七年级一元二次方程
初中数学七年级一元二次方程的四种解法
二元一次方程组知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”.2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。
2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。
4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。
5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。
6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。
7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。
8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。
9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。
10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --= ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是ac，易求出两根之和是2。
初一数学一元二次方程试题答案及解析
初一数学一元二次方程试题答案及解析1.解方程：x2﹣4x﹣2=0．【答案】x1=2+，x2=2﹣【解析】利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．试题解析：∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【考点】解一元二次方程-公式法2.（1）9x2–25=0（2）(x+5)3=–27（3）（4）【答案】（1）x1=，x2=–；（2）x =–8；（3）1；（4）原方程组的解为．【解析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可；（2）直接开方即可；（3）先去括号，绝对值符号，再按照实数的运算法则计算即可；（4）用加减消元法进行解题．试题解析：（1）9x2=25，x2=x 1=，x2=–；（2）x+5=–3，x =–8；（3）原式=；（4）②×4得：4x-4y=16③，①+③得：x=5，将x=5代入②得：5﹣y=4，解得：y=1．∴原方程组的解为．【考点】1.解一元二次方程2.实数的运算3.解二元一次方程组．3.据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？【答案】（1）20%；（2）8640万人次【解析】（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据“2010年旅游总人数约5000万人次，2012年旅游总人数约7200万人次”即可列方程求解；（2）根据（1）中求得的年平均增长率求解即可.（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，由题意得5000（1+x）2 ="7200"解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．本题涉及了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意解的取舍．4.下列算式能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】平方差公式为；选项A中，不满足平方差公式的结构特点，所以不能用平方差公式来计算；选项B中，其不符合平方差公式的特点，所以不能用平方差公式进行计算；选项C中，所以选C；选项D中，不符合平方差公式的结构特点，所以不能用其进行计算【考点】平方差公式点评：本题考查平方差公式，解答本题需要考生掌握平方差公式，熟悉平方差公式的结构，会灵活运用平方差公式5.若是一个完全平方式，那么的值是（）A．2B．±2C．4D．±4【答案】D【解析】若是一个完全平方式，因为，它要是完全平方式，那么，即，所以M=±4【考点】完全平方式点评：本题考查完全平方式，解答本题需要考生掌握完全平方式，及其完全平方式的结构。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程的特征
一元二次方程的特征嘿，咱来聊聊一元二次方程的特征，这就像认识一个特别的小怪兽，了解了它的特点，你就能打败它啦！我有次帮我表弟辅导数学作业，就碰到了一元二次方程这个家伙。
表弟愁眉苦脸的，就像看到了超级大难题。
一元二次方程啊，它首先有个最大的特点，就是只含有一个未知数，这个未知数呢，咱一般用x 来表示，就像这个方程世界里只有一个主角。
比如说x² + 3x - 4 = 0，这里面就只有x 在“表演”。
而且啊，它的未知数最高次数是2，这是它的标志性特征呢。
就像这个小怪兽有个独特的帽子，上面写着“2次”。
这个次数2 可重要啦，它决定了方程的很多性质。
因为是二次，所以它的图像一般是个抛物线哦。
我就拿纸笔画给表弟看，我说你看，这个抛物线就像一个弯弯的小拱桥，有时候开口向上，有时候开口向下，这得看方程里二次项系数的正负啦。
一元二次方程还有个特点，就是它是整式方程。
啥是整式呢？就像一群规规矩矩的小士兵，分母里没有未知数，只有整数、未知数和它们之间的乘法、加法这些运算。
这就保证了方程的纯洁性，哈哈。
在解一元二次方程的时候，有好多方法呢。
像因式分解法，就像拆拼图一样，把方程拆成几个小部分，然后找到使方程成立的x 值。
我给表弟举例子，就像x² - 4 = 0，这可以分解成(x + 2)(x - 2)=0，这样就能轻松算出x = 2 或者x = -2啦。
还有公式法，就像一个万能钥匙，只要把方程里的系数往公式里一套，就能求出答案。
从这次辅导表弟的经历，我就知道，一元二次方程虽然看起来有点复杂，但只要抓住它的这些特征，就像抓住了小怪兽的弱点，解决它就没那么难啦。
以后再遇到一元二次方程，就可以轻松应对，不会被它吓倒啦！这一元二次方程的特征，可是数学世界里的重要宝藏呢。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
初中数学-一元二次方程及其解法
考察一元二次方程的概 念 例1：关于x的方程：
k 3k 1x2 k 1x50， 1k为何值时，方程是一元二次方程？ 2k为何值时，方程是一元一次方程？
解 ： 1 当 k 3 k 1 0 时 ， 即 k 3 且 k 1 时 ，
原 方 程 是 一 元 二 次 方 程 .
2当kk31k100时，即k3时，
初中数学
一元二次方程 及其解法
预备知 1 、 平 识方 根 的 意 义 ： 如 果 x 2 a ， 那 么 x a .
例 如 x25 ， 则 x5.
2 、 完 全 平 方 式 ： 式 子 a 2 2 a b b 2 叫 做 完 全 平 方 式 ，
并 且 a 2 2 a b b 2 a b 2.
原方程是一元一次方程.
例2：若关于x的一元二次方程：
m22x1mx22 x22 0
的常数项为零，求m的值.
分析：先化成一般式，确定常数项.
