-+-⋯-， 展开式中不含2018的项是1，其展开式除以2018的余数为1，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握二项式系数的性质以及二项式展开式的项的公式，是基础题．16．B【解析】【分析】解题的关键是将条件“对任意的1x ，2x ，当122a x x <时，12())0(f x f x ->”转化成函数()f x 在(-∞，]2a 上单调递减，然后根据符合函数的单调性的性质建立关系式，解之即可求出所求．【详解】解：“对任意的1x ．2x ，当122a x x <时，12())0(f x f x ->” 实质上就是“函数单调递减”，同时还隐含了“()f x 有意义”．事实上由于2()3g x x ax =-+在2a x 时递减， 从而1()02a a g >⎧⎪⎨>⎪⎩由此得a 的取值范围为(1,． 故选B ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，二次函数的单调性，同时考查了转化与划归的数学思想，是基础题．17．[]7,2-【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式()0f x 恒成立，则只需求出函数在[2x ∈-，2]时的最小值即可．【详解】解：设函数2()3f x x ax a =++-，在[2x ∈-，2]时的最小值为()g a ， 则①当对称轴22a x =-<，即4a >时， ()(2)730g a f a =-=-，得73a ，又4a >，此时不成立．②当[22a x =-∈-，2]时，即44a -时， ()21304g a a a =--，得62a -，故此时42a -．③当22a ->，即4a 时， ()()270g a f a ==+≥，解得7a -，此时74a -<-． 综上：72a -．即[]7,2a ∈-【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．18．（1）112；（2）3280.【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得2256n =，解可得8n =，即可得其展开式的通项，令840r -=，解可得2r ，将r 的值代入通项分析可得答案；（2）根据题意，设其展开式中奇数项的系数为0a 、2a 、4a 、6a 、8a ，偶数项的系数为1a 、3a 、5a 、7a ，进而令1x =可得：0123458687(1)1a a a a a a a a a -+-+-+--+==-，令1x =-可得：801234567836561a a a a a a a a a ++++==++++，联立两式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256， 则2256n =，解可得8n =，则2)n x 的二项展开式的通项为8188284()(2)3r r r r r r r T C C x x -+-=-=-， 令840r -=，解可得2r ，则有2238(2)112T C =-=，即其常数项为112；（2）在2)n x 的二项展开式中，通项为1884(2)3r r r r T C x +-=-， 设奇数项的系数为0a 、2a 、4a 、6a 、8a ，偶数项的系数为1a 、3a 、5a 、7a ，在2)n x中，令1x =可得：0123458687(1)1a a a a a a a a a -+-+-+--+==-，① 令1x =-可得：801234567836561a a a a a a a a a ++++==++++，②①+②可得：024683280a a a a a ++++=．【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．19．8【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O 点，连接EO ，只要证明EO ∥PB ，即可证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）延长AE 至M 连结DM ，使得AM ⊥DM ，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD ，即可三棱锥E-ACD 的体积试题解析：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向，|AP |为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz ，则D ()，E 10,,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，AE＝10,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.设B(m ，0，0)(m>0)，则C(m0)，AC ＝(m0)．设n 1＝(x ，y ，z)为平面ACE 的法向量，则0{0n AC n AE ⋅=⋅=即0102mx y z =+= 可取n 1＝,m ⎛- ⎝.又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥E-ACD 的体积V ＝13×12×32×12 考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定20．（1）115；（2）195；（3）19. 【分析】（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（3）由题意得出箱子里红球和白球都是2个，并求出操作三次的情况总数，以及恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的情况数，然后利用古典概型的概率公式可得出答案.【详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法. 因此，共有12490115++=种不同的取法；（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有134680C C =种不同的取法.因此，共有1249080195+++=种不同的取法；（3）由题意知，箱子中4个球中红球有2个，白球也为2个，从这4个球中取出2个球，取出2个红球只有一种情况，取出2个白球也只有一种情况，取出1红1白有11224C C =种情况，总共有6种情况.若取出的4个球放入一箱子里，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中去”为一次操作，如果操作三次，共有36216=种不同情况.恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有1132424C C ⨯=种情况，因此，恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率为2412169=. 