2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
每日一学：辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答
每日一学：辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答答案辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2019铁西.九上期末) 如图，抛物线y ＝ x +bx+c 过点A （2，0）和B （3，3）.（1） 求抛物线的表达式；（2） 点M 在第二象限的抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO.①直线BM 交x 轴于点N ，求线段ON 的长；②延长BO 交抛物线于点C ，点P 是平面内一点，连接PC 、OP ，当△POC ∽△MOB 时，请直接写出点P 的坐标.考点： 待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题;~~ 第2题 ~~(2019铁西.九上期末) 如图，抛物线C ：y ＝x ﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，将抛物线C 向上平移1个单位得到抛物线C ， 点Q （m ，n ）在抛物线C 上，其中m ＞0且n ＜0，过点P 作PQ ∥y 轴交抛物线C 于点P ，点M 是x 轴上一点，当以点P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOQ 全等时，点M 的横坐标为________.~~ 第3题 ~~(2017汶上.八下期末) 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A . 选①②B . 选①③C . 选②④D . 选②③辽宁省沈阳市铁西区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：2121221解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：D解析：。
精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（）A. 15n cm B.1252n cm C. 5ｎcm D. 252n cm【答案】C【解析】【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形，故选B．【点睛】简单组合体的三视图．从上边看得到的图形是俯视图．3.有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）A. 12B.13C.23D.59【答案】D【解析】【分析】可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案. 【详解】根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，则记录的两个数字乘积是正数的概率是59；故选：D．【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键.4.若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（）A. 20cmB. 18cmC. 16cmD. 12cm【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.【详解】∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长＝4×5＝20cm．故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.5.一元二次方程()2x616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x64+=，则另一个一元一次方程是【 】A. x 64-=-B. x 64-=C. x 64+=D. x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ． 6.如图，ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判断ADE ACB ∆∆:的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AD AE AC AB =D. AD DE AC BC= 【答案】D【解析】【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∠ADE=AC ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；B. AED B ∠=∠，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；C.AD AE ACAB =，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故此选项错误； D. AD DE AC BC=，不能判定△ADE ∽△ACB ，故此选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A. （x+1）（x+2）=18B. x 2﹣3x+16=0C. （x ﹣1）（x ﹣2）=18D. x 2+3x+16=0【答案】C【解析】 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上，若AB ＝1，则k 的值为（ ）A. 1B. ﹣1 2 D. 2-【答案】A【解析】【分析】 根据“等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1”可知∠BAC＝∠BAO＝45°，继而可知OA ，OB 与AC 的长，从而可以确定点C 的坐标，然后根据点C 在函数图像上，代入求解即可.【详解】∵等腰直角三角形ABC 顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB ＝22，AC ＝2， ∴点C 的坐标为222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝，， ∵点C 在函数()0k y x x=<的图象上， ∴()2212k =-⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点C 的坐标是解题的关键.9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）A. 10个B. 12 个C. 15 个D. 18个【答案】B【解析】试题分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，∴有80次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，3÷=12（个）． 故选B ．点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，图象与x 轴交点都在点（﹣3，0）的右边，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＞0，③2a +b ﹣c ＞0，④a +b +c ＜0，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①②④C. ②③D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据图像与x 轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根，所以V >0，可判断①；根据图像开口放向，对称轴与y 轴的关系和与y 轴的交点在正半轴可判断a ，b ，c 的正负，从而可以判断②；根据对称轴为x=-1可判断③；然后即可选出答案.【详解】①由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，则b 2＞4ac ，故符合题意；②由图可知，抛物线对称轴在y 轴左侧，则a 、b 同号，即ab ＞0．又抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＞0，故符合题意；根据对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2可判断④. ③由图可知，对称轴x ＝2b a＝﹣1，则b ＝2a ． ∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ，∵a＜0，4a ＜0，c ＞0，﹣c ＜0，∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ＜0，故不符合题意；④∵对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2，∴抛物线与x 轴另一个交点0＜x 2＜1，当x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，故符合题意；综上所述，正确的结论是：①②④．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关键.二．填空题（共6小题）11.将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．【答案】22()1y x =-+【解析】【分析】利用配方法整理即可得解．【详解】解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O 和点P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．【答案】P．