第5章-角动量角动量守恒定律
5.3质点系对质心的角动量定理和守恒定理
返回
结束
第五章 角动量 关于对称性
§5.3质点系对质心的 角动量定理和守恒定律
§5.3 1 质心系中的角动量定理
角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立. 以质心C为参考点，建质心坐标系，各坐标 轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度，所以 要计入相应的惯性力力矩.
M外 M惯 d L' dt
r 2 rc r2
m1 m2
m1 m2 m 1 r12 m1 m2
m 2 r12
m1 r1
O
r1 rc r2 rc rc m2 r2
上页
下页
返回
结束
第五章 角动量 关于对称性 故两质点相对于它们质心的角动量为
dL M外 dt
——质点系对质心的角动量定理.
上页
下页
返回
结束
第五章 角动量 关于对称性
质点系对质心的角动量的时间变化率等于外力
相对质心的力矩的矢量和.
在质心系中角动量定理同样适用.
§5.3 2 质点系对质心的角动量守恒定律
当
M 外 0时， L ' 恒矢量
v1 m2 m1 m2 u
v2
m1 m1 m2
u
v1 v 2 v1 v 2 其中 u v 12
p '1 m 1 v '1
m 1m 2 m1 m2
u u
p m 2v 2 2
如跳水运动员等在空中翻筋斗.
同样
M i 外 z 0， L z 常量
第五章 角动量 角动量守恒定律自测题答案
第5章 角动量 角动量守恒定律自测题答案一、选择题1、（D ）2、（D ）3、（D ）4、（C ）5、（B ）6、（C ）7、（D ）8、（D ）9、（A ）10、（B ） 11、（B ） 12、(C) 13、(D) 14、（A ） 15、（C ） 16．（C ） 17、（A ） 18、（B ） 19、（B ） 20、（C ） 二、填空题1、ML 2T -1 ；2、s m kg /2⋅ ；3、不一定；4、不一定；5、动量；6、角动量；7、恒定；8、为零；9、mrv ； 10、角动量； 11、2； 12、m v d ； 13、不为零； 14、10； 15、6 。
三、计算题1.有一质量为0.5g 的质点位于平面上P(3，4)点处，其速度为j i v ϖϖϖ43+=，并受到了一力j F ϖϖ5.1=的作用。
求其对坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解：质点对坐标原点的位矢为 j i r ϖϖϖ43+= （2分）则其对坐标原点的角动量为)43()43(105.03j i j i v m r L ϖϖϖϖϖϖϖ+⨯+⨯⨯=⨯=- （4分） 0= （1分） 作用在该质点上的力矩为j j i F r M ϖϖϖϖϖϖ5.1)43(⨯+=⨯= （4分）k ϖ5.4= （1分）2.一质量为1.0kg 的质点，受到一力j t i t F ϖϖϖ)43()12(-+-=的作用，其中t 以s 为单位，F ϖ以N 为单位。
开始时质点静止于坐标原点，求t =2s 时质点对原点的角动量。
解：质点的加速度为 j t i t a ϖϖϖ)43()12(-+-= （1分）由dtvd a ϖϖ=，得 （2分）jt t i t t dt j t i t dta v t ϖϖϖϖϖϖ)423()(])43()12[(220-+-=-+-==⎰⎰（2分）由dtrd v ϖϖ=，得 （2分）j t t i t t dt j t t i t tdtv r tϖϖϖϖϖϖ)221()2131(])423()[(2323022-+-=-+-==⎰⎰ （2分） 当t =2s 时， j i r ϖϖϖ432-=，j i v ϖϖϖ22-= j i F ϖϖϖ23+= （2分） 此时质点对原点的角动量为k j i j i v m r L ϖϖϖϖϖϖϖϖ326)22()432(=-⨯-=⨯= （1分）3.一质量为1.0kg 的质点，沿k j t i t r ϖϖϖϖ3)1()12(32+++-=曲线运动，其中t 的单位为s ，r ϖ的单位为m ，求在t =时质点对原点的角动量和作用在其上的力矩。
质点系角动量守恒定律
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
第五章 角动量
第五章角动量.关于对称性习题解答5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫星的角动量守恒。
近地点、远地点的速度与矢径垂直。
设近地点的速度为v1，矢径为r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动，其中a、b及皆为常数。
求此质点所受的对原点的力矩。
解：已知所以根据牛顿第二定律，有心力对原点的力矩：5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时间。
设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。
求t=2时该质点所受的对原点的力矩。
所受的对原点的力矩。
解：因单位质量m=1 且又t=0时当t=2s时对原点的力矩5.1.4地球质量为6.01024kg，地球与太阳相距km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。
求地球对于圆轨道中心的角动量。
解：地球绕太阳的速率角动量=2.65kg.m2/s5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。
解：由得对原点的角动量5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。
解：由m=1积分：t=2s 时5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。
如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。
所以小球的角动量守恒。
根据牛顿第二定律由动量定理拉力作的功5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为,其中a、b和是正常数。
试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
角动量变化定理