【点睛】本题考查分类计数原理以及概率的计算，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.21．（1）1()(22)2x x h x -=+，1()(22)2x x g x -=-；（2）1712a -. 【分析】（1）根据函数奇偶性定义，解出奇函数()f x 和偶函数()g x 的表达式即可；（2）代入到2()(2)0a g x h x +中，分离参数a ，将问题转化为函数的最值问题来解．【详解】解：（1）()h x 为定义在R 上的偶函数，()g x 为定义在R 上的奇函数，()()g x g x ∴-=-，()()h x h x -=，又由()()2x h x g x +=，()()()()2x h x g x h x g x --+-=-=，1()(22)2x x h x -∴=+，1()(22)2x x g x -=-； （2）不等式2()(2)0ag x h x +在[1，2]上恒成立，化简为221(22)(22)02x x x x a ---++， 12x ，322[2x x -∴-∈，15]4， 令22x x t -=-，则222222x x t -+=+．则原式可化为12()2a tt-+，3[2t∈，15]4恒成立．显然当32t=时，12()2tt-+取得最大值1712-，1712a∴-．【点睛】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．。
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。
2021-2022年收藏的精品资料上海市南洋模范中学20192020学年高二第一学期考试数学试题
2019学年度第一学期10月考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟 满分100分）一、填空题1、已知向量()1,2AB =，()3,5AC =，则向量BC 的坐标是______.2、下列等式：0a a +=，a b b a +=+，AB AC BC +=，AB BC BC +=，AB AC BC -=，()0a a +-=，()a b a b +-=-中正确的个数是______.3、已知()2,3a =-，()1,5b =-，则3a b -=______.4、计算：()()()()34lim 132n n n n n →∞+-=--______.5、已知()2,3a =，()4,7b =-，则a 在b 方向上的投影的值为______.6、已知a 为非零向量，()3,4b =，且a b ⊥，则a 的单位向量0a =______.7、已知向量(),2a x =与()3,5b =--，a 与b 夹角为钝角，则x 的取值范围为______.8、用数学归纳法证明()22111,11n n a a a a n N a a ++-+++⋅⋅⋅+=∈≠-在验证1n =成立时，左边得的项为______. 9、若11313l 3im n n nn n a a →∞+++=+，则实数a 的取值范围是______.10、已知数列112⨯，123⨯，134⨯，……，()11n n +，……则数列的所有项和为______.11、在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列，设()13521*n n T a a a n N a -=+++∈+，则lim n n T →∞=______.12、在ABC ∆中，O 为中线AM 上一动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是______.二、选择题13、已知数列{}n a 的极限为A ，如果数列{}n b 满足662103310n n n a n b a n ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，那么数列{}n b的极限是（ ）A . AB . 23A C . 3A D . 不存在14、若()lim 12n n x →∞-存在，则x 的取值范围是（ ）A . 01x <<B . 01x ≤≤C . 01x ≤<D . 1x ≥或0x ≤15、某个命题与正整数有关，如果当()*n k k N =∈时命题成立，那么可以推得当1n k =+时命题也成立，现在已知当5n =时该命题不成立，所以该命题在（ ）A . 6n =时成立B . 6n =时不成立C . 4n =时成立D . 4n =时不成立16、设a ，b 表示平面向量，a ，b 都是小于9的正整数，且满足()()3105a b a b ++=，()()333a b a b +⋅+=，则a 和b 的夹角大小为（ ）A . 6πB . 3πC . 23πD . 56π三、解答题17、已知A 、B 、D 的坐标分别是()0,1-，()5,1-，()7,2，且//DC AB ，BC AB ⊥，求点C 的坐标.18、已知223145lim n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，求常数a ，b ，c 的值.19、已知无穷等比数列{}n a ，公比q 满足01q <<，()123n n n n a k a a a +++=+++，求实数k 的取值范围.20、已知数列{}n a 满足：11a =，133nn n a a a +=+，()*0n a n N ≠∈.（1）求2a 、3a 、4a ； （2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 21、设a 、b 是两个不平行的非零向量（t R ∈）. （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若1a b ==，且a 与b 的夹角为120︒，那么当实数x 为何值时，a xb -的值最小？。
