小专题复习课(变力做功求解法)
小专题复习课(变力做功求解四法)
答案:-125 J
3.利用W=Pt求解 在功率给出且保持不变的情况下，利用W=Pt可求出变力所 做的功. 【典例6】质量为5 t的汽车以恒定的输出功率75 kW在一条平直
的公路上由静止开始行驶，在10 s内速度达到10 m/s，求摩擦
阻力在这段时间内所做的功.
【深度剖析】汽车的功率不变，根据P=Fv知，随着速度v的增大， 牵引力将变小，不能用W=Fl求功，但已知汽车的功率恒定，所 以牵引力在这段时间内所做的功WF=Pt=75×103× 10 J=7.5×105 J
轴及x=5 m所围面积,即 W1 10 5 5 J 37.5 J; W2为F2做的功,数
值等于F2图线跟坐标轴及x=5 m所围面积,即 W2 5 5 J 12.5 J, 所以Ekm=37.5 J-12.5 J=25 J. 答案:25 J
2 2
W外=ΔEp=mgΔh= 1 mg
答案: 1 mg
2
2
a 2 b2 b .
a 2 b2 b
1.(化变力为恒力)如图所示,质量为2 kg的木块套在光滑的竖
直杆上,用60 N的恒力F通过轻绳拉木块,木块在A点的速度vA=
3 m/s,则木块运动到B点的速度vB是多少?(木块可视为质点,g 取10 m/s2)
【典例4】如图所示，质量m=1 kg的物体从轨道上的A点由静止 下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8 m.物体到达B点时 的速度为2 m/s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功.
【深度剖析】物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用:重力 G、支持力FN和摩擦力Ff.由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力 均为变力．但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，
变力做功的解题方法
变力做功的解题方法在中学阶段，功的计算公式只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。
如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。
一、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一次函数关系的直线运动中。
1.如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
二、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
2.如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为E kB和E kC，图中AB=BC，则一定有（）A．W1＞W2 B．W1＜W2C．E kB＞E kC D．E kB＜E kC三、图像法表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。
其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。
图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
4.如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？5.用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）四、功率法当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功。
专题变力做功问题
图象法
适用各种变力做功
假如我们已知F-S图象或根据题意能够作出F-S
图象（用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表
示物体在力的方向上的位移S ），我们就可以利用
“面积法”来求此变力做的功，因此F-S图象也叫示
功图
例４、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动
（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐
F 2R
平均力法
适用力的方向不变
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律 变化时，即力满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式时，我们可用 平均力替代这个变力而恒力做功的公式计算。
例３、一辆汽车质量为 1105 kg，从静止开始
运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离是线性关系且， 其中 是车所受阻力，当该车前进100m时， 求牵引力对汽车做了多少功？
由于力的大小不变而方向时刻改变，我们可以将
圆弧无限分割成n小段分别为 S1、S２、Sn，
在每一小段位移中力F可以看作恒力，而弧长也可以 看作直线长，因此，力F在整个过程中做的功等于力F 在各小段位移过程中做功的代数和，故有：
W F S1 F S2 F Sn F (S1 S2 Sn )
标x的变化关系（如图乙所示），图线为半
圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功
为（
）
例题分析
F
O
x0
x
F
图2－甲
Fm
O
A0
C 4 Fm x0
图2乙
x0
x
B
1 2
Fm
x0
D
4
x0 2
答案：C
例５、长度为 l ，质量为m的均匀绳，一段置于水
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法变力做功是物理学中一个重要的概念，它描述了当一个力作用于一个物体时，这个力对物体所做的功是如何随时间变化的。
在实际应用中，我们经常需要求解变力做功，例如研究机械的运动特性、计算机械工作所需的能量等。
求解变力做功的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：通过力的分解法、积分法和图像法。
第一种方法是力的分解法。
当一个力是一个常量力的合力时，我们可以将这个力分解成多个方向上的分力，然后对每个方向的分力进行求解，最后将各个方向上的分力的功相加即可得到合力所做的功。
在实际应用中，当一个力是不常量力时，我们可以将这个力进行一定的分段处理，将不同的部分的力分别进行分解，然后分别求解，最后将各个部分的功相加即可得到总的功。
