新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题
2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)
高考数学一轮总复习知识梳理：第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．归 纳 拓 展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －xf x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －xf x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 为偶函数；(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f xg x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.4．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数；(3)函数f (x )＝log a b －xb ＋x 为奇函数；(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．题组二 走进教材2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 5C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x 2[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )，可知f (x )＝x 4是偶函数，同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.题组三 走向高考8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( B )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －12x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x －1－1B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．解法一：f (x )＝－1＋2x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。
高三2-3函数的奇偶性与周期性测试及答案
2-3 函数的奇偶性与周期性习题1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2xC ．y ＝cos2xD ．y ＝1|x |－1[答案] C[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R|x ≠±1}不是R ，故选C.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114C ．1D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1. ∴f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)(2011·济南模拟)函数f (x )(x ∈R)是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2011)的值为( )A ．aB ．－aC ．0D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2011)＝f (670×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x＋2)＝－1f x，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( ) A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案] D[解析] ∵f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )[答案] C[解析] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝ln x的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－fx，则f (2010)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋3C ．2－ 3D ．－3－3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－fx ＋3＝1－－1f x＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－1f 3＝－12－3＝－2－ 3. 6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( ) A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1， ∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f xg x<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f xg x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f x <0g x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧fx >0gx <0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)．又∵0<φ<π，∴k ＝0时，φ＝π6.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)1 2或x<－12，[解析] 由题意知f(x)<0的解为x>∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14 x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤022－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1)，1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)． ∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x21x 2<227，∴a ≥227.11.(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．12．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[答案] C[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)，∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝32.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∴f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. 13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)(2011·新方一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.(理)若函数f (x )＝a －e x1＋a ex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x＋a f (x )＋f (－x )＝a －e xa ＋e x ＋1＋ae xae x －11＋ae xe x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae xe x ＋a＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )，∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x . 由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．(2010·杭州模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x)D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.4．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.5．定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗xx⊕2－2( )A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
高考数学-函数的奇偶性与周期性知识点总结及练习题