2020-2021学年上海市南洋模范中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市南洋模范中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线310x y +-=的一个法向量可以是（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(1,3)D ．(1,3)-【答案】C【分析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.【详解】直线310x y +-=的一个方向向量为11,3v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设直线的法向量为()1,m t =，因为0v m ⋅=，所以1103t -=，得3t =，所以法向量()1,3m =.故选：C.2．设b 、c 均为实数，关于x 的方程2||0x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论： ①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根． 其中正确的是（ ）． A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】取0,1b c ==可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.【详解】解：令0b =，c 为正实数，则存在两个共轭的虚根，如0,1b c ==，则存在两个共轭虚根，x i =±，故①正确；若x 为实数，则方程可看做20x b x c ++=，只需保证x 有两个正解即可，此时方程有四个实根；若x 为虚数，则设=+x m ni ，(),m n R ∈ 有20x b x c ++=，等价于2220m n mni c -++=，所以20mn =，又x 为虚数，所以0n ≠，则有0m =，即20n b n c -++=，()n R ∈，即20n b n c --=最多有两个根，所以方程最多有6个解.只需2240400b c b c b ⎧->⎪+>⎨⎪<⎩即可，如3,2b a =-=，方程有1,2,1,2--四个实根，有33,22- 两个虚根.故②正确； 故选：A.【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.易错点睛：（1）根为复数时，设=+x m ni ，代入计算，可得0m =；（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，,b c 保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.3．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线与C 交于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则14PM QN+的值不可能为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】D【分析】本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．设PQ 的方程为1x my =+可得21212()116y y x x ==，可得1PM QN ⋅=，利用基本不等式求得14PM QN+最小值，从而作出判定． 【详解】易得抛物线C 的焦点()1,0F ,设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的方程为1x my =+，2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩． 124y y m +=，124y y =-，则21212()116y y x x ==．()(|1)1PM QN PF QF ⋅=--()()121211111x x x x =+-+-==，则14144PM QN PM QN+≥⋅=． 故选：D ．【点睛】PQ 的方程为1x my =+的形式，包括了斜率不存在的情况，可以避免分类讨论.4．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且1a b ==则max 5S =；③若4b a >，则min 0S >；④若2b a =，2min 8S a =，则a 与b 的夹角为3π.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】首先根据题意S 有3种结果，故①错误，由12230S S S S -=->，得到3S 最小，1S 最大，再根据条件对②③④判断即可得到答案.【详解】对①，S 有3种结果，分别是：22123S a b =+，22222S a a b b =+⋅+，234S a b b =⋅+，故①错误.因为()222221223220S S S S a b a b a b a b a b -=-=+-⋅≥+-⋅=-≥，所以S 中，3S 最小，1S 最大. 对②，若a b ⊥，且1a b ==，则2222max 123235S S a b a b ==+=+=，故②正确. 对③，若4b a >，则22222min 344cos 40S S a b b a b b a b b b b θ==⋅+=+≥-+>-+=，故③正确.对④，若2b a =，2min 8S a =，则2222348cos 48S a b b a a a θ=⋅+=+=， 所以1cos 2θ=，3πθ=，故④正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的综合应用，考查学生推理，分析问题的能力，属于难题.二、填空题5．抛物线24x y =-的准线方程为______________. 【答案】1y =【分析】根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =． 故答案为：1y =．6．若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为____． 【答案】1-.【详解】分析：先求出复数z ，再求复数z 的虚部.详解：由题得22(1)2(1)1.1(1)1-)2i i z i i i i --====-++（所以复数z 的虚部为-1.故答案为-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部是b,不是bi,这一点要注意.7．三阶行列式10134221-中第3行第2列元素的代数余子式的值是____________．【答案】4【分析】根据代数余子式的计算公式可直接得结果. 【详解】第3行第2列元素的代数余子式的值为()32110411(041)44+---=-=--= 故答案为：48．方程22212x y k k-=-表示椭圆，则实数k 的取值范围是__________.【答案】)()22,⋃+∞【分析】根据椭圆标准方程的特点，列出相应的不等式组，解不等式组即可求出k 的取值范围．【详解】原方程可化为22212x y k k +=-，依题意可得220202k k k k >⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得(2,)k ∈+∞.故答案为：(2,)+∞.9．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示） 【答案】3arctan2π- 【分析】利用复数模的几何意义判断出直线l 的轨迹，由此求得直线l 的斜率，进而求得对应的倾斜角.【详解】由题意得()()3z i z i --=-+，即z 的轨迹是到()0,1A -和()3,1B 两点的距离相等的点，也即线段AB 的垂直平分线，()112303AB k --==-，故32l k =-，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为3πtan2arc -.