勾股定理的逆定理及应用
勾股定理及逆定理的应用
勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
勾股定理及其逆定理的内容
勾股定理及其逆定理的内容勾股定理和逆定理都是数学中非常经典的内容，不过听起来可能会有点儿陌生。
其实，它们非常实用，而且还很有趣。
让我们一起来聊聊吧。
1. 勾股定理的基本概念1.1 什么是勾股定理首先，咱们得知道勾股定理到底是什么。
它是关于直角三角形的一个定理。
简单来说，直角三角形的两条直角边（我们叫它们“勾”和“股”）的平方和等于斜边（我们叫它“弦”）的平方。
这就是勾股定理的核心内容。
听起来有点复杂，但举个例子就明白了。
假设你有一个直角三角形，直角边长分别是3和4，那么这两个边的平方和就是3²+4²=9+16=25。
斜边的平方也得等于25，所以斜边的长度就是5。
1.2 生活中的应用这个定理在我们的生活中非常有用。
比如说，如果你要测量房间的对角线长，只需要知道长和宽就能算出来。
又或者你在设计一些东西时，勾股定理能帮你确保每个角都是直角。
它就像是生活中的一个小工具，随时随地帮你解决问题。
2. 勾股定理的证明2.1 几何证明说到证明，勾股定理有几种不同的方法，其中几何证明是最直观的。
简单来说，就是我们可以用几何图形来证明这个定理。
想象一下，你在一个直角三角形的每一边上画出一个正方形，这些正方形的面积就像是拼图一样，可以用来证明勾股定理。
看起来可能会有点复杂，但其实就是一种图形化的方法，让定理更容易理解。
2.2 代数证明除了几何证明，还有一种代数证明的方法。
我们可以用代数公式来证明勾股定理的正确性。
这种方法比较适合那些喜欢公式和计算的人。
它用的是代数的语言，通过一些方程式来展示定理的正确性。
3. 勾股定理的逆定理3.1 什么是逆定理勾股定理的逆定理其实也很有趣。
它告诉我们，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
也就是说，如果你知道一个三角形的三条边分别是a、b和c，并且它们满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形肯定是直角三角形。
勾股定理的应用
勾股定理的应用1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.知识点一：立体图形的展开图1：正方体（原图）（展开图）2：长方体（原图）（展开图）3：圆柱体（原图）（展开图）4：圆锥（原图）（展开图）知识点二：蚂蚁爬行问题例1．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：经过的最短路程；例2.如图，ABCD-A′B′C′D′是棱长为10cm的正方体，一只沿表面．问从点A 爬至D′至少要多远？例3.底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小要从A点爬到B点，则的最短距离是？那么A到C点最短距离呢（C为中点）例4.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只，想到B点去吃可口的食物，则沿台阶面到B点最短路程是多少米？总结：蚂蚁爬行问题解题的关键在于，1：发挥想象空间把立体图形展开成平面图形。
2：立体图形中两点之间的距离就可以看作平面图形上的两点之间的距离。
3：运用勾股定理算出距离。
知识点三：两点之间线段最短例一．如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有几米？例二．如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm和cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm 。
例三：如图，将一根长24cm 的筷子，底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的最小值是 cm 。
总结：1：找出所求的的线段；2：构造一个包含所求线段的直角三角形；3：运用勾股定理算出所求的距离。
勾股定理及其逆定理应用
勾股定理及其逆定理应用1. 简介勾股定理是数学中的基本定理之一，描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具。
除了勾股定理本身，其逆定理也有着广泛的应用价值。
本文将介绍勾股定理及其逆定理的基本原理和应用。
2. 勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
数学表达式为：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边长度。
该定理可以用来计算不知道的边长，或者验证一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的一个重要应用是解决实际问题中的测量和计算。
例如，在建筑工程中，可以利用勾股定理计算墙面的对角线长度，或者确定直角拐角的位置。
在导航系统中，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
此外，勾股定理还可以用于解决三角函数的关系，例如求解正弦、余弦和正切等。
3. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理由三个整数构成，称为勾股数。
逆定理可以表示为：给定三个正整数a、b和c，若满足以下条件，则它们是勾股数：1.a、b和c两两互质；2.a、b和c中至少有一个为偶数。
勾股数具有很多有趣的性质和应用。
例如，利用勾股数可以构造出无穷多个满足勾股定理的直角三角形。
此外，逆定理还与数论中的素数有着密切的关系。
例如，勾股数中的c值是素数的情况下，其它两个整数a和b可以构成一个素勾股数。
4. 勾股定理的应用勾股定理被广泛应用于几何学和三角学中。
在几何学中，可以利用勾股定理求解三角形边长、角度和面积等问题。
在三角学中，勾股定理的衍生形式被用于计算三角函数的值。
在物理学中，勾股定理用于计算物体的速度、加速度和力的分解。
在工程学中，勾股定理被应用于设计和计算建筑物、桥梁和机械等。
例如，计算机图形学中的三维模型投影和旋转操作都离不开勾股定理。
此外，勾股定理还在实际生活中的测量和定位中发挥着重要作用。
例如，在测量地理位置时，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
17.1勾股定理的逆定理及其应用(教案)
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第十七章第一节《勾股定理的逆定理及其应用》。教学内容主要包括以下两部分：
