不等式组与简单的线性规划

第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分

五年高考荟萃 2009年高考题

一、选择题

1. (2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，

若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，

则23

a b +的最小值为

( ). A.625 B.38 C. 3

11 D. 4

答案 A

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而

23a b +=2323131325

()()26666

a b b a a b a b ++=++≥+=

,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准

确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求

23

a b

+的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2009安徽卷理）若不等式组0

3434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨

⎪+≤⎩

所表示的平面区域被直线4

3

y kx =+分为面积

相等的两部分，则k 的值是A.

73 B. 37 C.43 D. 34

答案 B

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由3434

x y x y +=⎧⎨

+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，4

3）

x

2

2 y

O -2 z=ax+by

3x-y-6=0

x-y+2=0

A

D y

C

y=kx+4

3

∴S △ABC =

144

(4)1233

-⨯=，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴5

2

D y =

∴5147

,2233

k k =⨯+=选A 。 3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A.2

3 B.3

2

C.3

4

D.4

3

解析 由340340

x y x y +-=⎧⎨

+-=⎩可得(1,1)C ，故S 阴 =14

23c AB x ⨯⨯=，选C 。

答案 C

4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元

B. 20万元

C. 25万元

D. 27万元 答案 D

解析 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：

A

原

料

B 原料

甲产品x 吨

3x 2x 乙产品y 吨

y

3y

则有：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≤+≤+>>18

3213300y x y x y x

目标函数y x z 35+=

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：

当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D

5.（2009宁夏海南卷理）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪

-≥-=+⎨⎪-≤⎩

则

A.有最小值2，最大值3

B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值 答案 B

解析 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。选B.

（3，4）

（0，6）

O

（3

13，0） y

x

9 13

6.（2009宁夏海南卷文）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪

-≥⎨⎪-≤⎩

则z x y =+

A.有最小值2，最大值3

B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值

答案 B

解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z ＝2，无最大值，故选.B

7.(2009湖南卷理)已知D 是由不等式组2030

x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 22

4x y +=

在区域D 内

的弧长为 [ B] A .

4π B.2

π

C.34π

D.32π

答案 B

解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分

别是1,213-，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，所以11

|()|

2

3tan 1111|23

α--==+⋅-（），所以