【点睛】本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题.10．已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30，则直线l 的方程为__________. 【答案】0x =或33y x =【分析】先由题意确定直线l 的倾斜角，可得它的斜率，再用点斜式求直线l 的方程． 【详解】解：直线31y x =+的斜率为3，故它的倾斜角为60︒，由于直线l 和它的夹角等于30︒，则直线l 倾斜角为30︒或90︒， 故直线l 的斜率为3303tan ︒=或不存在， 又∵直线l 过原点，故直线l 的方程为0x =或33y x =， 故答案为：0x =或33y x =. 11．设1m ，当实数,x y 满足不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤时，目标函数z x my =+的最大值等于3，则m 的值是__________． 【答案】4【详解】画出不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤表示的平面区域如上图，结合图形可以看出：当动直线11y x z m m =-+经过点12(,)33P 时，在y 轴上的截距1z m 最大，其最大值为max12333z m =+=，解之得4m =，应填答案4． 12．已知平面上三点A 、B 、C 满足3,522AB BC CA ====，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于_____．【答案】8-【分析】由三边的平方和的关系，可得△ABC 为直角三角形，由0AB BC CA ++=，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【详解】由|4B ||Bi |＝|CA |＝222AB BC CA +=即有△ABC 为直角三角形，由0AB BC CA ++=两边平方可得，222ABBC BCCA CAAB 2()0AB BC CA +++++=即有AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅222||+||+||1=-2AB BC CA （） ＝﹣12×（3+5+8）＝﹣8． 故答案为﹣8．【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 13．若直线340x y m ++=与曲线1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数，[]0,πθ∈)没有公共点，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】()(),08,-∞⋃+∞.【分析】曲线表示上半圆，作出图形，考查临界情况可得结果. 【详解】曲线1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数，[]0,θπ∈）表示以(1,2)C -为圆心，半径1r =的圆的上半部分（如图所示）.若直线340x y m ++=与半圆相切，则22314(2)134m⨯+⨯-+=+，解得0m =（10m =已舍）.若直线340x y m ++=过点(0,2)-，则8m =.由图可知，若直线与曲线没有公共点，则实数m 的取值范围是(,0)(8,)-∞⋃+∞. 故答案为：(,0)(8,)-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：作出图形，用数形结合求解.14．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22PM PN -的最小值为__________. 【答案】13.【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为()()12123PC PC PCPC +--的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.【详解】由22115y x -=，得211516c =+=，所以双曲线的焦点坐标为()4,0±，由圆的方程知：圆1C 圆心的坐标为()14,0C -，半径12r =， 圆2C 的圆心坐标为()24,0C ，半径21r =，,PM PN 分别为两圆切线，22221114PM PC r PC ∴=-=-，22222221PN PC r PC =-=-，()()222212121233PM PN PC PC PC PC PCPC ∴-=--=+--，P 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为12,C C ，122PC PC ∴-=，又12128PC PC C C +≥=（当P 为双曲线右顶点时取等号），()()221212328313PM PN PC PC PCPC ∴-=+--≥⨯-=，即22PMPN -最小值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.15．已知O 为ABC ∆的外接圆圆心， 16AB =， 102AC =，若AO xAB yAC =+，且322525x y +=，则AO =__________．【答案】10 【详解】如图．若AO xAB yAC =+，则2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅， O 为外心， D E ，为中点， OD ， OE 分别为两中垂线，1cos 1681282AB AO AB AO DAO AB AD AB AB ⋅=∠=⨯=⨯⨯=⨯=（），同样地， 21||1002AC AO AC ⋅==所以212810043225100AO x y x y =+=+=（），∴10OA =，故答案为10.点睛：本题考查三角形外心的性质，向量数量积的运算、向量模的求解，有一定难度；由AO xAB yAC =+，将其两边同时平方可得2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅，根据向量数量积的几何意义分别求出AB AO ⋅， AC AO ⋅后，得出关于x ， y 的代数式，利用322525x y +=整体求解.16．已知曲线():,0F x y Γ=对坐标平面上任意一点(),P x y ，定义[](),=F P F x y .若两点P ，Q 满足[][]0F P F Q ⋅<，称点P ，Q 在曲线Γ两侧.