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理逆定理的应用：通过勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并解决实际问题。
五、教学反思
在本次教学过程中，我深刻地感受到了勾股定理逆定理这一章节的教学效果和学生的接受程度。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思和总结：
1.学生对勾股定理逆定理的理解程度：在授课过程中，我发现部分学生对逆定理的概念理解不够深入，需要我在讲解时更加注重逻辑推理和实际例子的运用。今后，我将在教学中增加对逆定理推导过程的演示，让学生更好地理解其内涵。
举例：重点讲解逆定理的发现过程，如通过构建具体的直角三角形模型，让学生观察并总结出两边平方和等于第三边平方的特征。
2.教学难点
-理解逆定理的逻辑推理过程：学生需要理解并掌握从勾股定理到逆定理的逻辑推理过程，这对于他们的逻辑思维能力是一个挑战。
-在复杂问题中运用逆定理：在实际问题中，学生可能难以识别出可以使用逆定理的情况，或者在应用时遇到计算上的困难。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理逆定理的基本概念。勾股定理逆定理是指如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际问题的解决过程，展示如何利用勾股定理逆定理来判断直角三角形。
2.教学方法的选择：为了激发学生的学习兴趣，我采用了小组讨论、实验操作等形式多样的教学方法。实践证明，这些方法能够有效提高学生的参与度和积极性。但在小组讨论环节，我也注意到部分学生存在依赖思想，未能充分发挥自身的主观能动性。因此，在今后的教学中，我将加强对学生的引导，提高他们的独立思考能力。
勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理的应用一、判断三角形是否是直角三角形例1：在△ABC 中，a=22n m -，b=2mn ，c=22n m +，其中m ，n 是正整数，且m ＞n ，试判断△ABC 是否是直角三角形．分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边．解：∵m,n 是正整数，且m ＞n ， ∴c ＞b,c ＞a ．∴22422422222242)2()(n m n n m m mn n m b a ++-=+-=+ =42242n n m m ++．又∵=+=2222)(n m c 42242n n m m ++, ∴222c b a =+．∴△ABC 是直角三角形．说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：⑴确定最大边（不妨设为c ）；⑵计算2c 与22b a +的值；⑶比较2c 与22b a +是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形．二、根据等式变形，确定三角形三边之间的关系，从而判断三角形的形状．例2：若△ABC 的三边长a,b,c 满足条件,201612200222c b a c b a ++=+++试判断的△ABC 形状．分析：由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a,b,c 的关系，从而判断三角形的形状．解：由已知得,0200201612222=+---++c b a c b a ∴,0)10020()6416()3612(222=+-++-++-c c b b a a ∴()()()01086222=-+-+-c b a ．∵()()()010,08,06222≥-≥-≥-c b a∴a-6=0,b-8=0,c-10=0．∴a=6,b=8,c=10．∴22222210100643686c b a ===+=+=+． ∴△ABC 是直角三角形．说明：在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，解这类题时，要善于把已知的条件等式变形（配方或因式分解等）．三、与勾股定理的综合应用例3：如图1，已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 在AB 上,且BF=41AB ． ⑴请你判断EF 与DE 的位置关系，与同学交流，并说明理由； ⑵若此正方形的面积为16，求DF 的长．分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过E 点，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF 与DE 是垂直的，故连接DF ，设正方形边长为a ，利用勾股定理，用2a 分别表示222,,DF EF DE ,再利用逆定理判断△DFE 为直角三角形，由此得到EF ⊥DE ．解：(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE ． 设正方形边长为a ，则AD=DC=a,AF=43a,BE=EC=21a ． 在Rt △DAF 中,22222222162516943a a a a a AF AD DF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △CDE 中,22222222454121a a a a a CE CD DE =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △EFB 中, 22222222165411612141a a a a a BE FB EF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=．∵,162516545222222DF a a a EF DE ==+=+ ∴△DFE 为直角三角形， ∴EF ⊥DE ．(2)∵正方形的面积为16，∴2a =16． ∵,25161625162522=⨯==a DF ∴DF=5．说明：此题是勾股定理与逆定理的综合运用，解此题关键是：连接DF构造了一个三角图1形，因此解题时应灵活运用所学知识．例4:在四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=090,求四边形ABCD 的面积． 分析:由AB=3,BC=4, ∠B=090,想到连接AC,则Rt △ABC 的面积可求,且可求出AC 的长,因此在△ACD 中，三边长已知,欲求面积,想到它是不是直角三角形,因此用勾股定理的逆定理进行判断．