【解析】【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．故答案为：P．【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心.13.反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝_____．【答案】3．【解析】【分析】根据“将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q”可知点Q的坐标，再根据P，Q都在函数图像上即可解得n的值.【详解】∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．∴点Q的坐标为（3，n﹣1），依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），解得：n＝3，故答案：3．【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减的变化是解题的关键.14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 【答案】4【解析】【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，故答案为4．【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为_____cm2．【答案】54.【解析】【分析】根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可.【详解】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案为：54.【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题的关键.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD 的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为_____．【答案】3310或5﹣342．【解析】【分析】分三种情况讨论：①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，连接OA，根据勾股定理可求BD，根据点O是中点可知OD＝OB＝OA，进而可证得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，继而可知AE=AD-OD；③OD＝OEE与点A重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案.【详解】①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD ＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD34∵O是BD中点，∴OD＝OB＝OA＝342，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE＝DE，∴∠EOD＝∠ODE，∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DO DE AD DO =，∴DO 2＝DE•DA，∴设AE ＝x ，∴DE＝5﹣x ，∴234⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝5（5﹣x ），∴x＝3310，即：AE ＝3310；②如图2，当DE ＝OD ＝342时，当△OED 是等腰三角形， ∴AE＝534③当OD ＝OE ＝342时，当E 与点A 重合，不合题意舍去，综上所述，当△OED 是等腰三角形时，AE 的长为3310或534故答案为：3310或5-342．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键.三．解答题（共9小题）17.如果23xy=，那么+-x yx y ＝________．【答案】-5．【解析】【分析】把23x y =变形为23y x =，代入比例式即可求解答案． 【详解】解：∵23x y = ∴23y x = ∴23523y y x y y x y y ++==---． 考点：比例的性质．18.解方程:x 2－5x ＋1=0.【答案】x=2±3【解析】试题分析：先找出a ，b ，c ，求出△=b 2-4ac 的值，再代入求根公式x=242b b c a a -±-计算即可． 试题解析：∵a=1，b=−5，c=1，△=b 2−4ac=25−4=21，∴x=5212±， ∴x 1=5212+，x 2=5212-. 19. 如图，点E ，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE=AF ，分别以点E ，F 为圆心，以AE 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接DE ，DF ．（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接EF ，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF 的长．【答案】（1）详见解析（2）EF= 8【解析】【分析】（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形，（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长.【详解】解：（1）菱形，理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米.20.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．【答案】关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为12．【解析】【分析】根据树状图可以得出共有12种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有6种情况，从而的得出答案.【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果数有6，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c ＝0有实数根的概率61122=． 【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出ac 的范围是解题的关键.21.如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）一次函数y ＝x ﹣3的图象与x 轴交于点M ，连接OB ，求△OBM 的面积；（3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）△OBM 的面积为6；（3）点P 的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）． 【解析】【分析】（1）根据点B 在一次函数上可以求出点B 的坐标，在将点B 代入反比例函数中即可求出反比例表达式；（2）先确定点M 的坐标，再结合点B 的坐标即可求出△OBM 的面积；（3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点A 坐标，再根据点P 在第一象限反比例函数上，可设点P 坐标为（m ，4m ）（m ＞0），从而可知点C 的坐标，根据两点之间的距离公式可知PC 之间的距离，再根据三角形的面积公式列式解答即可.【详解】（1）将B （a ，﹣4）代入一次函数y ＝x ﹣3中得：a ＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B （﹣1，﹣4）代入反比例函数()0k y k x=≠中得：k ＝4∴反比例函数的表达式为4 yx=；（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），∴OM＝3，∵B（﹣1，﹣4），∴△OBM的面积：134=62⨯⨯（3）解34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩得14xy=-⎧⎨=-⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴A（4，1）如图：设点P 的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴()43PC m m=--，点O到直线PC的距离为m ∴△POC的面积＝()14332m m m⨯--=解得：m＝5或﹣2或1或2 ∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0 ∴m＝5或1或2 ∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键.22.如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 垂足为点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ，连接NF ．（1）判断线段MN 与线段BM 的位置关系与数量关系，说明理由；（2）如果CD ＝5，求NF 的长．【答案】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由见解析；（2）NF ＝52． 【解析】【分析】（1）根据AB=AC ，点M 是BC 的中点，可证MN⊥BM，AM 平分∠BAC，再根据BN 平分∠ABE 可得出∠MNB 的度数，从而可得MN=BM ；（2）连接FM ，可证FM∥AC，FM ＝12AC ，从而可得12FM BD =，结合（1）可得12MN BC =，再根据等式的性质通过倒角的关系可知∠NMF＝∠CBD，从而可证△MFN∽△BDC，从而即可求出答案.