记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0F x y x y y a Γ=+--=，若曲线C 上总存在两点M ，N 在曲线Γ两侧，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()6,24【分析】依题意求出曲线C 的轨迹方程，利用[][]0F M F N ⋅<，求解a 的范围．【详解】解：设曲线C 上的动点为(,)x y ||5y =， 化简得曲线C 的方程为28(3)(03)x y y =-和212(2)(20)x y y =+-， 其轨迹为两段抛物线弧当03y 时，2(,)924[6F x y y y a a =-+-∈-，24]a -； 当20y -时，2(,)1124[6F x y y y a a =++-∈-，24]a -； 故若有[][]0F M F N ⋅<，则(6)(24)0624a a a --<⇒<<． 即()6,24a ∈ 故答案为：()6,24．三、解答题 17．已知复数()21332z a i a =+-+，()2231z a i =-+（a R ∈，i 是虚数单位）. （1）若12z z -在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值. 【答案】（1）()2,1a ∈--；（2）13m =.【分析】（1）由已知求出()21221342a z z a a i a ---=+--+，由题意得2210220340a a a a a --⎧>⎪+⎪+≠⎨⎪-->⎪⎩，解不等式可得答案；（2）利用根与系数的关系可求得结果 【详解】解：（1）由题意得，()21221342a z z a a i a ---=+--+， 因为12z z -在复平面内对应的点落在第一象限，所以2210220340a a a a a --⎧>⎪+⎪+≠⎨⎪-->⎪⎩，解得()2,1a ∈--（2）由题意得11662z z a +==+，故1a =-，所以1113z z ⋅=，即13m =. 【点睛】此题考查复数的加减运算，考查共轭复数，考查根与系数的关系的应用，属于基础题18．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，求水面的宽度.【答案】251.【分析】如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系，然后由题意求出圆弧形所在的圆的方程，设当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入圆方程中可求得结果【详解】如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100， 当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 051 ∴水面宽度|A ′B ′|＝51米.【点睛】此题考查圆的方程的应用，考查分析问题和数学转化思想，属于中档题 19．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦.已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线:1l y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD .（1）当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由.（2）当AB CD ⊥时，求线段PQ 长度的最小值，及此时点P ，Q 的坐标. 【答案】（1）(0,1)；（2）4.【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x ，抛物线为24x y =，则2x y '=，由导数的几何意义得1PA x x k y='=∣，从而写出直线PA 、PB 的方程，由此求出直线AB 的方程为02(1)x x y =-，进而可得结论.（2）设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由题意1AB CD k k ⋅=-，即4P Q x x ⋅=-，进而推出4||p PPQ x x =+，由基本不等式即可求解． 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x ，则2114x y =，2224x y =，抛物线24x y =的方程变形为24x y =，则2x y '=，所以直线PA 的斜率为112PA x x x k y ='==∣， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，化简得()112x x y y =+， 同理得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -，得()()0110222121x x y x x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以直线AB 的方程为02(1)x x y =-，所以直线AB 经过定点(0,1)．（2）设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由（1）知2PAB x k =，2Q CD x k =， 因为AB CD ⊥，所以1AB CD k k ⋅=-，即4P Q x x ⋅=-， 所以P x 和Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <且4Q Px x -=， 4||4P Q P Q p P PQ x x x x x x =-=-=+≥(当且仅当2P x =，42Q Px x =-=-时取等号)，即当(2,1)P -，(2,1)Q --时||PQ 取得最小值4．【点睛】关键点点睛：（1）问解题的关键是，由导数的几何意义求出直线PA 、PB 的方程，进而得()()0110222121x x y x x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而有直线AB 的方程为02(1)x x y =-.（2）问解题的关键是，由1AB CDk k ⋅=-，即4P Q x x ⋅=-的关系，得4||p PPQ x x =+. 20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是椭圆E 的两个焦点，12F F =P 是椭圆E 上的一个动点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤，求点P 的横坐标的取值范围； （3）是否存在过定点()0,2N 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，使AOB 为直角三角形(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）⎛ ⎝⎦；（3）2-或2． 