解:连接AC, ∵AB=3,BC=4,∠B=090, ∴,25222=+=BC AB AC ∴AC=5． 在△ACD中,由勾股定理得169144251252222=+=+=+CD AC ．而,1691322==AD ∴=+22CD AC 2AD ．∴∠ACD=090,∴△ACD 是直角三角形． ∴.3012521,64321=⨯⨯==⨯⨯=∆∆ACD ABC S S ∴四边形ABCD 的面积为.36=+∆∆ACD ABC S S说明:本题综合运用了勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意到:如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．图2勾股定理的实际应用举例许多生活中的实际问题都可以转化为一个直角三角形问题，因此，勾股定理不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．下面我们举几例，供同学们复习时参考．例1 一艘轮船以每小时16海里的速度离开港口向南偏东450方向航行，另一艘轮船在同时以每小时12海里的速度向南偏西450方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？分析：依据题意可画出如图1所示的示意图，可知∠AOB=900． 解：在Rt △AOB 中，因为OA=16×1.5=24，OB=12×1.5=18． 所以AB 2=OA 2+OB 2=242+182=900．所以AB=30．30海里．例2 如图2，美伊战争期间，美军运输车队计划沿由东向西延伸的公路L 向巴格达前线供应军用物资，一支先头小分队奉总部之命沿公路侦查敌情．当行至A 地时，测得一伊军炮兵阵地P 的方位是北偏西300，行至B 地时，测得P 地方位是北偏东300，继续前进到C 地，测得P 地方位是北偏东600，在C 地俘虏一名伊军士兵，得知C 、B 两地之间的距离不会超过10千米，并获得可靠情报：P 地伊方炮火的射程半径是9千米．根据以上数据，请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性．分析：美军运输队沿公路行进的安全性决定于L 公路是否在P 地伊军炮火射程之内，即取决于P 地到L 公路的距离是多少，可以过P 作PD ⊥L ，垂足为D ，再将PD 放在直角三角形中球队，然后比较其与9千米的大小．解：（一）先按BC=10千米计算：连结PA 、PB 、PC ，作PD ⊥L ，垂足为D ，如图37，根据三次测得的方位角可知∠PAB=∠PBA=600，图1东北西南APB C60300 300图2L所以△PBA为等边三角形，∠PCB=300，所以△PBC为等腰三角形，从而AB=PB=BC=10（千米），进一步可得BD=210=5（千米）．在Rt△PBD中，PD2=PB2-BD2=100-25=75，因为75＜92=81，所以公路上点D在伊军炮火射程之内．（二）若BC＜10（千米），则Rt△PBD中PB就小于10千米，BD就小于5千米，因而PD也相应缩小，致使D点更靠近伊军阵地．总之，美军运输车队沿L公路通行缺乏安全性．勾股定理与最短距离勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．下面举例说明勾股定理在解决这类问题时的应用．例1如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，22215AB=+=cm）．故“顽皮虫”5．例2如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的下底面A图3ABCP600600300D点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B 点（距D 点14圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表面上从A 点爬到B 点所经过的最短路程是图4中线段AB 的长．由条件知，底面圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm ），所以13694BD =⨯=（cm ）．由勾股定理知，2212915AB =+=（cm ）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm ．例3 如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M 点，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30，MC ＝SB ＝DF ＝1cm ，所以MF ＝18－1－1＝16cm ，在 Rt △MFS 中，由勾股定理得22163034SF =+=（cm ）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm ．评注：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，然后再利用勾股定理求出最短距离．。
勾股定理逆定理及其应用
一、教材分析：（一）本节课在教材中的地位作用“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。
课标要求学生必须掌握。
（二）学情分析：尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键以及教法等。
（三）教学目标：根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。
教学目标知识技能1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。
数学思考1、通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；2、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。
解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。
情感态度1、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辨证关系；2、在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。
重点勾股定理的逆定理及其应用。
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勾股定理的逆定理及应用