【详解】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由如下：∵AB＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC，即MN⊥BM，∵BN 平分∠ABE，∴∠EBN＝∠ABN，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝12（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC， ∴∠MBN＝45°＝∠MNB，∴MN＝BM；（2）连接FM，∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12 AC，∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即12FMBD=，由（1）知△BMN是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝12BC，即12MNBC=，∴FM MN BD BC=，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，且FM MN BD BC=，∴△MFN∽△BDC，∴12FN MNCD BC==，且CD＝5，∴F N＝52．【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键.23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）2160y x =-+；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．24.△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 是平面内不与点A 和点B 重合的一点，连接DB ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ．（1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，AE CD 的值是 ；直线AE 与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求AE CD 的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝12S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，BE CD 的值．【答案】（1）1，60；（2）∠AMC ＝45°；（3）BE CD的值为22或2． 【解析】【分析】 （1）延长AE ，CD 交于点H ，根据旋转的性质可知DE=BD ，∠BDE=60°，从而可知△BDE，从而可证△ABE≌△CBD，从而可知AE CD，再根据角的关系即可求出∠AHB； （2）先证△ABE∽△CBD，可以得到2AE AB CD CB ==的度数； （3）分两种情况讨论即可：①点D ，点A 在直线BC 两侧，②点A ，点D 在直线BC 同侧.【详解】（1）如图1，延长AE ，CD 交于点H ，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD＝BE ，∠DBE＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC ，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE ＝BD ，AB ＝BC ， ∴△ABE≌△CBD（SAS ）∴AE＝CD ，∠DCB＝∠BAE， ∴AECD ＝1，∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC ，∠ACB＝90°， 2BC ，∠ABC＝45°，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝90°， 2BD ，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBD，且2ABBEBC BD ==，∴△ABE∽△CBD， ∴2AEABCD CB ==，∠BAE＝∠BCD，∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）①若点D ，点A 在直线BC 两侧，如图3，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S V V ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点， ∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线， ∴∠CDB＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE+DE 2+1）BD ，∴22221BECD==-+；②若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵12ABD ABCS SV V＝，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE2BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CD B＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE2BD，∴CD＝CE﹣DE2﹣1）BD，∴22221BE CD==-综上所述：BE CD的值为22-22+．【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.25.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a ＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y 3253x3；（3）y332153x33．【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.【详解】（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，∵点A在点B的左边故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°当CD∥x轴时，∠DCO=90°∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，则OC ＝OAtan60°=3，故点C （0，3）， 即3＝4a ，解得：a ＝3， 故抛物线的表达式为：2353344y x x =-+； （3）如图，过点D 作DE⊥AC 于点E ，过点D 作x 轴的垂线于点H ，过点E 作EF∥x 轴交y 轴于点F 交DH 于点G ，∵△ACD 为等边三角形，则点E 为AC 的中点，则点E （12，2a ），AE ＝CE 3ED ， ∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF， ∴△CFE∽△EGD，∴3CF CE EF EG ED DG ===EF ＝12，CF ＝2a ， 解得：GE ＝23，DG 3D （133,22a ++）， BD 2＝（2221333332342162a a ⎛⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故当a 33BD 最小， 故抛物线的表达式为：y ＝23315333882x x -+． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质，二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝33．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．15．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5187．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝98．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝5079．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k＝6，∴反比例解析式为y＝，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率不同，错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，错误；故选：A．【点评】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C ＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2＝507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∵OM∥AB∴OM∥CD∴，且AO＝AC，OM＝3∴CD＝6，在Rt△ADC中，AC＝＝10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2+4．【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，此抛物线的顶点坐标为（1，2），把点（1，2）向上平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4．