【分析】(1)由椭圆经过点M ⎛ ⎝⎭，12F F =a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程．(2)设(),P x y ，则()21211·3844PF PF x =-≤，由此能求出点P 的横坐标的取值范围． (3)设直线l 的方程为2y kx =+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416120k x kx +++=，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【详解】解：(1)椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是椭圆C的两个焦点，12F F =2222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)3c =，()1F，)2F ，设(),P x y ，则())2212·,,3PF PF x y x y x y =--⋅-=+-， 2214x y +=，()222221211·31338444x PF PF x y x x ∴=+-=+--=-≤，解得x ≤≤点P 在第一象限，0x ∴>，0x ∴<≤∴点P 的横坐标的取值范围是.⎛ ⎝⎦(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，A 、B 、O 三点共线，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221416120k x kx +++=， 由()22(16)48140k k =-+>，解得234k >， 1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+， 90AOB ∠=︒，·0OAOB ∴=，()()()212121212244·22014k OAOB x x y y x x kx kx k -=+=+++==+，解得24k =，满足234k >， 解得2k =或2k =-，∴直线l 的斜率k 的值为2-或2．【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．21．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b+=≤和曲线()22222:10x y C y ab-=>组成，其中点1F ，2F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点3F ，4F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.（1）若()22,0F ，()36,0F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C ，D ，求1CDF 面积的最大值.【答案】（1）2212016x y +=()0y ≤和2212016x y -=()0y >；（2）b y x a =，2a x ⎡∈⎢⎣⎭；（3. 【分析】()1由()22,0F ，()36,0F -，可得2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，解出即可； ()2设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，设直线l ：()b y x m a=-，与椭圆方程联立化为()222220x mx m a -+-=，利用0>，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可．()3由()1知，曲线()()224106,0.2016x y y F +=≤设直线1l 的方程为6(0).x ny n =+>与椭圆方程联立可得()225448640n y ny +++=，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：（1）由题意得()22,0F ，()36,0F -，所以2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩， 则曲线Γ的方程为：2212016x y +=()0y ≤和2212016x y -=()0y >．（2）由题意曲线2C 的渐近线为：b y x a =±，设直线l ：()by x m a=-， 由()22221b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222220x mx m a -+-=， 所以()222480m m a ∆=-->，解得：m <<，又由数形结合知a m ≤<．设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则12x x m +=，22122m a x x -=，所以02m x =，02bm y a =-，所以00b y x a =-，即点M 在射线by x a =，,22a x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭上． （3）由（1）得，曲线1C ：2212016x y +=()0y ≤，点()46,0F ，设直线1l 的方程为：6x ny =+()0n >，由22612016x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225448640n y ny +++=，所以()()222484645401n nn∆=-⨯⨯+>⇒>，设()33,C x y ，()44,D x y ，所以3424854n y y n +=-+，3426454y y n =+， 所以34254y y n -=+，所以1CDF面积123422118225454S F F y y n n =-=⨯⨯=++令0t =>，所以221n t =+，所以4S t t==≤+ 当且仅当32t=，即2n =时取等号，所以1CDF 面积的最大值为3． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质,关键是要将直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、灵活运用弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式求最值.。
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2019学年第一学期南模中学高二年级期末考试
数学学科
一、填空题（本大题共有12题，1~6题，每题4分，7~12题，每题5分，满分54分）
1．以原点为顶点，x 轴为对称轴，并且经过()2,4P --的抛物线的标准方程为______________． 2已知复数z 满足2
