四川省大教育联盟2018届高中毕业班第三次诊断性考试理数试题

高中2017-2018学年毕业班第三次诊断性考试数理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】绘制Venn图，则：，，，D. .本题选择C选项.2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D据此可得在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3. 已知为锐角，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，据此可得：.本题选择C选项.4. 已知实数，满足不等式则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 5【答案】D...【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值5.本题选择D选项.5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：）,则该阳马的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可得，在长宽高分别为的长方体中，该几何体为如图所示的，设该几何体外接球的半径为R，由题意有：，解得：，该阳马的外接球的体积为。

本题选择B选项.6. 运行如图所示的程序，若输出的值为1，则输入的值为（）A. 0或B.C. 1D. 0【答案】A【解析】程序语句等价于分段函数：，当时：，当时：，综上可得输入的值为0或.本题选择A选项.7. 设直角坐标平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是.过点作与轴垂直的直线与曲线交于，两点，则（）A. B. C. 3 D. 9【答案】A【解析】根据题意知,轨迹E是以A,B为焦点的双曲线,方程为，x=2带入方程得：y=±3；∴，则：，求得：.本题选择A选项.8. 利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示.设从这120个正整数中任意取出一个数的最高位数字为（）的概率为，则下列选项中最能反映与的关系的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：用排除法,当时，其概率为，对于A，；对C，；对于D，均不符合，故选B.考点：频率分布直方图.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图、函数的图象及排除法.首先对于频率分布直方图要掌握频率等于频数比样本容量.其次，要能从函数的角度去理解本题.本题给出的函数关系是一个减函数，很容易看出选项C是一个先减后增的函数可以排除，其它选项也可采用类似方法.排除法是解决选择题的一个重要方法.9. 已知为正整数，函数在区间内单调递增，则函数（）A. 最小值为，其图象关于点对称B. 最大值为，其图象关于直线对称C. 最小正周期为，其图象关于点对称D. 最小正周期为，其图象关于直线对称【答案】D【解析】函数,由得：，函数在区间内单调递增，则，解得：，由于为正整数，则，函数，据此可得函数的最大值为，最小值为，最小正周期为，再结合选项逐一验证，只有D选项符合题意.本题选择D选项.10. 将正方形沿对角线折成直二面角后的图形如图所示，若为线段的中点，则直线与平面所成角的余弦为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点E作EF⊥BD，垂足为F，则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角，不妨设正方形的边长为2，则，在△ABF中，由余弦定理：，所以，在Rt△AEF中，，所以，故.点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．11. 在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C...【解析】分别以AB,AD所在直线为x轴，y轴，AB,AD方向为正方向建立直角坐标系，知,设，由得：，则，由可得：，则.则的取值范围是 .本题选择C选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．12. 已知椭圆：（）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于，两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得椭圆方程为，很显然AB斜率不存在时，t可以为任意实数，当直线的斜率存在时，设AB的方程为其中,联立直线与椭圆的方程可得：，则：由知直线PA与PB的斜率之和为0，则：，整理得：,故：,解得：.本题选择A选项.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 从0,1,2,3,4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．（结果用最简分数表示）【答案】【解析】从0,1,2,3,4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数共有个，最高位为2或4的偶数由个，最高位为1或3的偶数由个，所得两位数为偶数的概率是....14. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积.15. 在中，，，点在上，且，则__________．【答案】【解析】由余弦定理：，由正弦定理：，在△ABD中，由正弦定理：.16. 已知函数（其中）有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意：，其中，故函数只需还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当时，由得，由得，此时函数仅有一个零点；(2)当时，由可得：①时，，有，，有，时，取得极大值，时，函数取得极小值，而可知函数有两个零点，此时满足条件②时，，有，，有，函数单调递增；函数只有一个零点，不满足条件③时，，有，，有，时，取得极小值，时，函数取得极大值，而可知函数有两个零点，此时满足条件综上可得的取值范围是点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）...17. 已知数列中，，其前项和满足：（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：(1)由递推关系可得该数列为等差数列，求得公差为2，则.(2)利用数列通项公式的特点错位相减求和可得.试题解析：（Ⅰ）由题意有.所以，则有（），所以，即（）.所以，两式相加得，即（），即（，），故数列是等差数列.又，，所以公差，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则，两边同乘以得，两式相减得，即，所以.18. 第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还.