故答案为：y＝（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而△ADE得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，△ADE∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×+4×﹣（）2+1＝+2﹣+1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．【分析】列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【解答】解：画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k 的值；（Ⅱ）先分别求出x＝1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）先根据勾股定理计算BP，再求t的值．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理是解题的关键．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）【分析】（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN＝xm．想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．【解答】解：（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN ＝xm．在Rt△PCM中，PM＝x•tan32.3°＝0.63x（m），在Rt△PDN中，PN＝x•tan55.7°＝1.47x（m），∵CD＝MN＝42m，∴1.47x﹣0.63x＝42，∴x＝50，∴AB的长为50m．（2）由（1）可知：PM＝31.5m，∴AD＝90﹣42﹣31.5＝16.5（m），AC＝90﹣31.5＝58.5，∵16.5÷3＝5.5，58.5÷3＝19.5，∴冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、（本题10分）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【分析】（1）根据题意，设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，所以商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，即y＝（40﹣x）（20+2x）；（2）用“配方法”求出y的最大值，并求出每件衬衫的降价钱数．【解答】解：（1）设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800；（2）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x+225）+800+450＝﹣2（x﹣15）2+1250所以当x＝15时，y的最大值为1250，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每件衬衫的利润以及销量是解题关键．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4﹣x，＝•x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴S△BMN∵﹣＜0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．∴EG＝m+m＝（1+）m，∵S＝•EG•BN＝•BG•EH，△BEG∴EH＝＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式（2）把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），利用题意得到|x2﹣3x|＝1，然后•解绝对值方程即可；（4）若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图，证明∠DBH＝∠MBG，再计算出tan∠MBG＝＝tan∠DBH＝，则BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），所以t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，然后解t的方程得到此时D点的横坐标．若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，则GB′＝1，所以G（2，4），接着求出直线BG的解析式为y＝x+3，然后解方程组得D点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把B（0，3）代入得a•（0﹣3）•（0+1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）∵DE＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|x2﹣3x|∴|x2﹣3x|＝1，解方程x2﹣3x＝1得x1＝，x2＝；解方程x2﹣3x＝﹣1得x1＝，x2＝，∴D点的横坐标为或或或；（4）存在．抛物线的对称轴为直线x＝1，则M（1，0），若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图2，∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，AB＝3，∴∠HBA＝45°，∴∠DBH＝∠MBG，在Rt△AMG中，AG＝MG＝AM＝，∴BG＝2，在Rt△MBG中，tan∠MBG＝＝＝，在Rt△DBH中，tan∠DBH＝＝，∴BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），∴t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，整理得2t2﹣5t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D点坐标为（，），若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，∴tan∠GBB′＝＝，∴GB′＝1，∴G（2，4），易得直线BG的解析式为y＝x+3，解方程组得或，∴D点坐标为（，），综上所述，D点的横坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
铁西初三期末数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则b的值为：A. 0B. -1C. 1D. 0或1答案：A解析：由等差数列的性质可知，a+b+c=3b=0，解得b=0。
2. 下列各式中，能表示一元二次方程x^2-5x+6=0的根的判别式为：A. Δ=5^2-4×1×6B. Δ=5^2-4×2×6C. Δ=5^2-4×1×5D. Δ=5^2-4×2×5答案：A解析：一元二次方程的判别式为Δ=b^2-4ac，代入系数得Δ=5^2-4×1×6。
3. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为：A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）答案：A解析：点A（2，3）关于直线y=x的对称点，横纵坐标互换，得（3，2）。
4. 若等比数列的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9答案：B解析：等比数列的公比q=第二项/第一项=6/2=3。
5. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像与x轴的交点坐标为：A.（2，0）B.（0，2）C.（1，3）D.（3，1）答案：A解析：令f(x)=0，解得x=2，即图像与x轴的交点坐标为（2，0）。
6. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D解析：由勾股定理可知，a^2+b^2=c^2，代入a=3，b=4，c=5，得3^2+4^2=5^2，因此三角形ABC为直角三角形，角A为90°。
7. 下列函数中，为奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，代入选项B，得f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，符合奇函数的定义。
辽宁省2019-2020学年九年级上学期数学期末考试试卷B卷
辽宁省2019-2020学年九年级上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本题共12小题。
