17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
《17.2勾股定理的逆定理》教学设计(第2课时)

《17.2勾股定理的逆定理》教学设计(第2课时)一、内容和内容解析1.内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题.2.内容解析运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状,它是用代数方法来研究几何图形,也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题.基于以上分析,可以确定本课的教学重点是灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.二、目标和目标解析1.目标(1)灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.(2)进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.2.目标解析达成目标(1)的标志是学生通过合作、讨论、动手实践等方式,在应用题中建立数学模型,准确画出几何图形,再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形状及求边长、面积、角度等;目标(2)能先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形,再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明.三、教学问题诊断分析对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用,有一定的困难,所以在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发,鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型,利用数学模型去解决实际问题.本课的教学难点是灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.四、教学过程设计1.复习反思,引出课题问题1 通过前面的学习,我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解,请说出勾股定理及其逆定理的内容.师生活动:学生回答勾股定理的内容“如果直角三角形的两条直角边长分别为,斜边长为,那么;勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形.追问:你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题?师生活动:学生通过思考举手回答,教师板书课题.【设计意图】通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题.2. 点击范例,以练促思问题2 某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?师生活动:学生读题,理解题意,弄清楚已知条件和需解决的问题,教师通过梯次性问题的展示,适时点拨,学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答.追问1:请同学们认真审题,弄清已知是什么?解决的问题是什么?师生活动:学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出:已知两种船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.追问2:你能根据题意画出图形吗?师生活动:学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.追问3:在所画的图中哪个角可以表示“海天”号的航向?图中知道哪个角的度数?师生活动:学生小组讨论交流回答问题“海天”号的航向只要能确定∠QPR的大小即可.组内讨论解答,小组代表展示解答过程,教师适时点评,多媒体展示规范解答过程.解:根据题意,因为,即,所以由“远航”号沿东北方向航行可知.因此,即“海天”号沿西北方向航行.课堂练习1. 课本33页练习第3题.课堂练习2. 在港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进,乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进,1小时后甲船到达岛,乙船到达岛,且岛与岛相距17海里,你能知道乙船沿哪个方向航行吗?【设计意图】学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.3. 补充训练,巩固新知问题3 实验中学有一块四边形的空地,如图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量,,,,,若每平方米草皮需要200元,问学校需要投入多少资金购买草皮?师生活动:先由学生独立思考.若学生有想法,则由学生先说思路,然后教师追问:你是怎么想到的?对学生思路中的合理成分进行总结;若学生没有思路,教师可引导学生分析:从所要求的结果出发是要知道四边形的面积,而四边形被它的一条对角线分成两个三角形,求出两个三角形的面积和即可.启发学生形成思路,最后由学生演板完成.【设计意图】引导学生利用辅助线解决问题,进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识.4. 反思小结,观点提炼教师引导学生参照下面两个方面,回顾本节课所学的主要内容,进行相互交流:(1)知识总结:勾股定理以及逆定理的实际应用;(2)方法归纳:数学建模的思想.【设计意图】通过小结,梳理本节课所学内容,总结方法,体会思想.5.布置作业教科书34页习题17.2第3题,第4题,第5题,第6题.五、目标检测设计1.小明在学校运动会上负责联络,他先从检录处走了75米到达起点,又从起点向东走了100米到达终点,最后从终点走了125米,回到检录处,则他开始走的方向是(假设小明走的每段都是直线) ( )A.南北B.东西C.东北D.西北【设计意图】考查运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.2.甲、乙两船同时从港出发,甲船沿北偏东的方向,以每小时9海里的速度向岛驶去,乙船沿另一个方向,以每小时12海里的速度向岛驶去,3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变,且两岛相距45海里,那么乙船航行的方向是南偏东多少度?【设计意图】考查建立数学模型,准确画出几何图形,运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.3.如图是一块四边形的菜地,已知,,,,,求这块菜地的面积.一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
新人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理的综合应用》优质课教学设计_27

例2:在四边形ABCD中,∠C=90,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12。求四边形ABCD的面积?
过程四、拓展延伸水平提升
综合训练1、已知四边形ABCD,∠A=
60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD的长?