解 ： 去 括 号 ， 得 2 m 2 x m 2 m x 2 2 x 2 4 0 ，
整 理 ， 得 m 2 x 2 2 m 2 x m 2 4 0 ，
根 据 题 意 ， 得 m m22400， . 解 之 ， 得m 2.
一元二次方程的解 法
首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义.
如 果 x2a ， 那 么 x叫 做 a 的 平 方 根 ， 记 作 xa.当 然 ， 这 里 的 a要 满 足 a0.
所 以 ， 当 我 们 把 x 2 a 看 作 是 一 个 最 基 本 的 一 元 二 次 方 程 时 ， 则 方 程 的 解 为 ： x a ， 这 里 必 须 满 足 a 0 .
x22x20
x22x2
x22x 12 1
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二元一次方程
二元一次方程：每个方程都含有两个未知数（x 和y ）， 并且含有未知数的项的次数都是1，这
样的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：是二元一次方程两边的值相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程 的解。
二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方
程和在一起，就组成了一个二元一次 方程组。
二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共
解，叫做二元一次方程组的解。
代入消元法：例1 二元一次方程组的解法
加减消元法： 巩固提升：
用代入消元法解下列方程组
（1）⎩⎨⎧=+=53x y x （2）⎩⎨⎧==+y x y x 3232 （3）⎩
⎨⎧+-=+8257
3y x y x
练习：
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
Ａ、⎩⎨⎧=+=321y x Ｂ、⎩⎨⎧=-=+01y x y x Ｃ、⎩⎨⎧==+01xy y x Ｄ、⎩⎨⎧=-=1
2y x x
y
2、已知x ，y 的值：①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==23y x ③⎩⎨⎧-=-=23y x ④⎩
⎨⎧==66
y x 其中，是二元一次方程42=-y x 的解的
是（ ）
Ａ、①
Ｂ、②
Ｃ、③
Ｄ、④
3、若方程826=-y kx 有一解⎩⎨
⎧=-=2
3
y x 则k 的值等于（ ）
Ａ、61
- Ｂ、61 C 、32 Ｄ、3
2-
4、已知一个二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=2
1
y x 则这个方程组是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 ⎩⎨⎧=-=+23xy y x ⎩⎨⎧=--=+123y x y x ⎩⎨⎧-=-=32x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-4
21
6
532y x y x
填空题
1、买12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支X 元，练习本每本Y 元，共需用4.9元。
①列出关于X ，Y 的二\元一次方程为____ _；②若再买同样的铅笔6支和同样的练习本2本，价钱是2.2元，列出关于X ，Y 的二元一次方程为_ ____；③若铅笔每支0.2元，则练习本每本__ ___元。
2、在二元一次方程432=-y x 中，当5=x 时，=y 。
3、已知⎩
⎨
⎧=-=52y x 是二元一次方程10740
62=-+b y x 的一个解，则=b _____． 4、当=k ______时，方程组()⎩⎨⎧=-+=+3
11
34y k kx y x 的解中X 与Y 的值相等。
5、已知二元一次方程643=+y x ，当y x 、互为相反数时，=x _____，=y ______；当y x 、相等时，=x ______，
=y _______ 。
耐心做一做：
1、已知二元一次方程1532-=-y x 。
⑴用含y 的式子表示x ⑵用含x 的式子表示y 2、已知()031342
=-+-+y y x ，求y x +的值。
3、二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223
23m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。
4、某工厂第一车间比第二车间人数的5
4
少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的
4
3
，问这两车间原有多少人？
5、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨， 求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
二元一次不等式组
1、解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到 不等式组的解集。
2
3下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），
设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）； （2）解不等式组；
（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．
练习：
1、已知a b <<0，那么下列不等式组中无解的是（ ） A 、⎩⎨
⎧<>b a a x B 、⎩⎨⎧-<->b a a x C 、⎩⎨⎧-<>b a a x D 、⎩
⎨⎧<->b a a
x
2、不等式组312,840
x x ->⎧⎨
-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ）
A B C D 3、已知⎩⎨
⎧+=+=+1
2242k y x k
y x ，且01<-<-y x ，则k 的取值范围是（ ）
A 、211-<<-k
B 、210<<k
C 、10<<k
D 、121
<<k
4、如果不等式组⎩⎨⎧≥≥-m x x 0
23有解，则m 的取值范围是（ ）
A 、23<m
B 、23≤m
C 、23>m
D 、2
3
≥m
5、如果2<a ，那么不等式组⎩⎨⎧>>2x a x 的解集为________；当______时，不等式组⎩
⎨⎧><2x a
x 的解集是空集。
6、若不等式组⎩⎨⎧>->-0
22
x b a x 的解集是11<<-x ，则()=+b a ______。
7、已知关于x 的不等式组⎩
⎨⎧->->-1230
x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是______。
8、不等式组()
⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-->x x x 32
3
1125的整数解的和是______。
9、不等式5731<-≤x 的整数解是______。
10、（1）解不等式组()⎪⎩
⎪
⎨⎧+<+≤+4133322x x x x ，并写出不等式组的整数解。
（2）解不等式组()()⎩⎨⎧>+-≥+x
x x x 4121213，并把它的解集在数轴上表示出来。
11、七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A 型和B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg ，乙种制作材料29kg ，制作A ，B 两种型号的陶艺品用料情况如下表：
（1）设制作B 型陶艺品x 件，求x 的取值范围；
（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数。