考点03函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·全国高三月考（文））函数()x x e e f x ln x-+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x ≤≤时()1x f x e =-，则23x ≤≤时()f x 的解析式为（）A ．2()1x f x e -=-B ．2()1x f x e -=-C ．1()1x f x e -=-D ．1()1x f x e -=-3．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，()()2log 7f x x =+，则()2021f =（）A ．3B ．3-C ．5-D ．54．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数()()ln sin ,033,3x x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 在()0,10上的零点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0，+∞）单调递增，若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．[12，+∞）D ．（﹣∞，12]6．（2021·全国高三二模）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()4ln 11cos 2xf x x +=+B ．()2cos xx x f x e=C ．()cos ln 2sin x x f x x⋅=+D ．()22ln cos x f x x x+=+7．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数(21()log f x x x=+，则（）A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 是奇函数8．（2021·河南高三月考（文））已知函数()32sin f x x ax x =++，现有下列四个结论:①()f x 是奇函数；②当23a =时，()f x 恰有两个零点；③若()f x 为增函数，则12a ≥-；④当23a =-时，()f x 恰有两个极值点.所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①③④C ．②④D ．①②③9．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．（2021·吉林高三月考（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称．以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()()4f x f x =-；③()f x 在（0，2）上单调递减；④()cos2xf x π=是满足条件的一个函数．其中所有正确的结论是（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①④11．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点12．（2021·江西南昌市·高三三模（文））奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．0B ．1C ．2D ．1-13．（2021·安徽高三二模（文））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =-，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．12-D ．32-14．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间15．（2018·全国高考真题（文））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．5016．（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+18．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=19．（2014·安徽高考真题（文））若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩，则2941(()46f f +=___________20．（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.1．C【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ；因为()()++ln eeee e e ef e e e e e--==>，可排除B.故选：C .2．A 【分析】由13()()22f x f x +=-得()f x 对称轴为1x =，结合奇偶性得10x -≤≤时()1x f x e -=-，再设23x ≤≤时2(2)1x f x e --=-即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-因为13()()22f x f x +=-，所以()f x 的一条对称轴为1x =，有(2)()f x f x -=，当01x ≤≤时()1x f x e =-，所以当10x -≤≤时01x ≤-≤，()1=()x f x e f x --=--，即()1x f x e -=-，当23x ≤≤时120x -≤-≤，所以(2)2(2)1=1x x f x e e ----=--即2()1x f x e -=-故选：A 【点睛】函数的奇偶性、对称性及单调性是函数的三大性质，在解题中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和对称性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．3．A 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值.【详解】由条件可知，()()f x f x -=-，且()()2f x f x =-，即()()2f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，那么()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()22021505411log 83f f f =⨯+===.故选：A 4．B 【分析】先作出函数ln y x =与sin y x =在03x <≤上的图像，得出()f x 在(]0,3上零点个数，再由周期性得出()3,10上的零点个数，得出答案.【详解】由题意，当03x <≤时，作出函数ln y x =与sin y x =的图像.由图可知，函数ln y x =与sin y x =在()0,1和[]1,3内各有一个交点，所以()f x 在(]0,3上有2个零点.由当3x >时，()()3f x f x =-，由函数周期性的性质可得当36x <≤时，()f x 上有2个零点,当69x <≤时，()f x 上有2个零点,当910x <<时，()f x 上有1个零点,所以()f x 在()0,10上有7零点个数故选：B ．5．D 【分析】设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()(1)g m g m ≤-，从而得1m m ≤-，进而可求出实数m 的取值范围【详解】解：设()()3g x f x x =-，由题意可知函数()g x 为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由()3(1)6f m f m m +≤-+，得()3(1)3(1)f m m f m m -≤---，即()(1)g m g m ≤-，所以()(1)g m g m ≤-，因为()g x 在[0，+∞）单调递增，所以1m m ≤-，两边平方得22(1)m m ≤-，解得12m ≤，所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12]，故选：D 6．D 【分析】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，结合选项一一判断即可．【详解】根据图象得函数()f x 定义域为{}|0x x ≠，图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数．对于A 选项，()41211cos12f =>+，排除；对于B 选项，函数定义域为R ，排除；对于C 选项，函数定义域为{}|0x x ≠，()()()cos ln cos ln 2sin 2sin x x x xf x x x-⋅-⋅-==+--，故函数为非奇非偶函数，排除；对于D 选项，函数()f x 符合图象要求．故选：D 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位；(2)从函数的单调性判断；(3)从函数的奇偶性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.7．C 【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论.【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+++=设(2()log g x x =+()()()11222222111211222()ln 21x x x g x x x x ---+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '<∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；B选项：((222111()log log log =()f x x x f x x x x ⎛⎫-=-==+-∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减，当0x >时1x +>，(2log 0x +>，(21()log 0f x x x =+>∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误；C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确；D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；8．