若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.（参考公式：，）【答案】（1）（2）该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元....【解析】试题分析：(1)利用题意可求得回归方程为.试题解析：（Ⅰ）由数据，求得，，，，，，所以关于的线性回归方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当时，，即预计需要原材料34.2袋，因为所以，若，利润，当时，利润元；若，利润，当时，利润元；综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元.19. 如图，三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：(1)首先由题意证得平面.然后结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面；(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得平面与平面所成二面角的余弦值为.试题解析：（Ⅰ）因为侧棱底面，所以，又因为，，...所以平面，因为平面，所以，设，由，，是棱的中点.所以，，则，所以，因，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）如图所示，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，.显然是平面的一个法向量，设平面的法向量，由令，得平面的一个法向量，所以，即平面与平面所成二面角的余弦值为.点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.20. 已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点. （Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标.【答案】（1）点坐标为（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）到直线距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离得当且仅当时取最小值，（Ⅱ）解析几何中定点问题的解决方法，为以算代证，即先求出直线AB方程，根据恒等关系求定点.先设点，求出直线AP方程，与直线方程联立，解出点纵坐标为.即得点的坐标为，再根据两点式求出直线AB方程，最后根据方程对应恒成立得定点试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，则，...所以，点到直线的距离.当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分（Ⅱ）设点的坐标为，显然.当时，点坐标为，直线的方程为；当时，直线的方程为，化简得；综上，直线的方程为.与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.因为，轴，所以点的纵坐标为.因此，点的坐标为.当，即时，直线的斜率.所以直线的方程为，整理得.当，时，上式对任意恒成立，此时，直线恒过定点，当时，直线的方程为，仍过定点，故符合题意的直线恒过定点.……………………………………13分考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数（，），曲线在处的切线方程为. （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足的常数为.令函数（其中是自然对数的底数，），若是的极值点，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），.（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：(1)由导函数与切线方程的关系可得，.(2)利用题意构造新函数，结合新函数的性质即可证得；(3)由题意，当时，无极值，不符合题意；...当时，是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，可得.由题意考察函数，可得的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的导函数，由曲线在处的切线方程为，知，，所以，.（Ⅱ）令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得极小值，也即最小值，该最小值为，所以，即不等式成立.（Ⅲ）函数（），则，当时，，函数在内单调递增，无极值，不符合题意；当时，由，得，结合，在上的图象可知，关于的方程一定有解，其解为（），且当时，，在内单调递增；当时，，在内单调递减.则是函数的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，也是在上的唯一零点，即，则.所以.由于恒成立，则，即，（*）考察函数，则，所以为内的增函数，且，，又常数满足，即，所以，是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为，又函数（）为增函数，故，所以的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知，在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）；在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点的极坐标为，为直线，的交点，求的最大值....【答案】（1）详解解析；（2）2【解析】试题分析：(1)利用题意由直线一般方程的系数关系可得两直线垂直；(2)由题意求得点到直线的距离为的最大值即可得的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）易知直线的普通方程为：.又可变形为，即直线的直角坐标方程为：.因为，根据两直线垂直的条件可知，.（Ⅱ）当，时，，所以点在直线上.设点到直线的距离为，由可知，的最大值为.于是，所以的最大值为2.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，其中.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）对于任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意零点分段可得不等式的解集是.(2)利用题意结合绝对值不等式的性质可得实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）当时，，①当时，不等式即为，不成立；②当时，不等式即为，解得；③当时，不等式即为，此时.综上所述，不等式的解集是.（Ⅱ）由....而，所以，，则.要使不等式的解集为空集，则有，所以，实数的取值范围是.点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．。