每题3分，满分36分) (共12题；共36分)1. （3分） (2019九上·西城期中) 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（）A . 1B .C .D .2. （3分）下面四个图中的角，为圆心角的是（）A .B .C .D .3. （3分）下列说法正确的是（）A . 随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上B . 从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大C . 某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖D . 打开电视，中央一套正在播放新闻联播4. （3分）在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒首尾相接，组成一个三角形的是（）A . 4cmB . 5cmC . 9cmD . 13cm5. （3分）(2017·北仑模拟) 如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：，把矩形ABCD对折，使CD与AB 重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A . 4B . 4C . 2D . 16. （3分）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（）A . 50°B . 55°C . 60°D . 65°7. （3分） (2016九上·山西期末) 在的图象中，阴影部分面积不为1的是（）A .B .C .D .8. （3分）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A . (-3,-4)B . (-3,-3)C . (-4,-4)D . (-4,-3)9. （3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，对角线AC ， BD相交于点O ，若AD=1，BC=3，则的值为（）A .B .C .D .10. （3分）已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3．A . 1B . 2C . 3D . 411. （3分）(2017·苏州) 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（）A .B .C .D .12. （3分） (2020九下·无锡月考) 已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题(本题共5小题，每题3分，满分15分) (共5题；共15分)13. （3分）已知cosB=,则∠B=114. （3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为________ .15. （3分） (2016九上·玉环期中) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________．16. （3分） (2020九上·莘县期末) 如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ________。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．08．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．24．（12分）在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，则sin A＝＝．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y＝（x﹣）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．0【分析】由小颖周末到公园走到十字路口处，则可知共有3条路供选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小颖周末到公园走到十字路口处，∴她能一次选对路的概率是：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为3：5．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：5．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是10cm．【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面BC的坡比以及铅直高度AC的值，通过解直角三角形即可求出斜面BC的长．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tan B＝1：；∴AB＝AC÷tan B＝5m，∴BC＝＝5＝10m．答：坡面BC的长度是10m，故答案为：10cm．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是根据已知条件求出AB．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a＝3，解得：a＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣2，4），设y＝a（x+4）（x﹣4），把D（﹣2，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4），得4＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB＝1﹣（﹣）＝．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x＝2的距离为2，∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．故答案是：．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为2﹣或2+或．【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P 在线段AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．【解答】解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣6×﹣×＝﹣2﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【分析】画出树状图即可解决问题．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长16．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，等量代换得到AD＝CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，∵sin∠CAD＝，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝3，∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．五、（本题10分）22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x ≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝6，b＝5；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△OBC与△OBA的面积比为2：3，可推出＝，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出CM＝4，即为点C的纵坐标，把y＝4代入y＝x+5中，可求出点C坐标；（3）过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，由旋转可知S△OBC ＝S△OB'C′，可求出B'F＝，在Rt△OB'F中，通过勾股定理求出OF的长度，即可写出点B'的坐标，将其坐标代入y＝可知没有落在函数y＝（x＞0）的图象上．【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝6，故答案为：6，5；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△OBC与△OBA的面积比为2：3，∴＝，又∵点A的坐标为（1，6），∴AN＝6，∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，把y＝4代入y＝x+5中，得，x＝﹣1，∴C（﹣1，4）；（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，如图2，过点B '作B 'F ⊥x 轴，垂足为F ，∵S △OBC ＝S △OB 'C ′，由一次函数y ＝x +5可知B （﹣5，0），∴OB •CE ＝OC '•B 'F ，即5×4＝B 'F ， ∴B 'F ＝，在Rt △OB 'F 中，∵OF ＝＝＝，∴B '的坐标为（，）， ∵×≠6， ∴点B '不在函数y ＝的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．七、（本题12分）24．（12分）在正方形ABCD 中，点E 是直线AB 上动点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．【分析】（1）①由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；②过点N作NP∥DE，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出GM＝3MF，PN＝MF，即可求解；（2）利用勾股定理可求DE，GN的长，即可求解．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝【点评】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．【分析】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C （0，2）代入可得：a＝﹣，即可求解；（2）只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+KG的最小值为10．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