B【分析】由奇偶性的定义可判断出①正确；利用导数可求得()0f x '>，知()f x 单调递增，结合()00f =知②错误；将()f x 为增函数转化为()0f x '≥恒成立，利用分离变量法可得()223cos a h x x x ≥=--，利用导数可求得()()max 01h x h ==-，由此得到12a ≥-，知③正确；利用导数可求得()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合零点存在定理可知()f x '存在两个变号零点，由此知④正确.【详解】对于①，()f x 定义域为R ，()()32sin f x x ax x f x -=---=-，()f x ∴为奇函数，①正确；对于②，当23a =时，()34sin 3f x x x x =++，()243cos 3f x x x '∴=++，[]cos 1,1x ∈-Q ，4cos 03x ∴+>，()0f x '∴>，()f x ∴在R 上单调递增，又()00f =，()f x ∴有且仅有0x =一个零点，②错误；对于③，()232cos f x x a x =++'，若()f x 为增函数，则()0f x '≥对x ∈R 恒成立，223cos a x x ∴≥--，令()23cos h x x x =--，则()6sin h x x x '=-+，()6cos 0h x x ''=-+<，()h x '∴在R 上单调递减，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<；()h x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()01h x h ∴≤=-21a ∴≥-，解得：12a ≥-，即若()f x 为增函数，则12a ≥-，③正确；对于④，当23a =-时，()34sin 3f x x x x =-+，则()243cos 3f x x x '=-+，()6sin f x x x ''∴=-，()6cos 0f x x '''=->，()f x ''∴在R 上单调递增，又()00f ''=，()f x '∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()1003f '=-< ，()()51cos 103f '-=+->，()51cos103f '=+>，()f x '∴在()1,0-和()0,1上分别存在一个变号零点，()f x ∴有两个极值点，④正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数知识的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、利用导数讨论函数零点个数问题、根据函数单调性求解参数范围问题；其中根据函数单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为与导函数有关的恒成立问题的求解，进而利用分离变量法求得结果.9．D【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求0x >时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时k 的值，即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时，令()21ln 0x f x x-'==，则e x =.即()0,x e ∈时，()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，如图，当0k >时，设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线方程为：()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0，则0000ln 1ln x x x x --=-，即0x =又∵ln x y x =在()0,x e ∈时单调递增.∴0x =，切线的斜率为12e ，∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知：11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.10．C【分析】对于①，由已知得()()f x f x -=，()()2f x f x +=-，由此可判断；对于②，由已知得()()4f x f x -=-，由此可判断；对于③，由函数关于y 轴对称，且函数()f x 关于(1,0)对称可判断；对于④，由()()cos()2x f x f x π--==，()2(2)cos ()2x f x f x π--==-，由此可判断．【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．对于①，由于()()f x f x -=，函数的图象关于(1,0)对称，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，故①正确；对于②，函数()f x 为偶函数，则()()4f x f x -=-，由于函数为偶函数，故满足()()4f x f x =-，故②正确；对于③，令()cos 2f x x π=-，()f x 满足题意，但在(0,2)上单调递增，故③错误；对于④，因为()()coscos ()22x x f x f x ππ--===，()22(2)cos cos cos ()222x x x f x f x ππππ---===-=-，所以函数()cos2x f x π=既关于y 轴对称，又关于(1,0)对称，故④正确．故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．11．D【分析】根据已知关系式可推导得到()()2f x f x +=，知A 错误；由周期性、奇偶性和函数在(]0,1上的解析式可得()f x 图象，通过图象可判断出BC 错误；将()ln y f x x =+零点个数问题转化为()f x 与ln y x =-交点个数问题，通过数形结合的方式可确定结果，知D 正确.【详解】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误；当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查函数性质和函数图象的综合应用问题，解题的基本思路是能够根据奇偶性、周期性和函数的部分解析式确定函数的图象，进而通过数形结合的方式来进行分析求解.12．B【分析】由()00f =计算得出实数a 的值，推导出函数()f x 的周期为4，可得出()()20211f f =，即可得解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，则()20log 0f a ==，解得1a =，所以，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，由已知条件可得()()()()224f x f x f x f x =-=--=-，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，则()()220211log 21f f ===.故选：B.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.13．D【分析】先由已知条件判断出()f x 为周期函数，且周期T =4，把20212f ⎛⎫⎪⎝⎭转化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入即可.【详解】因为()f x 满足()()2f x f x -=，所以()f x 的图像关于x=1对称.又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =-=--，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，且周期T =4.所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20212f ⎛⎫=⎪⎝⎭32-.故选：D【点睛】综合利用函数性质求值的方法步骤：（1）利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；（2）将转换后的自变量代入已知的解析式求解.14．C【分析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，关键是利用函数周期性的定义、对称性进行推理.15．C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．16．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x-=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.17．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．18．B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．考点：函数的奇偶性，单调性．19．516【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得293((44f f =-，417(()66f f =-，由函数的解析式可得29()4f 与41()6f 的值，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，则29333((8)()(4444f f f f =-+=-=-，41777()(8)()(6666f f f f =-+=-=-，又由函数()f x 在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩则293333()((1)444416f f =-=--=-，41771()()sin 6662f f π=-=-=，则2941315((4616216f f +=-+=，故答案为：516【点睛】方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.20．6【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.。