(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为____________________．
3．已知向(2,1)a =，10a b ⋅=，||52a
b +=，则b =____________________． 4双曲线2
2
1x ky +=的一条渐近线的斜率是2，则k =__________________．
5．设向量(1,2)a =，(2,3)b =，若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=___________________． 6．直线过点()2,3-，且在两条坐标轴上的截距互为相反数；则此直线的方程是_________________
7．已知O 是坐标原点，点()1,1A -若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
内的一个动点，则OA OM ⋅的取
值范围为________________．
8已知动圆过定点()4,0A -，且与圆2
2
8840x y x +--=相切，则动圆的圆心P 的轨迹方程是_________．
9．若直线23x t y t
=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）与双曲线221x y -=相交于A ，B 两点，
则线段AB 的长为_____________． 10．过抛物线2
2x py =(0)p >的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线交于A ，B 两点（A 点在y 轴左侧则
FA
FB
=___________________． 11．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x ，y y 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为_________________．
12．已知直角坐标平面上任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，定义212121
212121
,(,),x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨
--<-⎪⎩为
P 、Q 两点的“非常距离”．当平面上动点(),M x y 到定点(),A a b 的距离满足3MA =时，则()
,d M A 的取值范围是________________．
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A ．如果22
120z z +=，那么120z z ==
B ．如果12z z =，那么12z z =±
C ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤
D ．如果1z a =（a 为正实数），那么2
11z z a ⋅=
14．在ABC ∆中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D 正三角形
15．设A ，B 分别为x 轴，y 轴上的两点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 的面积的最小值为（ ）
A ．
34
π B ．
45
π C ．
54
π D ．(6π-
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:
1364x y C +=和22
2:19
y C x +=，P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，设ω为OP OQ ⋅的最大值，记集合{}
12(,),P Q P C Q C OP OQ ωΩ=⋅=在上在上,且，则Ω中元素的个数为（ ） A 无数个
B ．2个
C ．4个
D ．8个
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）
17．复数2
(1)32z i a a i =--++()a R ∈，
（1）若z z =，求z ：（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围． 18．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点C 为直线OP 上的一个动点． （1）当CA CB ⋅取最小值时，求OC 的坐标； （2）当点C 满足（1）时，求cos ACB ∠．
19．设1P 和2P 是双曲线22
221x y a b -=上的两点，线段12P P 的中点为M ，直线12P P 不经过坐标原点O ．
（1）若直线12P P 和直线OM 的斜率都存在且分别为1k 和2k ，求证：2
122
b k k a
=；
（2）若双曲线的焦点分别为1(F 、2F ，点1P 的坐标为()2,1，直线OM 的斜率为3
2
，求由四点1P 、1F 、2P 、2F 所围成四边形1122PF P F 的面积．
20．已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作直线PM 交x 轴于点M ，延长MP 至点N ，使
0PM PF ⋅=．||||PM PN =点N 的轨迹是曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若S ，T 是曲线C 上的两个动点，满足0OS OT ⋅=，证明：直线ST 过定点；
（3）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且4OA OB ⋅=-，46||430AB ≤≤，求直线l 的斜率k 的取值范围．
21．教材曾有介绍：圆222
x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为2
00x x y y r +=．我们将其结论推广：椭
圆22221x y a b +=(0)a b >>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y
a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=，与椭圆22
2:1x E y a
+=(1)a >有且只有一个公共点．
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ，
当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使
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CN MC ND MD =成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．。