2、如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点F在AB上,现将三角形DAE折叠,使点A落在对角线BD上的点A撇处,你能求出AE的长吗?
学生思考,老师提问,学生发言。
学生独立思考
小组讨论
学生讲解
小组互助
(教师引导,学生思考,请一位同学回答,其他学生提出修正方案。最后教师给以总结。)
小组讨论,合作、教师总结
过程二、热身训练,强化基础。
1、直角三角形的两条边长分别为3厘米和5厘米,则第三边的长为多少?
2、已知三角形的三边长分别为5、12、13
则三角形的面积?
3、在直角三角形中,已知一个锐角为60度,并且知道一边长,求另外两边长?
4、在直角三角形中,已知一个锐角为45度,并且知道一边,求另外两边长?
1、过程三、典型精析、形成技能
1.应用三角形相关知识的解决直角三角形中的计算及证明问题。
2、应用图形的分割把问题转化为基本图形。
情感态度与价值观目标
1.培养学生分析问题的水平。
2.培养学生语言答题的习惯。
教学重难点
重点
1.勾股定理及逆定理的简单应用。
2.转化思想、方程思想、分类思想的综合使用。
难点
1.构建直角三角形。
2.转化思想、方程思想、分类思想的综合使用。
教学策略与设计说明
17.2勾股定理的逆定理(教案)

(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“勾股定理逆定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调勾股定理逆定理的判断条件和实际应用这两个重点。对于难点部分,如如何从实际问题中提取有效信息,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与勾股定理逆定理相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过测量实际物体的边长,计算并判断是否为直角三角形。
举例:
在讲解勾股定理的逆定理时,教师可以通过具体的直角三角形图形,引导学生观察和总结规律,如3²+4²=5²,得出5-4-3组成的三角形是直角三角形。
2.教学难点
(1)理解逆定理的含义:学生容易混淆勾股定理和逆定理,难以理解逆定理是从一个已知的条件出发,反推三角形类型。
(2)在实际问题中灵活运用逆定理:学生在解决问题时,往往不知道如何将问题转化为勾股定理的逆定理来解决。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解勾股定理逆定理的基本概念。勾股定理逆定理是指如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方,即a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。它是判断直角三角形的一个重要方法,在几何学中有着广泛的应用。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过测量一个三角形两边的长度,计算第三边的长度,并判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理逆定理的应用(教案)【2023春人教版八下数学优质备课】

17.2.2勾股定理逆定理的应用核心素养目标:1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形;2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题;3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
教学重难点:重点:进一步理解勾股定理的逆定理;难点:勾股定理逆定理的灵活应用;教学过程:一、复习导入1.我们已经学习了勾股定理及其逆定理,你能叙述吗?2.你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题?二、互助探究探究点一:利用勾股定理的逆定理解答角度问题例题讲解:例1如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处,且相距30海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?探究点二:利用勾股定理的逆定理解答面积问题例2已知:如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.跟踪练习:如图,有一块地,已知,AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积.探究点三:利用勾股定理的逆定理解答检测问题例3 如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?跟踪练习:一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?三、课堂小结1.利用勾股定理逆定理求角的度数2.利用勾股定理逆定理求线段的长3.利用勾股定理逆定理解决实际问题四、课堂检测1.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为()A.4B.6C.16D.552. 如图,△ABC的顶点A,B,C,在边长为1的正方形方格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为()A. 23√5 B. 34√5 C. 45√5 D.56√53. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市在医院的南偏东25°的方向,且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东的方向.4.如图,等边三角形的边长为6,则高AD的长是;这个三角形的面积是 .5. 如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠,点D落在E处,则重叠部分△AFC的面积是多少?五、课后作业必做题:教材习题17.2第4题.选做题:教材习题17.2第12、13、14题.。
人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》教学设计

-教师提供指导性的问题,引导学生通过画图、计算、推理等手段探索定理的正确性。
-分享探究成果,各组展示不同的解题思路和方法,促进学生之间的相互学习和启发。
3.知识讲解,深化理解
-教师对勾股定理的逆定理进行系统的讲解,强调定理的条件和结论。
-通过多媒体演示或实物模型展示,帮助学生形象化理解定理的内涵。
3.创新思维题:
-设立1-2道开放性问题,鼓励学生从不同角度思考,探索多种解题方法。
-鼓励学生尝试自己编写与勾股定理的逆定理相关的题目,并与同学分享,激发学生的学习兴趣和创造力。
4.小组合作任务:
-分配一个小组研究课题,例如“讨论研究,并在下节课上进行汇报展示。