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性练习
2.3 函数的奇偶性与周期性1．(2020·宁德模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |答案 B解析 y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )； ④y ＝f (x )＋x .A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12-4＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 4．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．5．(2019·山东临沂一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)等于( )A ．－3B ．0C ．1D ．3 答案 B解析 用－x 替代x ，得到f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )， ∴T ＝6，∴f (2 019)＝f (336×6＋3)＝f (3)． ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (3)＝f (0)＝0.6．已知定义域为R 的偶函数 f (x )在(－∞，0]上是减函数，且 f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.7．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2 019)＝－1 答案 BCD解析 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )， 即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 则函数f (x )是周期为8的周期函数； 据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2 019)＝f (－5＋2 024)＝f (－5)＝－1，D 正确． 8．(多选)已知函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (－2－x )＝f (x )，且任取x 1，x 2∈[－1，＋∞)，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0(x 1≠x 2)，以下结论中正确的是( )A ．f (0)＞f (－3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (－1)C ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34D ．若f (m )＜f (2)，则－4＜m ＜2 答案 AB解析 根据题意，函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (－2－x )＝f (x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 又由任取x 1，x 2∈[－1，＋∞)，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0(x 1≠x 2)，则f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数， 则f (x )在(－∞，－1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，f (－3)＝f (1)，则有f (0)＞f (1)＝f (－3)，A 正确；对于B ，f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数，在(－∞，－1]上为增函数，故f (x )在x ＝－1时，取得最大值，即有∀x ∈R ，f (x )≤f (－1)，B 正确；对于C ，f (x )在区间[－1，＋∞)上为减函数，又由a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，则f (a 2－a＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，C 错误； 对于D ，若f (m )＜f (2)，则有|m ＋1|＞3，解得m ＜－4或m ＞2，D 错误．9．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.10．(2019·广东六校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________.答案 2.5解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数．又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5. 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．(2020·湖北鄂州三校联考)若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________． 答案 (5，＋∞)解析 因为函数f (x －2)为奇函数，所以f (x －2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f (x )的图象可由f (x －2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f (x )的图象关于点(－2,0)对称．因为f (x )在[－2，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上也单调递减． 因为f (3－x )>0＝f (－2)，所以3－x <－2， 解得x>5.15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f(x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]解析 由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上．如图所示作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x >0)．设过定点(0,2)的直线y ＝k 1x ＋2与曲线y ＝f (x )＝－x 2＋2x (x >0)切于点A (x 1，f (x 1))， 则k 1＝－2x 1＋2＝－x 21＋2x 1－2x 1－0，解得x 1＝2或x 1＝－2(舍去)， 所以k 1＝－22＋2.由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则k ≤2－2 2.16．若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x ∈[0,1)时f (x )为增函数，求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．解 ∵f (x )为奇函数，且在[0,1)上为增函数， ∴f (x )在(－1,0)上也是增函数． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0⇔f (x )<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<12－x <1，x <12－x⇔－12<x <14.∴不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <14.。
新高考数学复习考点知识与题型专项训练8---函数的奇偶性与周期性(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题3.3 函数的奇偶性与周期性1．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）已知函数()2966x f x x -=--，则函数的奇偶性为（ ）A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数不是偶函数D ．是偶函数不是奇函数【答案】C 【解析】由2903360x x x -≥⇒-≤≤⇒->，所以()22299966x x x f x x ---===--，可得函数定义域为33x -≤≤且0x ≠，关于原点对称，又因为()()()2299x x f x f x ----===-，所以函数是奇函数不是偶函数， 故选：C.2.（2020·全国高一）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥-C ．22a -≤≤D ．2a ≤-或2a ≥【答案】D 【解析】因为()f x 是R 上的偶函数且在[)0,+∞上递减，所以()f x 在(),0-∞递增； 又因为()()f x f x =-，所以()()22f f =-；因为()()2f a f ≤，所以2a ≥，解得：2a ≤-或2a ≥. 故选：D3.（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，则（ ）.A ．()()93log 4(1)log 4f f f >>B ．()()93log 4(1)log 4f f f <<C ．()()93(1)log 4log 4f f f >>D ．()()93(1)log 4log 4f f f <<【答案】B 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，因为99log 4log 91<=，331log 3log 4=<，所以93log 41log 4<<，所以()()93log 4(1)log 4f f f <<. 故选：B.4.