铁西初三期末数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共25分）1. 如果a > b，那么下列哪个不等式一定成立？A. a + 1 > b + 1B. a - 1 > b - 1C. a / 2 > b / 2D. a 2 > b 2答案：A2. 下列哪个数是负数？A. 2的平方根B. -3的平方根C. 3的立方根D. 4的立方根答案：B3. 一个数的倒数是它的相反数，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：B4. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点是：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A5. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = log2x答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. √(16 - 9) = _______答案：√77. 2x - 5 = 3x + 1的解是 x = _______答案：-68. 若a + b = 5，a - b = 3，则a = _______，b = _______答案：4，19. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠B = 40°，则∠C = _______答案：140°10. 下列哪个数是正数？A. -5B. -√9C. √4D. -√4答案：C三、解答题（每题10分，共40分）11. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - y = 1\end{cases}\]答案：将第二个方程变形为 x = y + 1，代入第一个方程得：2(y + 1) + 3y = 82y + 2 + 3y = 85y = 6y = 1.2将y的值代入 x = y + 1 得：x = 1.2 + 1x = 2.2所以，方程组的解为 x = 2.2，y = 1.2。
12. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(-1) 和 f(2) 的值。
364.(各地真题)辽宁省沈阳市铁西区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（）A. 15n cm B.1252n cm C. 5ｎcm D. 252n cm【答案】C【解析】【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形，故选B．【点睛】简单组合体的三视图．从上边看得到的图形是俯视图．3.有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）A. 12B. 13C. 23D. 59【答案】D【解析】【分析】可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案.【详解】根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，则记录的两个数字乘积是正数的概率是59； 故选：D ．【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键.4.若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为（ ）A. 20cmB. 18cmC. 16cmD. 12cm【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.【详解】∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm ，∴菱形的周长＝4×5＝20cm ．故选：A ．【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.5.一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是【 】A. x 64-=-B. x 64-=C. x 64+=D. x 64+=- 【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．6.如图，ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判断ADE ACB ∆∆的是（ ）A. ADE C ∠=∠B. AED B ∠=∠C. AD AE AC AB =D. AD DE AC BC= 【答案】D【解析】【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∠ADE=AC ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；B. AED B ∠=∠，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故此选项错误；C.AD AE ACAB =，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故此选项错误； D. AD DE AC BC=，不能判定△ADE ∽△ACB ，故此选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A. （x+1）（x+2）=18B. x 2﹣3x+16=0C. （x ﹣1）（x ﹣2）=18D. x 2+3x+16=0【答案】C【解析】 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上，若AB ＝1，则k 的值为（ ）A. 1B. ﹣1 2 D. 2-【答案】A【解析】【分析】 根据“等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1”可知∠BAC＝∠BAO＝45°，继而可知OA ，OB 与AC 的长，从而可以确定点C 的坐标，然后根据点C 在函数图像上，代入求解即可.【详解】∵等腰直角三角形ABC 顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB ＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB ＝22，AC ＝2， ∴点C 的坐标为222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝，， ∵点C 在函数()0k y x x=<的图象上， ∴()2212k =-⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点C 的坐标是解题的关键.9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）A. 10个B. 12 个C. 15 个D. 18个【答案】B【解析】试题分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，∴有80次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，3÷=12（个）． 故选B ．点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，图象与x 轴交点都在点（﹣3，0）的右边，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＞0，③2a +b ﹣c ＞0，④a +b +c ＜0，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①②④C. ②③D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据图像与x 轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根，所以>0，可判断①；根据图像开口放向，对称轴与y 轴的关系和与y 轴的交点在正半轴可判断a ，b ，c 的正负，从而可以判断②；根据对称轴为x=-1可判断③；然后即可选出答案.【详解】①由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，则b 2＞4ac ，故符合题意；②由图可知，抛物线对称轴在y 轴左侧，则a 、b 同号，即ab ＞0．又抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＞0，故符合题意；根据对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2可判断④. ③由图可知，对称轴x ＝2b a＝﹣1，则b ＝2a ． ∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ，∵a＜0，4a ＜0，c ＞0，﹣c ＜0，∴2a+b﹣c ＝4a ﹣c ＜0，故不符合题意；④∵对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴一个交点﹣3＜x 1＜﹣2，∴抛物线与x 轴另一个交点0＜x 2＜1，当x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，故符合题意；综上所述，正确的结论是：①②④．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关键.二．填空题（共6小题）11.将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．【答案】22()1y x =-+【解析】【分析】利用配方法整理即可得解．【详解】解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O 和点P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．【答案】P．【解析】【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．