4.设计具有层次性的练习题,使学生在不同难度层次的题目中逐步提高自己的解题能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情,激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、善于发现的精神,使学生体验数学探究的乐趣。
3.培养学生严谨、踏实的科学态度,养成认真思考、独立解决问题的习惯。
4.通过勾股定理的逆定理的学习,使学生感受数学在现实生活中的广泛应用,体会数学的价值。
2.学生在证明过程中可能出现的逻辑错误,需要教师及时指导纠正。
3.学生对于勾股定理与逆定理之间的联系和区别的把握。
教学设想:
1.创设情境,引入新课
-通过呈现一些生活中的实际例子,如建筑物的直角结构、直角三角形的艺术品等,引导学生观察并思考这些直角三角形的特征,自然引入勾股定理的逆定理。
2.自主探究,合作交流
2.强调勾股定理与逆定理之间的联系,提醒学生注意在解决问题时灵活运用。
3.鼓励学生主动探索数学问题,培养他们勇于挑战、不断进取的精神。
人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》优秀教学设计

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》优秀教学设计一. 教材分析《勾股定理的逆定理》是人教版数学八年级下册第17.2节的内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理的逆定理,并能运用其判断一个三角形是否为直角三角形。
教材通过生活中的实际例子引入勾股定理的逆定理,使学生能够更好地理解并运用这一定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了勾股定理和三角形的知识,对三角形的基本概念和性质有所了解。
但是,学生对勾股定理的逆定理可能较为陌生,需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握勾股定理的逆定理,并能运用其判断一个三角形是否为直角三角形。
2.过程与方法:通过实例、讨论和练习,培养学生的推理能力和合作能力。
3.情感态度价值观:激发学生对数学的兴趣,培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点:勾股定理的逆定理的内容和运用。
2.难点:如何判断一个三角形是否为直角三角形,以及如何运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实际例子,引导学生思考和探索,激发学生的学习兴趣。
2.小组讨论法:学生进行小组讨论,培养学生的合作能力和口头表达能力。
3.练习法:通过大量的练习题,巩固学生对勾股定理逆定理的理解和运用。
六. 教学准备1.教学课件:制作勾股定理的逆定理的相关课件,以便进行课堂教学。
2.练习题:准备一些有关勾股定理逆定理的练习题,用于课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际例子,如建筑工人测量楼房的高度,引导学生思考如何判断一个三角形是否为直角三角形。
从而引出本节课的主题——勾股定理的逆定理。
2.呈现(10分钟)讲解勾股定理的逆定理的内容,并通过动画或实物演示,让学生直观地理解这一定理。
同时,给出勾股定理逆定理的数学表达式。
3.操练(10分钟)让学生进行一些有关勾股定理逆定理的练习题,巩固对这一定理的理解。
可以学生进行小组讨论,共同解决问题。
(最新)数学八年级下册第17章《勾股定理的逆定理 》省优质课一等奖教案

二、合作探究:1、议一议:同学们想一想:命题一命题二有什么关系?看书、讨论归纳归纳:命题二与命题一的题设、结论正好相反;命题一的题设是命题二的结论,命题一的结论是命题二的题设;我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。
三、交流展示:2、同学们:原命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间的关系?讨论、归纳。
分小组发言,教师订正3、同学们:看书 p32面的内容后,你能证明命题二是真命题吗?动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合。
得出结论。
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
例1(补充)说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?⑴同旁内角互补,两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析:⑴每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。
例2(补充)已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)求证:∠C=90°。
分析:⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°,只要证△ABC是直角三角形,并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= (n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2= n4+2n2+1,从而a2+b2=c2,故命题获证。
四、归纳小结:1、命题一命题二 2勾股定理、勾股定理的逆定理3、原命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间的关系五、当堂训练:一、必作题:1、议一议:同学们想一想:下列几题怎样做?例1(补充)已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
新人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理的综合应用》优质课教学设计_30

教学设计:勾股定理及逆定理的综合应用教学目标1、勾股定理在展开问题中的应用2、勾股定理在折叠问题中的应用3、勾股定理的逆定理在不规则图形的应用4、培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。
重点:勾股定理在展开问题中的应用难点:勾股定理在折叠问题中的应用教学过程(一)复习回顾,引入新课问题1,勾股定理的内容勾股定理逆定理的内容(设计意图:提供理论知识)(二)新课教授1)展开问题观看幻灯片:如图,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?{}请同学们齐读}思考:蚂蚁怎样爬行能听到食物?请同学上黑板画出?(教师演示长方体,学生上黑板动手画)教师:在多媒体上演示展开三种情况,学生动手计算(设计意图:用几何画板演示展开过程,便于学生理解。