（2020·绥德中学高三其他（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在[－1，0]上单调递减，设()2.8a f =-，()1.6b f =-，()0.5c f =，则a 、b ，c 大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】∵偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，∴函数的周期为2. 由于()()2.80.8a f f =-=-，()()()1.60.40.4b f f f =-==-， ()()0.50.5c f f ==-，0.80.50.4-<-<-.且函数()f x 在[－1，0]上单调递减，∴a c b >>. 5．（2019·山东高考模拟（文））已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【解析】 由题意可得：.故选：A.6．（2019·贵州高考模拟（文））已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题意可得：， 且.故选：D .7.（2020·全国高一）设奇函数上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（ ）A ．{|101}x x x -<<>或B ．{1,01}x|x <x -<<或C ．{|11}x x x <->或D ．{|10,01}x x x -<<<<或【解析】：∵函数f （x ）是奇函数，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴它在（-∞，0）上也是增函数．∵f （-x ）=-f （x ）， ∴f （-1）=-f （1）=0．不等式x[f （x ）-f （-x ）]＜0可化为2xf （x ）＜0， 即xf （x ）＜0， ∴当x ＜0时，可得f （x ）＞0=f （-1），∴x ＞-1， ∴-1＜x ＜0；当x ＞0时，可得f （x ）＜0=f （1）， ∴x ＜1，∴0＜x ＜1．综上，不等式x[f （x ）-f （-x ）]＜0的解集为{x|-1＜x ＜0，或0＜x ＜1}． 故选D ．8. （2019·广东高考模拟（文））己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．9. （2019·天津高考模拟（文））设奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2( 4.1)b f log =，0.8(2)c f =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】由()f x 为奇函数，且在R 上是增函数，可得()()f x f x -=-，可得2211log log 55a f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22log 5log 5f f =--=⎡⎤⎣⎦， 且2( 4.1)b f log =，0.8(2)c f =，由0.822log 5log 4.122>>>，可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，故a b c >>，故选D.10．（2019·天津天津实验中学高考模拟（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.8．（2020·甘肃省兰州一中高三其他（文））已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D .9．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.10．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练 专题练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】{|5x x >或50}x -<< 【解析】当x>0时，不等式f （x ）>x 转化为245x x x x ->∴>，由函数是奇函数，图像关于原点对称，因此当0x <时不等式f （x ）>x 的解集为50x -<<，综上不等式的解为（－5，0）∪（5，＋∞）1．（2020·浙江省高三其他）已知()f x 为偶函数，()(13)f x f x +=-.当20x -≤≤时，()3xf x =，若*n N ∈，()n a f n =，则2021a =（ ）A ．13-B ．3C ．3-D ．13【答案】D 【解析】()f x 为偶函数，(1)(3)f x f x +=-，所以函数的周期为：4，*n N ∈，()n a f n =，则()()()2021202111a f f f ===-，当20x -时，()3x f x =， 所以12021133a -==． 故选：D ．2．（2020·山东省实验中学高三月考）己知()f x 是定义域为R 的奇函数，若()5f x +为偶函数，()11f =，则()()20192020f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】()5f x +为偶函数，且()5f x +可由()f x 向左平移5个单位得到，()f x ∴关于5x =轴对称，即()()55f x f x +=-，又()f x 为R 上的奇函数，()()55f x f x ∴+=--，且()00f =，()()()()2010f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是一个周期为20的周期函数，()()()()2019201011111f f f f ∴=⨯-=-=-=-，()()()20202010100f f f =⨯==，()()201920201f f ∴+=-.故选：B .3．【多选题】（2020·山东省高三一模）已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A ．()10g =B ．()122g =-C ．()()0g x g x -+>D ．()()110g x g x -+++<【答案】AC【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确；因为()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<， 即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立； 因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数， 所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确；因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误.4．（2020·重庆市育才中学高三开学考试（文））已知函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()10f x -<，则x 的取值范围是_________．【答案】()1,+∞ 【解析】由函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，得()00f =， 因为()10f x -<，即()()10f x f -<，所以10x ->，即1x >， 所以x 的取值范围为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞5．（2020·辽宁省高三三模（理））已知()1f x x x =+，若()2log 52f b =，则2log 1b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】52-【解析】 ∵()1f x x x=+， ∴()()1f x x f x x-=-+=--，即f （x ）为奇函数， ∵()2222log log log log 2l 5og 12b f b b b b =+==+， 则()()1log 2log 22log b b b f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1log 2log 2b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2log 2log b b =-+52=- 故答案为：52-6．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______．【答案】1[,)3+∞【解析】根据题意，f （x ）＝x |x |＝22,0,0x x x x ⎧≥⎨-<⎩，则f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，则f （2x ﹣1）+f （x ）≥0⇒f （2x ﹣1）≥﹣f （x ）⇒f （2x ﹣1）≥f （﹣x ）⇒2x ﹣1≥﹣x ，解可得x ≥13，即x 的取值范围为[13，+∞）；故答案为：[13，+∞）．7．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）若奇函数()f x 定义域为R ,()()2f x f x +=-且()16f -=,则()2017f =______【答案】6- 【解析】因为()()2f x f x +=-,故()()()42f x f x f x +=-+=,故()f x 周期为4.又奇函数()f x ,故()()()()201750441116f f f f =⨯+==--=-.故答案为：6-8．（2020·江西省高三其他（理））已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．9．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））函数()f x 在定义域R 内满足()()f x f x =-，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()13f x +<的解集是________.