理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒§5-1. 角动量与力矩§5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒§5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒§5-4.有心运动12理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒一.质点的角动量(动量矩)v m r p r L r r r r r ×≡×≡又称动量矩Oαdpr L1.定义：在惯性参考系中选一固定的参考点O ，运动质点对O 点的位矢r ,动量为p ,则质点对O 点的角动量为:mvdsin rmv sin rp L ===ααα为r 和p 两矢量间的夹角角动量L 的大小：§5-1. 角动量与力矩垂直于矢径r 和动量p 所组成的平面，角动量L 的方向：指向由右手螺旋法则确定.3理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒mαO L = rmvL r v例：•角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动也依赖于所选定的参考点，参考点不同，质点的动量矩不同。
注意:•角动量的单位千克·米2/秒（kg ·m 2/s)水平面上质点做匀速圆周运动4理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒例如：vr r r m r L om O ×=vlm L O =方向变化v r r r m r L m o O ×=′′αsin v lm L O =′方向竖直向上不变O l αv r O ′锥摆m5理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒2.角动量的分量表示v m r p r L rr r r r ×≡×≡在直角坐标系中：yz y z x m z ym zp yp L v v −=−=zx x y m zm zp L v v x xp z −=−=xy x y z m y xm yp xp L v v −=−=()z y x z y x p p p zy x k j i L ,L ,L r rr =kL j L i L L z y x rrrr ++==L r6理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒二.力矩即F r M r r r ×=力矩的大小：Fr sin rF M 0==ααsin r r 0=——称力臂。
角动量角动量守恒定律
dr r
l
I r dm
2 m
R2
R1
2 l r dr
3
l
2
4 ( R2 R14 )
m 圆筒的体密度 2 , R2 R, I m R2 2 若R1 R2 R, I m R2
1 2 I m( R2 R12 ) 2
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。 b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。 强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
I ( Δmiri2 )
I是描述刚体转动惯性大小的物理量。
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。 在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
9
2 .转动惯量的计算
Δmiri2 ) Ii 分立质点系 I (
质量连续分布的刚体
10
例2：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求转动惯量I。 解：分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，
M
I
0
R dm R
2
2 M 0
2 dm MR M
绕圆环质心轴的转动惯量为
o
R
dm
I MR
2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。 解：由转动惯量的定义
§5.2 角动量定理及其守恒律
f2
r2
内容
⒈质点系对点的角动量定理:
M外 dL dt
质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒
o
⊙ 正方向
胶泥碰前速度
v0 2gh
h
m'
v m vo
m v
据角动量守恒
m' 2ghR (m'm)vR mvR
v
m' 2 gh m ' 2m
例1：人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的( (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒． (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． )
⒋质点对轴的角动量守恒定律：
若M z 0，则Lz = C
说 明
在应用角动量定理或角动 量守恒定律时，力矩和角动 量必须选取惯性系中的同一 参考点或同一参考轴.
o'
α L
T
o
F
mg
角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。
M o
Fl cos
L o'
mvl ,
例1
解得：v1 5.91104 m / s; v2 3.88 104 m / s
二、质点系的角动量
第i个质点对o点的角动量
Li ri P i
P2
r2
P 1
质点系对o点的角动量
dLi ri Fi ri f i 对 mi 使用角动量定理： dt
第5章 角动量
问题2：将一绕通过质心的固定 轴转动的圆盘视为一个质点系， 系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总 动量为零，系统有机械运动，总动量却为 零？说明不宜使用动量来量度转动物体的 机械运动量。 *引入与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
15
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
d (mv ) F dt
d ( mv ) r F r dt d mv dr d r mv r mv dt dt dt dr v, v v 0 dt d (mv ) d (r mv ) r dt dt
a a a2 aa 0
17
d r F rP dt
Mdt dL
t2 t1
dL M dt
Mdt L2 L1
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对该点的力矩---质点的角动量定理
或
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt L mr v m(a costi b sintj )
M
(a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) mabk (恒矢量) dL 0!