教师:请同学归纳总结展开问题的方法练习1:台阶中展开问题:如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少?(以小组为单位、讨论,请代表上黑板来画展开图)2:圆柱中最值问题:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定(学生独立完成,教师上传学生作品,请学生讲解)2)长方形的折叠问题:如图,在矩形ABCD中,BC= ,CD= ,将矩形沿BD折叠,点A落在A′处,求重叠部分△BFD的面积。
(请位同学读题)分析:重合的边,重合的角是哪些教师:归纳折叠问题的解题方法练习:活学活用:1、如图,矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,①求DF的长;②求重叠部分△AEF的面积.(学生独立完成,教师上传学生作品,请学生讲解)3)不规则图形面积的求法: 1、如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.(请同学齐读)分析怎样将不规则图形变规则呢?以小组为单位,讨论,教师上传学生作品,教师分析(三)本章小结本节课你有什么收获?1.几何体的表面路径最短的问题,一般展开表面成平面.2.利用两点之间线段最短,及勾股定理求解.3.在折叠中,设适当的未知数x. (用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中。
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《17.2勾股定理的逆定理》教学设计Y qzx Bmm【内容和教材分析】内容教材第31-33页,17.2勾股定理的逆定理.教材分析“勾股定理的逆定理”一节,是在上节“勾股定理”之后,继续学习的一个直角三角形的判断定理,它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一,是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一,在以后的解题中,将有十分广泛的应用,同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想,为将来学习解析几何埋下了伏笔,所以本节也是本章的重要内容之一.【教学目标】知识与技能1.理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系.3.掌握勾股定理的逆定理,并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.过程与方法1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识的发生、发展与形成过程.2.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形结合方法的应用.3.通过勾股定理的逆定理的证明,体会数与形结合方法在问题解决中的作用,并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.情感、态度与价值观1.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系.2.在探究勾股定理的逆定理的活动中,通过一系列富有探究性的问题,渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.【教学重难点及突破】重点1.勾股定理的逆定理及运用.2.灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点1.勾股定理的逆定理的证明.2.说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.【教学突破】1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件,其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形,需要构造直角三角形才能完成,构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般,设置两个动手操作问题.2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法,和前面学过的一些判定方法不同,它通过计算来做判断.3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理,它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质,所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念,理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题,叙述它们的逆命题有时就会有困难,可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”.4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时,常先画出图形,根据已知条件计算出各边长,再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形,再回答问题.【教学设计】一、复习导入师:上一节课我们学习了勾股定理,请同学们回忆一下:勾股定理的内容是什么?生:如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,那么三边满足的关系为a2+b2=c2.师:勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系,即直角边为a,b斜边为c,则三边满足a2+b2=c2(带领学生集体复习勾股定理).思考:勾股定理的题设、结论分别是什么? 生:题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c2师:如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置,即如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形?本节课我们一起来研究这个问题.板书课题:17.2勾股定理的逆定理设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结,联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形,自然地引出勾股定理的逆定理.二、教学新知1.发现勾股定理的逆定理.观察发现:师生共同学习古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上等距离的13 个结,然后以3 个结间距,4 个结间距、5 个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角。