第二种方法是积分法。
当一个力是一个函数关系时，我们可以通过对这个函数进行积分得到力的功函数，然后计算积分上下限之间的功值。
具体而言，假设一个力F随时间t的变化，那么力在时间t1和t2之间做的功可以表示为：W = ∫(F(t))dt其中，W表示力所做的功，∫表示积分符号，F(t)表示力随时间的变化。
在实际计算中，我们可以根据给定的力函数F(t)进行积分运算，然后计算上下限之间的功值。
第三种方法是图像法。
当一个力是已知的、离散的数据时，我们可以通过绘制力与时间之间的图像来求解力所做的功。
具体而言，我们可以将给定的力数据以时间为横坐标、力值为纵坐标绘制成折线图，然后计算每个时间段内力与时间之间的面积，最后将各个时间段内的面积相加即可得到力所做的功。
综上所述，求解变力做功的方法有很多种，其中常用的方法有力的分解法、积分法和图像法。
不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法进行求解，需要根据具体的问题来决定。
无论使用哪种方法，都需要对力与时间的关系进行分析，然后进行适当的求解，最终得到力所做的功的结果。
专题：变力做功
专题一：变力做功的计算（一）变力做功的常见方法：1、将变力做功转化为恒力做功：（1）通过连接点的联系将变力做功转化为恒力做功——等值法；（2）力大小不变、方向与速度方向夹角恒定的变力转化为恒力做功——微元法； （3）方向不变、大小与位移均匀变化的变力做功，利用求平均力做功转化为恒力做功——平均值法或F x -图像法（力—位移图像围成的面积表示力做功的值。
） 2、功率不变的力做功W Pt =。
典型题例：1—1：化变力为恒力——等值法1、如图所示，光滑的定滑轮到滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F (恒定)，滑块沿水平面由A 点前进s 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
2、人在A 点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量m ＝50kg 的物体，如图所示，开始绳与水平方向的夹角为60°，当人匀速地提起物体由A 点沿水平方向运动2x m =而到达B 点，此时绳与水平方向成30°角，取210/g m s =，求人对绳的拉力所做的功。
1—2：化变力为恒力——微元法1、在机械化生产水平较低的时期，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均用力大小为500 N ，动的半径为1 m ，则驴拉磨转动一周所做功为( )A .0B .500 JC .500π JD .1 000π J2、如图所示，一质量为2m kg =的物体从半径为5R m =的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。
拉力F 大小不变始终为15N ，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向。
取210/g m s =。
求这一过程中：（1）重力mg 做了多少功？（2）圆弧面对物体的支持力N 做了多少功？ （3）拉力F 做了多少功？（4）圆弧面对物体的摩擦力f 做了多少功？1—3、化变力为恒力——平均值法、F x -图像法1、如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k 、初始时刻处于自然状态。
高中物理专题复习---变力做功求解问题
微专题26 变力做功求解问题【核心考点提示】功的定义式W ＝Fs cos α仅适用于恒力F 做功的计算，变力做功可以通过化“变”为“恒”或等效代换的思想求解，主要方法有：1．微元法：就是将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式W ＝Fs cos α计算，整个过程中变力的功就是各小段里“恒力”功的总和，即W 总＝∑F Δs cos α.2．图象法：画出变力F 与位移s 的图象，则F －s 图线与s 轴所围的“面积”表示该过程中变力F 做的功．3．力的平均值法：在力的方向不变，大小与位移呈线性关系的直线运动中，可先求该变力对位移的平均值F ＝F 1＋F 22，再由W ＝F s 计算．4．动能定理或功能关系法：当物体运动过程中始末两个状态的速度已知时，用动能定理∑W ＝ΔE k 或功能关系求变力做的功是非常方便的(当然也可求恒力做的功)．5．转换研究对象法：运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力做的功相等的恒力做的功，这样，就可将求变力做的功转化为计算恒力做的功．6．特定情形：①用W ＝Pt 可求机车恒功率运行时，发动机做的功；②电场力做的功可用W AB ＝qU AB 求解． 【微专题训练】如图所示，质量为m 的物块与转台之间的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，物块与转轴OO ′相距R ，物块随转台由静止开始转动，转速缓慢增大，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到滑动前的这一过程中，转台的摩擦力对物块做的功最接近( )A ．0B ．2πkmgRC ．2kmgR D.12kmgR【解析】在转速增加的过程中，转台对物块的摩擦力是不断变化的，当转速增加到一定值时，物块在转台上即将滑动，说明此时静摩擦力F f 达到最大，其指向圆心的分量F 1提供向心力，即F 1＝m v 2R①由于转台缓慢加速，使物块加速的分力F 2很小，因此可近似认为F 1＝F f ＝kmg ② 在这一过程中对物块由动能定理，有W f ＝12mv 2③由①②③知，转台对物块所做的功W f ＝12kmgR .【答案】 D(2016·杭州模拟)人用手托着质量为m 的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离l 后，速度为v (物体与手始终相对静止)，物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( ) A ．mglB ．0C ．μmglD.12mv 2 【解析】因人用手托着物体沿水平方向运动，故只有人对物体做功，由动能定理可得W人＝12mv 2，故A 、B 错误，D 正确；因物体与手掌间存在静摩擦力，其大小不一定为μmg ，故C 错误。
变力做功的求法
变力做功的求法：
1.微元法。
当物体在变力作用下做曲线运动 时，我们无法直接使用功的计算公式 W=FLcosa来求解，但是可以将曲线 分成无限个微小段，每一小段可认为 恒力做功，总功即为各个小段做功的 代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半 径为R的水平圆轨道运动一周， 如图所示，已知物块的质量为m， 物块与轨道间的动摩擦因数 为 μ 。求此过程中摩擦力所做 的功。