故答案为：P．【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心.13.反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝_____．【答案】3．【解析】【分析】根据“将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q”可知点Q的坐标，再根据P，Q都在函数图像上即可解得n的值.【详解】∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．∴点Q的坐标为（3，n﹣1），依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），解得：n＝3，故答案：3．【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减的变化是解题的关键.14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 【答案】4【解析】【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【详解】解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，故答案为4．【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为_____cm2．【答案】54.【解析】【分析】根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可.【详解】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案为：54.【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题的关键.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD 的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为_____．【答案】3310或5﹣342．【解析】【分析】分三种情况讨论：①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，连接OA，根据勾股定理可求BD，根据点O是中点可知OD＝OB＝OA，进而可证得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，继而可知AE=AD-OD；③OD＝OEE与点A重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案.【详解】①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD ＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD34∵O是BD中点，∴OD＝OB＝OA＝342，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE＝DE，∴∠EOD＝∠ODE，∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DO DE AD DO =，∴DO 2＝DE•DA， ∴设AE ＝x ，∴DE＝5﹣x ，∴234⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝5（5﹣x ）， ∴x＝3310， 即：AE ＝3310；②如图2，当DE ＝OD ＝342时，当△OED 是等腰三角形， ∴AE＝534 ③当OD ＝OE ＝342时，当E 与点A 重合，不合题意舍去， 综上所述，当△OED 是等腰三角形时，AE 的长为3310或534 故答案为：3310或5-342． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键.三．解答题（共9小题）17.如果23x y =，那么+-x y x y＝________． 【答案】-5．【解析】【分析】把23x y =变形为23y x =，代入比例式即可求解答案． 【详解】解：∵23x y = ∴23y x = ∴23523y y x y y x y y ++==---． 考点：比例的性质．18.解方程:x 2－5x ＋1=0.【答案】x=2±3【解析】试题分析：先找出a ，b ，c ，求出△=b 2-4ac 的值，再代入求根公式x=242b b c a a -±-计算即可． 试题解析：∵a=1，b=−5，c=1，△=b 2−4ac=25−4=21，∴x=5212±， ∴x 1=5212+，x 2=5212-. 19. 如图，点E ，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE=AF ，分别以点E ，F 为圆心，以AE 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接DE ，DF ．（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接EF ，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF 的长．【答案】（1）详见解析（2）EF= 8【解析】【分析】（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形，（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长.【详解】解：（1）菱形，理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米.20.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．【答案】关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为12．【解析】【分析】根据树状图可以得出共有12种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有6种情况，从而的得出答案.【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果数有6，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c ＝0有实数根的概率61122=． 【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出ac 的范围是解题的关键.21.如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）一次函数y ＝x ﹣3的图象与x 轴交于点M ，连接OB ，求△OBM 的面积；（3）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）△OBM 的面积为6；（3）点P 的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）． 【解析】【分析】（1）根据点B 在一次函数上可以求出点B 的坐标，在将点B 代入反比例函数中即可求出反比例表达式；（2）先确定点M 的坐标，再结合点B 的坐标即可求出△OBM 的面积；（3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点A 坐标，再根据点P 在第一象限反比例函数上，可设点P 坐标为（m ，4m ）（m ＞0），从而可知点C 的坐标，根据两点之间的距离公式可知PC 之间的距离，再根据三角形的面积公式列式解答即可.【详解】（1）将B （a ，﹣4）代入一次函数y ＝x ﹣3中得：a ＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B （﹣1，﹣4）代入反比例函数()0k y k x=≠中得：k ＝4∴反比例函数的表达式为4 yx=；（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），∴OM＝3，∵B（﹣1，﹣4），∴△OBM的面积：134=62⨯⨯（3）解34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩得14xy=-⎧⎨=-⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴A（4，1）如图：设点P 的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴()43PC m m=--，点O到直线PC的距离为m ∴△POC的面积＝()14332m m m⨯--=解得：m＝5或﹣2或1或2 ∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0 ∴m＝5或1或2 ∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键.22.如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 垂足为点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ，连接NF ．（1）判断线段MN 与线段BM 的位置关系与数量关系，说明理由；（2）如果CD ＝5，求NF 的长．【答案】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由见解析；（2）NF ＝52． 【解析】【分析】（1）根据AB=AC ，点M 是BC 的中点，可证MN⊥BM，AM 平分∠BAC，再根据BN 平分∠ABE 可得出∠MNB 的度数，从而可得MN=BM ；（2）连接FM ，可证FM∥AC，FM ＝12AC ，从而可得12FM BD =，结合（1）可得12MN BC =，再根据等式的性质通过倒角的关系可知∠NMF＝∠CBD，从而可证△MFN∽△BDC，从而即可求出答案.