师:相传,我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角.下面我们来观察这个三角形,如果把一个节间距看为一个单位长度,则三角形的边长分别是多少?生:3、4、5师:三边满足什么样关系呢?生:32+42=52.师:也就是说,如果围成的三角形的三边分别为3、4、5,满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.设计意图:介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活实际,激发兴趣. 师:对于其它的数,如:2.5、6、6.5;6、8、10它们也满足两个数的平方和等于第三个数的平方即2.52+62=6.52、62+82=102,那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢?实验操作:(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方,分别以这些数为边长(单位:cm)画出三角形:①2.5,6,6.5 ②6,8,10(2)想一想:请判断这些三角形的形状,并提出猜想.教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题.学生展示:画出的图形(展台展示)并说明做法.师:根据上面的验证,你会猜想到什么?生:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.学生回答,教师板书:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.师:这就是今天我们要学习的命题2.设计意图:通活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件,让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程,了解几何知识的探索过程.2.介绍逆命题的概念师:命题2和之前我们学过的命题1有什么联系呢?生:这两个命题的题设和结论正好相反.师:像这样的两个命题我们叫做互逆命题.教师出示互逆命题的概念,并介绍原命题和逆命题.师:你能举出有关互逆命题的例子吗?学生举手回答,教师及时点评.并让学生思考:在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?设计意图:让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在生生互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.3.证明勾股定理的逆定理.师:对于刚才的猜想-命题2,你能给出证明吗?它的题设和结论是什么?生:题设是三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,结论是这个三角形是直角三角形.根据题设、结论师生共同写出已知、求证.已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2.求证:△ABC是直角三角形.师:要证明△ABC是直角三角形,我们需要知道∠B是直角,那如何证明∠B是直角呢?直接在△ABC中证明,可以吗?上面我们证明了以2.5、6、6.5为边长的三角形是直角三角形,这个问题和前面的的问题有相似的地方吗?小组讨论得出证明思路,证明猜想的正确性.教师适时点拨,总结证明步骤.师:通过刚才的证明,我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们成为真命题,通过证明的真命题我们称为定理.我们把它称为勾股定理的逆定理.板书“勾股定理的逆定理”师:要判定一个三角形是直角三角形,只需要知道三边是否满足“两边的平方和是否等于第三边,即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方”.设计意图:引导学生构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.4.定理的应用例1:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形?(1) a=15,b=17,c=8; (2) a=13,b=15,c=14师生共同分析(1),学生判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形,教师板书做题过程;学生独立完成(2).设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习,通过练习把陈述性的定理转换为认知操作,学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.练习:1、如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?2、判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形?为什么?(1) a=7,b=24,c=25;(2) a=41,b=4,c=5;(3) a=45,b=1,c=43; (4) a=40,b=50,c=60.3.说出下列命题的逆命题.并判断它们的逆命题的真假?(1)两条直线平行,内错角相等;(2)对顶角相等;(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.设计意图:让学生在规范的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识,认识到原命题正确时,逆命题可以成立也可以不成立.三、巩固应用 能力提升1.在△ABC 中,a=16, b=20, c=12,求此三角形的面积。
2.如图,在四边形ABCD 中, AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B =90° 求:四边形ABCD 的面积。
设计意图:通过规范化的解答过程及练习,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力,同时让学生养成“已知三边求角,利用勾股定理的逆定理”的意识.四、总结提升引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容,并进行相互交流:(1) 勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作用?(2) 本节课学了原命题、逆命题等知识,你能说出它们之间的关系吗?(3) 在证明勾股定理的逆定理的过程中,我们学到了什么?(4) 在应用勾股定理的逆定理时,我们应注意什么问题,常见的勾股数组你记熟了吗? AB C D 16 20 B CA 12五、作业布置必做:科书第33页练习第1,2题.选做:同步34页,能力提升六、知识拓展在⊿ABC中,三边分别为a,b,c,(1)如果a2+b2=c2,那么⊿ABC是_______.(2)如果a2+b2﹤c2,那么⊿ABC是_______.(3)如果a2+b2﹥c2,那么⊿ABC是_______.设计意图:针对班级中成都比较好的同学,以及学习过程中同学们出现的疑问,结合着本节学习的内容,对知识进行了拓展,其目的是让学生在对比中加深对勾股定理逆定理的理解.七、板书设计。