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足a2+b2=c2吗
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗
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入门测试
1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB ＝120 m，则AB为( )
A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m
2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )
A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km
4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高m，宽m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长．
5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
6.直角三角形的性质：①有一个内角为（）；②两个锐角（）；
③两条直角边的（）等于斜边的（）.
1.熟练掌握勾股定理的逆定理，
2.应用三角形相关知识的解决直角三角形中的计算及证明问题。
一个三角形，满足什么条件一定就是直角三角形呢
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数：
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a²+b²=c²
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第（）个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，直角就在第4个结处。
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
基础演练
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是( )
A 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是( )
A.是直角三角形;
B.可能是锐角三角形;
C. 可能是钝角三角形;
D.不能确定.
一组勾股数的倍数一定是勾股数吗（）为什么
3.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是（）．
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，
计算两圆孔中心A和B的距离为（）mm.
巩固提升
一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗
1．)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )
A．3，5，3 B．4，6，8
C．7，24，25 D．6，12，13
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( ) A．∠C是直角B．∠B是直角
C．∠A是直角D．∠A是锐角
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为
( )A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则这个桌面（）(填“合格”或“不合格”)．
5．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则S△ABC＝（）
6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( ) A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)2
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
8、已知三角形的三边分别为5，12，13，则这个三角形是（）
9、三条线段m,n,p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为（）10．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝
12.求：(1)AC的长度；
(2)△ABC的面积．
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
1、由于，，不是勾股数，所以，，为边长的三角形不是直角三角形（）
2、由于，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数（）
3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( )
（1）9，12，15; （2）15，36，39;
（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.
4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 .
(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）.
(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形
6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为m的木梯，准备把梯子架到m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．m B．m C．m D．m
8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（）海里．
9. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c＋a＝2b，c－a＝1
2b，则△ABC
是什么特殊三角形
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