【答案】()4,2- 【解析】0x ≥时，2()2f x x x =-， ()13f x +<，令1t x =+，当0t ≥时，由()3f t <，可得223t t -<，解得03t ≤<，()()f x f x =-，∴函数()f x 为偶函数，∴()f x 的图象关于y 轴对称，∴当0t <时，由()3f t <，可得30t -<<，综上，33t -<<，即313x -<+<，解得42x -<<. 所以，不等式()13f x +<的解集是()4,2-.故答案为：()4,2-.10. （2019·四川高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移2个单位后关于轴对称，且，则_____．【答案】-1 【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）＝0， 将的图象向左平移2个单位后，得到g （x ）＝f （x +2）为偶函数，则g （﹣x ）＝g （x ），即f （﹣x +2）＝f （x +2） 又是定义在上的奇函数，∴-f （x ﹣2）＝f （x +2） 即f （x ）＝﹣f （x +4），，故答案为：1.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.2.（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.4.（2018年理全国卷II ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )A.B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】 因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=． 又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定 在R上的偶函数， 并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
2015届高考数学总复习 第二章 第三节函数的奇偶性与周期性课时精练试题 文(含解析)
1．(2013·广东卷)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：四个函数中，y ＝x 3和y ＝2sin x 是奇函数．故选C. 答案：C2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝ln 1x －1解析：因为y ＝ln 1x －1的定义域为{x |x ＞1}，不关于原点对称，所以y ＝ln 1x －1是非奇非偶函数．故选D.答案：D3．(2013·山东滨州一模)函数y ＝sin xx(x ∈(－π， 0)∪(0，π))的图象大致是( )解析：函数y ＝sin x x(x ∈(－π，0)∪(0，π))为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x →π时，y ＝sin x x→0，故选A.答案：A4．(2013·辽宁辽源模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.174 C.154D ．a 2解析：将f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2中的x 用－x 代替得f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x＋2，由函数的奇偶性可得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x＋2，将两式相加和相减可得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，因为g (2)＝a ，所以a ＝2，则有f (2)＝22－2－2＝154.答案：C5．若函数f (x )＝x x ＋x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1解析： (法一)由已知得，f (x )的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，∴a ＝12.故选A.(法二)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．又f (x )＝x2x 2＋－2a x －a ，则－x 2x 2－－2a x －a ＝－x 2x 2＋－2a x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.故选 A.答案：A 6．(2013·福建三明质检)若函数f (x )的定义域为R ，那么“∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据充分条件的定义，由“∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)”不能推出“f (x )为奇函数”，反之，由“f (x )为奇函数”可得“∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)”．故选B.答案：B7. (2013·浙江重点中学协作体摸底测试)函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是( )A ．(－a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(a ，－f (a ))D ．(－a ，－f (－a ))解析：函数的定义域为R ，且满足f (x )＝f (－x )， ∴f (x )为偶函数．∴f (a )＝f (－a )．而点(a ，f (a ))在函数图象上， ∴(a ，f (－a ))也在函数图象上．故选B. 答案：B8. (2012·莆田质检)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1＋2x，则f (－log 23)的值等于( )A ．－4B ．2C ．3D ．4解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(1＋2－x)， ∴f (－log 23)＝－(1＋2log 23)＝－(1＋3)＝－4.故选A. 答案：A9．(2013·重庆九校联合诊断)已知f (x )＝ax 3＋b sin x ＋9(a ，b ∈R )，且f (－2 013)＝7，则f (2 013)＝( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：由f (－2 013)＝a (－2 013)3＋b sin(－2 013)＋9＝7，得a 2 0133＋b sin 2 013＝2，所以f (2 013)＝a 2 0133＋b sin 2 013＋9＝2＋9＝11.故选A.答案：A10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．解析：由已知等式得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数，所以f (6)＝f (2)，由f (x ＋2)＝－f (x )得f (2)＝－f (0)，因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (6)＝0.答案：011．(2012·银川一中月考)函数f (x )对于任意实数x 满足条件 f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________________.解析：由f (x ＋2)＝1f x ，得f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的函数，f (5)＝f (1)＝－5，f (－5)＝f (－1)＝1f －1＋＝1f＝－15.答案：－1512．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2 015)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (2 015)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)<－1， ∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，2313．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．解析：(1)易知f (1)＝1，f (－1)＝1－m ，又∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．∴1－m ＝－1.∴m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1.∴1＜a ≤3.故实数a 的取值范围是(1,3]．14．(2013·四川泸州模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围图形的面积．解析：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，从而得f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。
