正定二次型定义及判定
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
正定二次型
§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。
如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。
1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。
正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。
$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。
$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。
2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。
定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。
线性代数5-7
定理1. 定理1. 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax ，它的秩为 ，有 它的秩为r， 两个可逆线性变换
x = Py , x = Qz
将 f 化为标准形
f ( Py ) = k1 y12 + k2 y2 2 + ... + kr yr 2
f (Qz ) = l1 z12 + l2 z2 2 + ... + lr zr 2
f ( x ) = x T Ax 正定的充分必要条件 定理2. 元二次型 定理2. n元二次型 是它的标准形的n个系数全为正数 个系数全为正数， 是它的标准形的 个系数全为正数，即它的正惯性指数为 n。 。
证明： 证明： 推论. 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 的全部 推论. 实对称矩阵 正定的充分必要条件是A的全部 正定的充分必要条件是 特征值都是正数。 特征值都是正数。
a32 ... an 2
a13 a23 a33 ...
an 3
... a1n ... a2 n ... a3 n ... ... ... ann
a11 = a11 > 0,
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a11 a21
a12 >0 a22
a23 > 0, ..., A > 0 a33
实矩阵， 为 阶单位阵 阶单位阵， 例3. 设A为 m × n 实矩阵，E为n阶单位阵，已知 为 B = λ E + AT A 试证： 试证：当 λ > 0 时，矩阵 为正定矩阵。 矩阵B为正定矩阵 为正定矩阵。 证明： 证明： 证明： 阶实对称矩阵， 与 为 阶实对称矩阵 与 合同 例4. 证明：若A与B为n阶实对称矩阵，则A与B合同 的充分必要条件为A与 有相同个数的正特征值和相同个 的充分必要条件为 与B有相同个数的正特征值和相同个 数的负特征值。 数的负特征值。 证明： 证明：
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学领域中重要的概念，它在矩阵、线性代数、数学分析等领域都有重要的应用。
在实际问题中，判别一个二次型是否为正定是非常重要的，因为它关系到了二次型的性质和应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质，以及判别正定二次型的方法。
正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)^T，它的二次型可以表示为：Q(x) = x^TAx = ∑∑(a_ijxi*xj)其中A是一个n×n实对称矩阵，a_ij表示矩阵A的元素，xi和xj表示向量x的元素。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么我们称二次型Q(x)是正定的。
如果Q(x)<0，则称为负定；如果Q(x)的值在0附近变化，则称为不定。
我们还定义半正定和半负定二次型，即当Q(x)≥0时称为半正定，当Q(x)≤0时称为半负定。
正定二次型具有一些重要的性质，这些性质对于判别一个二次型是否正定非常重要。
下面我们来介绍一些常见的性质：1. 正定二次型的特征值全为正数。
设A为一个n×n实对称矩阵，它的特征值为λ1, λ2, ..., λn，那么A是正定的当且仅当所有的特征值都是正数。
2. 正定二次型的主对角元素全为正数。
对于一个正定矩阵A，它的主对角元素a_ii都是正数。
3. 正定方阵的行列式大于0。
对于一个n×n的正定矩阵A，它的行列式det(A)>0。
1. 利用主元法利用主元法判别一个二次型是否正定是一种非常直观的方法。
我们将二次型的矩阵表示成阶梯型，然后判断主对角元素是否都大于0，如果是，则该二次型是正定的。
举个例子，对于一个二次型Q(x) = x^T Ax，A是一个实对称矩阵，如果我们可以将A 化成阶梯型：| a11 a12 a13 || a12 a22 a23 || a13 a23 a33 |然后判断a11, a22, a33是否都大于0，如果是，则二次型Q(x)是正定的。