W mgh Wf 从A到B到C ： F
WF 2m gh
00
4.应用公式W=Pt法
机车以恒定功率启动时，牵 引力为变力，但机车的功率为牵 引力的功率，所以牵引力做的功 可用公式W=Pt计算
例4： 一列货车的质量为5.0×105kg, 在平直轨道以额定功率3000kw加速行 驶,当速度由10m/s加速到所能达到的 最大速度30m/s时,共用了2min,则这 段时间内列车前进的距离是多少?
mg ( s1 s2 s3 ... sn ) 2m gR
2. F—x图象法。
F —x图像，图线与坐标轴围成的面积,在数 值上表示力F在相应的位移上对物体做的功。
例2.如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧， 一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴 线施一水平力将弹簧拉长，求：在弹簧由 原长开始到伸长量为 x1过程中拉力所做的 功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由 x1 增大到x2 的过程中，拉力又做了多少功？
解析：在拉弹簧的过程中， F kx 作出 F x 关系图象，如图，由图可知 AOx 的面积在数值上等于把弹簧拉伸了 x1过程中 拉力所做的功。
1
即:
1 1 2 W1 kx 1 x1 kx 1 2 2
x1
梯形 Ax1 x2 B 的面积在数值上等于弹簧伸 长量由 增大到 x2 过程中拉力所做的功。
专题一变力做功的求解1—微元法
专题一：变力做功的求解1—微元法目标：1.知道功的计算公式适用于恒力做功。
2.理解微元法的思想。
3.能根据微元法解决简单的变力做功的问题。
知识梳理：微元法求解变力做功：将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每小段过程中变力可近似看作恒力，每小段过程中功可由公式cos W Fl α=计算，整个过程中变力的功就是各小段“恒力”功的总和。
解题方法与策略：将物体做功过程分割成一个个元过程，每个元过程中，变力做功可近似看作恒力做功，这是微分的思想，再将各段元功累加求和，这是积分的思想。
此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
典型例题例1：如图所示，用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，已知滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，滑块质量为m ，求此过程中摩擦力做的功。
例2：如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦阻力为压力的k 倍，试求在小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦阻力做的功。
练习：1.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力大小恒为F ，则在从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ） A ．0 B ．－Fh C ．Fh D ．－2Fh2.如图所示，用长l 、不可伸长的细线把质量为m 的小球悬挂于O 点，将小球拉至悬线偏离竖直方向a 角后放手，运动t 时间后停在最低点，则在时间t 内（ ）A.小球重力做功为(1cos )mgl α-RRvαB.空气阻力做功为 cos mgl α-C.小球所受合力做功为 s mgl in αD.细线拉力做功的功率为(1cos )mgl tα-3.新中国成立前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。
如图所示，假设驴拉磨的力F 总是与圆周轨迹的切线共线，若运动的半径为R ，则驴拉磨转动一周所做的功为（ ）A. 0B. FRC. 2πFRD.无法判断4.在水平面上有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，如图所示，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球的运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ） A. 0 B. FRC. 32FR πD. 2FR π5.如图所示，物块分别两次从凹形曲面上A 处滑至最低处B ，若第一次下滑时的初速度大于第二次，则物块两次下滑时克服摩擦阻力所做的功相比（ ） A.第一次大 B.第二次大 C.两次一样 D.无法确定6.如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后静止释放。
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如图11所示，质量m＝2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另 一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条 无形变）然后将小球由A处静止释放，小球到达O点正下方h＝ 0.5m处的B点时的速度为v＝2m/s。求小球从A运动到B的过程 中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g＝10m/s2。
图11
，
【深度剖析】由F-x图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹 簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变， 图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功, 即:W=1/2×(0.6+0.4)×40 J
=20 J 答案:20 J
题型二
【典例1】如图所示，半径为R，孔径均匀的 圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的 初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动 的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为 Ff，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力 所做的功.