【详解】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN ＝BM ，理由如下：∵AB＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC，即MN⊥BM，∵BN 平分∠ABE，∴∠EBN＝∠ABN，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝12（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC， ∴∠MBN＝45°＝∠MNB，∴MN＝BM；（2）连接FM，∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12 AC，∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即12FMBD=，由（1）知△BMN是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝12BC，即12MNBC=，∴FM MN BD BC=，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，且FM MN BD BC=，∴△MFN∽△BDC，∴12FN MNCD BC==，且CD＝5，∴F N＝52．【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键.23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）2160y x =-+；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．24.△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 是平面内不与点A 和点B 重合的一点，连接DB ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ．（1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，AE CD 的值是 ；直线AE 与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求AE CD 的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝12S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，BE CD 的值．【答案】（1）1，60；（2）∠AMC ＝45°；（3）BE CD的值为22或2． 【解析】【分析】 （1）延长AE ，CD 交于点H ，根据旋转的性质可知DE=BD ，∠BDE=60°，从而可知△BDE，从而可证△ABE≌△CBD，从而可知AE CD，再根据角的关系即可求出∠AHB； （2）先证△ABE∽△CBD，可以得到2AE AB CD CB ==的度数； （3）分两种情况讨论即可：①点D ，点A 在直线BC 两侧，②点A ，点D 在直线BC 同侧.【详解】（1）如图1，延长AE ，CD 交于点H ，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD＝BE ，∠DBE＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC ，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE ＝BD ，AB ＝BC ，∴△ABE≌△CBD（SAS ）∴AE＝CD ，∠DCB＝∠BAE， ∴AE CD＝1， ∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC ，∠ACB＝90°， 2BC ，∠ABC＝45°，∵将线段DB 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ， ∴DE＝BD ，∠BDE＝90°， 2BD ，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBD，且2AB BE BC BD==，∴△ABE∽△CBD， ∴2AE AB CD CB==，∠BAE＝∠BCD， ∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE， ∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）①若点D ，点A 在直线BC 两侧，如图3，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点， ∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线， ∴∠CDB＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE+DE 2+1）BD ，∴22221BE CD ==-+； ②若点A ，点D 在直线BC 同侧，如图4，分别取AC ，BC 中点G ，H ，连接GH ，∵12ABD ABC S S ＝，∴点D 在直线GH 上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE 2BD ，∵点G ，点H 分别是AC ，BC 的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C 、E 、D 三点共线，∴∠CD B ＝90°，且点H 是BC 中点，∴DH＝CH ＝BH ，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE 2BD ，∴CD＝CE ﹣DE 2﹣1）BD ，∴22221BE CD ==- 综上所述：BE CD 的值为22-22+． 【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.25.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a ＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y 3253x3；（3）y332153x33．【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.【详解】（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，∵点A在点B的左边故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°当CD∥x轴时，∠DCO=90°∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，则OC ＝OAtan60°=3，故点C （0，3）， 即3＝4a ，解得：a ＝3， 故抛物线的表达式为：2353344y x x =-+； （3）如图，过点D 作DE⊥AC 于点E ，过点D 作x 轴的垂线于点H ，过点E 作EF∥x 轴交y 轴于点F 交DH 于点G ，∵△ACD 为等边三角形，则点E 为AC 的中点，则点E （12，2a ），AE ＝CE 3ED ， ∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF， ∴△CFE∽△EGD，∴3CF CE EF EG ED DG ===EF ＝12，CF ＝2a ， 解得：GE ＝23，DG 3D （133,22a ++）， BD 2＝（2221333332342162a a ⎛⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故当a 33BD 最小， 故抛物线的表达式为：y ＝23315333882x x -+． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质，二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
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2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分)
1．（2分）在比例尺为1：n 的某市地图上，A ，B 两地相距5cm ，则A 、B 之间的实际距离
为（ ）
A ．15ncm
B ．125n 2cm
C ．5ncm
D ．25n 2cm
2．（2分）如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2分）有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡
片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．23
D ．59 4．（2分）若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．16cm
D ．12cm
5．（2分）一元二次方程（x +6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程
是x +6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）
A ．x ﹣6＝﹣4
B ．x ﹣6＝4
C ．x +6＝4
D ．x +6＝﹣4
6．（2分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE 与BC 不平行，那么下
列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB 的是（ ）。