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多维层次练9[A级基础巩固]1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是()A．y＝－1x B．y＝2x－2－xC．y＝sin x D．y＝x|x|解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数．答案：BD2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．－2 B．－1 C．1 D．2解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.答案：C3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是()A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝12D．x＝－12解析：因为函数y ＝f (2x －1)是偶函数，所以函数y ＝f (2x －1)的图象关于y 轴对称，因为函数y ＝f (2x ＋1)的图象是由函数y ＝f (2x －1)的图象向左平移一个单位得到，故y ＝f (2x ＋1)的图象关于x ＝－1对称．答案：A4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．因为－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2，所以f (2 021)＝－f (－1)＝－2.答案：C5．(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，因为奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，所以g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二(特殊化) 取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .答案：C6．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4) B ．(－2，0) C ．(－1，0) D ．(－1，2)解析：因为f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，所以f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，因为f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，所以2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4.答案：A7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，则f (1)＝________，f (0)＋f (－1)＝________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋1，则f (1)＝2，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2，f (0)＝0，故f (0)＋f (－1)＝－2.答案：2 －28．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的周期函数，所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.答案：69．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．(1)证明：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋3)＝－f (－x )＝f (x )，因此函数y ＝f (x )是以3为周期的函数．(2)解：由f (x )是定义在R 上的奇函数，知f (0)＝0，所以f (3)＝f (0)＝0，又f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.故f (2)＋f (3)＝－2＋0＝－2.(3)解：因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，所以a ＝0.[B 级 能力提升]11．(2020·衡水中学质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －cos x ，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0193<f (2 018) B ．f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192 C ．f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203<f (2 018) 解析：因为f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋2)＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期为4.因此f (2 018)＝f (2)＝f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23. 又x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －cos x 单调递增，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23， 故f (2 018)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0203. 答案：C12．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________．解析：因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ），所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f （x ＋2）＝11f （x ）＝f (x )， 则函数f (x )的周期为4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1），得f (1)＝1f （1）. 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.答案：113．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. [C 级 素养提升]14．(多选题)(2020·山东四校联考)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x －1)为奇函数D ．函数f (x －3)为偶函数解析：偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，即为f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )的最小正周期为4，故A 错，B 正确．由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋1)＝－f (x －1)．又f (－x －1)＝f (x ＋1)，则f (－x －1)＝－f (x －1)，故f (x －1)为奇函数，C 正确．由f (－x －3)＝f (x ＋3)，若f (x －3)为偶函数，即有f (－x －3)＝f (x －3)，得f (x ＋3)＝f (x －3)，所以f (x ＋6)＝f (x )．可得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D 不正确． 答案：BC素养培育数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论(自主阅读)1．奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.[典例1] 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：显然函数f (x )的定义域为R.f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， 所以g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案：22．抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.[典例2]已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝()A．3 B．2 C．1 D．0解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1. 答案：C3．抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b 2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．[典例3]函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－3，1]B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－4，2]D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：由于f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，因此函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．由f(x)在[1，＋∞)上递减，知f(x)在(－∞，1]上递增．又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，若m＋2≤1时，f(m＋2)≥f(x－1)对x∈[－1，0]恒成立．则m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，所以－3≤m≤－1；①若m＋2>1时，f(m＋2)≥f(x－1)＝f(3－x)．所以m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，则－1<m≤1.②由①②知，实数m的取值范围是[－3，1]．答案：A[典例4]函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)－f(2 020)＝0所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.答案：4。