=50×10×3J =1500J， 或者用力与位移所围面积表示做功大小 WG=FX =1500J
（2） 假设运动员体重50kg，从开始接触蹦床到下落 到最低点过程中下落的高度为0.4米，蹦床的劲度系数为 5000N/M,它的F-X图像如图所示，那弹力做功怎么求呢？
【深度剖析】弹力做功能否用公式W=Flcosα 计算？能否用力 与位移所围面积表示做功大小？当我们把下落的高度分割成 无数个很小的部分时，每一部分中弹力几乎不变化，就可以 看成恒力做功，即：用力与位移所围面积表示做功大小
【深度剖析】将小球运动的轨迹分割成无
数个小段，设每一小段的长度为Δs，它
们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共
线反向，如图所示，每一小段做功W′=FfΔs，而 在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做
的功等于每一小段做功的和，
即:W=W1+W2+W3+.....+Wn
=2πRFf 答案:2πRFf
用力与路程的乘积表示做功．这 种方法在中学阶段，常应用于求解
力的大小不变、方向改变的变力做
功问题.
题型三
【典例3】如图所示，质量m=1 kg的物体从轨道上的A点由静止 下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8 m.物体到达B点时 的速度为2 m/s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功.
【深度剖析】物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用:重力 G、支持力FN和摩擦力Ff.由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力 均为变力．但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功， 因而该过程中只有重力和摩擦力做功. 由动能定得:mgh+WFf=1/2mvB2, 代入数据解得WFf=-6J.克服摩擦力所做的功6J。 答案:6J
W弹=1/2*FX =400J
若题目中给出了F-x图象或给出了F与x的函数关系，则 变力做功可以通过F-x图象中图线和横轴所围成的面积 解得.
【典例2】放在地面上的木块与一轻弹 簧相连，弹簧处于自由伸长状态.现用 手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1= 0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧， 木块缓慢移动了x2=0.4 m的位移，其F-x图象如图所示，求上述 过程中拉力所做的功.
功能关系复习课
变力做功求解常规方法
XX市高（X）备课组 XXX
题型一
（1） 假设刚才视频中运动员体重50kg，从 开始下落到刚接触蹦床过程中下落的高度为3米， 它的重力与位移关系F-X图像如图所示，那重力 做功怎么求呢？
【深度剖析】重力为恒力，可以用恒力做功的公式W=Flcosα 计算， 即：WG=mgh
动能定理表达式为W合=Δ Ek，其中W合是所有外力做功的代数和， Δ Ek是物体动能的变化量．如果物体受到除某个变力以外的其他力 所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的 功.
功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转 化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少．因此根据 动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度 求功.
巩固练习2. 子弹以速度射入墙壁，入射深度为h。若子弹 在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为 2h，求子弹的速度应增大到多少？ 思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求出 子弹克服阻力做的功，再由动能进行求解。
图6
正确解答：设射入深度为h时，子弹克服阻力做功W1；射入 深度为2h时，子弹克服阻力做功W2。由图6可知 ① W2=4W1 根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有 ② W1=1/2mV02-0 ③ W2=1/2mV2-0 ①②③联立求解得V=2V0
由动能定理可得1/2mV22-1/2mV12=W合。 正确解答：取小球为研究对象，由动能定理得：
即： 则：
1/2mV末2-1/2mV初2=W合 1/2mV2-0=W弹+WG W弹=1/2mV2-WG
=1/2×2×22J-2×10×0.5J
=-6J
故橡皮条的弹力对小球做功－6J。
一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静
止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则
此过程中铁块损失的机械能为（ ）
A.1/8mgR
B.1/4mgR
C.1/2mgR
D.3/4mgR
正确解答：由受力分析可知在最低点的向心力由重力和支 持力提供， 即：FN-G=mv2/R 从最高点到最低点由动能定理可知： Wf+WG=1/2mV末2-1/2mV初2 Wf=3/4mgR 答案:D