5
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
F
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2
d12
d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；
M
A
mgd 1
g
A,
A
B,
C的角动量。
d1 m
v
d2
d3
MB MA
(2) 角动量
MC 0
L r mv
d
m
A
vA
例6 质量同为m 的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在
光滑水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为 a ，其
劲度系数为 k，今使两球同时受水平冲量作用，各获得
与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运
动过程中弹簧可达的最大长度 b 2a ，试求两球初速度
大小v0 。
解 两球和弹簧视为系统。
[C]
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过 某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。 我们称这样的力为有心力，相应的固定点称为力心。例如， 万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
方向：用右手螺旋法则确定，
z
方向垂直于r和p组成的平面。
L
单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。 o
y v
p
rm x
下面我们研究两个有代表性的例子：
（1） 质点作直线运动
在这种情况下，质点相对于O点的角动量只有量值的改变，
而方向不变。
大小：L mvrsin ，
方向：始终垂直纸面向外。
（2）质点作圆周运动 质点相对于圆心O的角动量
dt
对于质点系，因 M内
i
M
对应平动公式
i内 0 ，所以
M
F 外
d p d t
dL。 dt
3. 角动量守恒定律
对某一固定点o，若质点所受的合力矩为零，
则质即点M对 该 固0, 定点则的角M动 量d守L恒。0
L
常矢量
dt
对于质点系，若系统所受的合外力矩为零，
系统角动量守恒。有
m1v1R m2v2 R
∴ v1 v2
而 v绳地 v物地 v2 ,
则 v1 v v2
故
v2
v 2
R
T1
T2
m2 g m1 g
第五章 角动量、角动量守恒定律
---1957年10月4日，前苏联在哈萨克斯坦共和国中部的拜科努尔航天 中心成功地发射了世界上第一颗人造地球卫星---“人造卫星1号”。
B
C
{ L
A
0
方向：垂直图平面向里，
LB 大小；LB mvd 3
LC LB
例3、质量 m0 的质点固定不动，在它的万有引力的作用
下，质量 m 的质点作半径为 R的圆轨道运动。取圆周上 P
点受为的参力考矩点M，1 和如质图点所的示角，动试量求L：1 ；①②质质点点mm在在图图中中点点1处2处所
宏观: 行星绕太阳运动
微观: 电子绕原子核运动
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
11）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
5-1 角动量
定义： 质点m相对o点的位矢r，动量为p=mv，则质
点相对固定点O的角动量L为
L
r
p
r
mv
大小：L=rpsin = mrvsin
∴
v2
v 2
机械能不守恒
猴加速上爬过程中，绳对猴的拉力 T1 大于猴的重力 m1 g，由于轻绳各处张力相 等，所以在另一端绳对重物的拉力T2和 T1 相等，又因为猴和物相同质量，m1 m2 ,
所以绳子拉力 T1 T2 , ，又有T2＞ m2 g,
因而重物也将加速上升。对于猴、重物、
地球组成的系统，外力 T1、T2 二者做功之
运动速率v1 2.93 10 4 m s，当地球在近日点时，它离太阳的
距离r2 1.47 1011 m，则运动速率v为多少？ (练习三、 11)
解
地球在引力(有心力)作用下绕太阳运动，
对力心O 的力矩为零，因此角动量守恒。
即， mr v mr v
11
22
∴
v
rv 11
3.03104 m
O
x
力矩为一常量；方向，垂直
于屏幕向内。
(2) 角动量
L
r
P
m
y
∴ L b mv b mgt mgbt
方向：垂直于屏幕向内。
例2、如图所示，质量 m 的小球某时刻具有水平朝右的速
度 v ，小球相对图示长方形中 A, B, C 三个顶点的距离分
别是
d1
,
d
2
,
d
3
人类历史上第一颗人造卫星
这颗卫星虽然很小，直径只 有 58 厘米，仅中 83.6 千克，内 部结构也很简单，只装有一台双 频小型发报机、温度计以及电池 等，但它却具有重要的历史意义， 宣告了人类航天时代的到来。
第五章 角动量、角动量守恒定律
--- 1958年1月31日，美国也把它的第一颗人造卫星---“探险者1号”送 入轨道。它首先发现了地球周围存在着大量被地磁场俘获的带电粒子 区域---地球辐射带。 --- 1970年4月24日，我国也成功地发射了第一颗人造卫星---“东方红1 号” ，成为继前苏联、美、法、日之后第五个能够发射卫星的国家， 也标志着我国开始跻身于世界航空科技的大国之列。此后，我国又掌 握了一箭多星技术，于1981年首次用一枚运载火箭把三颗卫星送入各 自轨道。
则系统角动量的矢量和守恒。
即
M外 0,
则
M外
dL dt
0
L Li 常矢量
i
例 质点系的内力可以改变
（A）系统的总质量。 （B）系统的总动量。 （C）系统的总动能。 （D）系统的总角动量。
[ C]
例 一质点作匀速率圆周运动时,
（A）它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
v0
a
因对称，弹簧中点 O 相对于 桌面不动。系统所受外力冲量
m
k
m
v0
矩为零，系统对 O点角动量守恒；外力做功为零，
系统机械能守恒。
由角动量守恒：
2mv0
a 2
2mv
b 2
式中，v为弹簧最大长度 b时的速度.
v0
a
m
由系统机械能守恒：
m
k
v0
2
1 2mv21 2k (b
a)2
2
l
l
m
o
第五章 角动量、角动量守恒定律
角动量的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动 量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状 态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定 律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念 和数学表达要比动量、能量复杂一些。
〔例〕质点绕某一中心转动
M Mi外 M外
i
2. 角动量定理
将质点的角动量对时间求导
dL
d
(r
p) d r
p r d p
dt dt
dt
dt
第一项
d r p v (mv) 0
第二项
dt r
d
p
r
F
M
角动量定律
M
d
dt L
L
rsin
or v
m
L
p mv