基于学生经验 促进自主建构和自觉生成——以“从算式到方程(一

基于学生经验促进自主建构和自觉生成—以“从算式到方程(一)”课堂教学为例徐晓蓉 施俊进江苏海门市能仁中学226100 江苏海门市海南中学226100[摘要]数学教学中，在学生已有的知识经验和教材原有知识结构的基础上，应尽 力让学生充分经历实践、体验、内化、表达的过程.在这样的过程中，师生互动，生生互动，深度交流，引导学生自主建构，自我完善“用方程表示实际问题中的数量关系”的方法和能力，甚至直达数学本质的自觉生成，从而优化学生的思维品质.[关键词]生生互动；自主建构；自我完善；自觉生成；思维品质《义务教育数学课程标准》(2011 版)指出：数学教学活动必须建立在学 生的认知发展水平和已有的知识经验 基础之上.有效的数学学习活动不能单 纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主 探索与合作交流是学生学习数学的重 要方式.2016年10月14日，在首届全国 基础教育国家级成果一等奖《初中数学 “自学•议论•引导”教学法》研修与推广 中心成立暨第一期推广活动中，笔者聆 听了施俊进老师执教的“从算式到方程(一)（人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册）一课.施老师在认真分析 了学生已有的知识经验和教材原有知 识结构的基础上，以发展的观点，以学 定教，引导学生直达数学本质的自主建 构、自我完善、自觉生成，力图体现“自学•议论•引导”教学法的基本理念和价 值追求.现将教学设计、课堂生成，以及 反思启示整理成文，与各位同行交流.<0教学过程简录(一)通过引例研究袁初步认识从算式到方程是数学的进步1.引例研究引例快、慢两车同时从4地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 k m/h，慢车的行驶速度是60 k m/h，快车比慢车早1h到B地.4，B两地间的路程是多少？(1) 引导学生认真读题，分析题意，说出问题中已知什么，求什么，它们之间有怎样的关系.(2) 引导学生列出算式进行求解.(3) 引导学生用方程来求解.师:还有什么方法可用于求解？(部分)生:用方程.师:什么叫方程？生1院含有未知数的等式叫方程.师:方程含有未知数，那么本题怎么设未知数？方程还是一个等式，等式表示一个相等的关系，那么本题中的相等关系是什么？生2院我设慢车走完全程所花的时间为x小时，则快车走完全程所花的时间为(x-1)小时.相等关系是“慢车走的路程越快车走的路程”，由此得到方程60x=70(x-1).师:如果求得x的值，问题能得以解决了吗？生（齐）院不能，还要进一步求4，B两地之间的路程.师:还有什么方法？生3院我设4，B两地之间的路程为x km，由相等关系“慢车走完全程所花的时间-快车走完全程所花的时间=1”，可列出方程i-i=1.60 70师:刚才我们用两种方法列出了方程，那么用方程表示实际问题中的数量关系的一般步骤(或方法)是什么？列方程的关键是什么？*注：本文系江苏省“十二五”规划立项课题《初中数学“比翼式”课堂教学的构建研究》(课题立项编号:D/2011/02/101)研究成果之一.生4院列方程的步骤是设未知数、找相 等关系、列方程.最关键的是找相等关系.师：根据问题中的数量关系，我们 分别列出算式和方程来求解，请大家比 较一下，算式和方程各有什么特点？生5院方程是一个等式，等号两边分 别是一个整式，而算式是一个整式.生6院列算式时只能用已知数，是逆 向思考;而列方程时是顺着思考，既含 有已知数，又含有未知数.我觉得列方 程比较简便，也容易想到.师:思路清晰，表达清楚！大家既能 从思维上比较它们的不同点，还能从形 式上比较它们的不同点.列方程和列算 式都是依据问题中的数量关系，算式表 示用算术方法进行计算的程序（或者是 运算顺序），它只含有已知数;而方程中 既含有已知数，又含有未知数，打破了列 算式时只能用已知数的限制，这为我们 解决许多问题带来了方便.一般来说，列 方程比列算式有更多的优越性.通过以 后的学习，我们将会逐步认识到方程是 刻画现实世界的一种有效数学模型，从 算式到方程是数学的进步，这就是我们 今天要研究的课题——从算式到方程.点评引导学生分别用算式、方程表 示问题中的数量关系并作比较，突出了方 程的根本特征，使学生认识到从算式到方 程使我们有了更加有力、更加方便的数学 工具，进而认识到从算术方法到代数方法 是一个进步，从而调动了学生学习“用方 程表示问题中的数量关系”的积极性.2.野方程”史话中国人对方程的研究有着悠久的 历史.两千年前，《九章算术》中有专门 研究“方程”的一章，记载了用一组方程 解决实际问题的方法.这不但是我国古 代数学的伟大成就，而且是世界数学史 上一份非常宝贵的遗产.法国数学家笛 卡尔最早用x，y，z等字母表示未知数，方程才逐渐演变成现在的表达形式.点评了解方程的发展文化，能直 接感受到中华民族的文化成就，产生民 族自豪感，更重要的是，激发了学生学 习方程、学好方程的情感.(二)通过例题研究袁初步掌握用方 程表示实际问题中的数量关系的方法例1根据下列问题，设未知数并列出方程.(1)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?方式:学生代表读题，同时学生审题、思考，并说出问题中的“已知”“求”“相等关系”分别是什么，接着独立思考设未知数列方程，然后展示交流.最后，教师投影解题过程.⑵某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？师:请大家自己读题、审题，思考并说出问题中的“已知”“求”和“相等关系”分别是什么.生1院已知女生占全体学生人数的百分比，女生比男生多的人数;求学校总人数；相等关系是“女生人数-男生人数=80”.师:还有什么要补充的吗？生2院相等关系还有“女生人数=学校总人数伊52%”.师：下面请同学们先独立设未知数、列方程，然后小组交流(交流的内容为你是怎么思考的？还有什么方法），比一比哪个小组思路最清晰、方法最多.(独立思考2分钟、小组交流3分钟）生3院我们小组有三种方法，分别为设这个学校的学生共有x人，则女生有52%x人，男生有（1-52% )x人，根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”得52%x-(1-52%)x=80或（1-52%)x+80=52%x;第三种方法是设男生有x人，但方程还没列好.师:设这个学校的学生共有x人，列出的方程怎么会有两个？生4院一样的.师:两个方程形式不同，但是依据的相等关系一样，它们之间可以相互转化.若设男生有x人，则根据哪个相等关系可列出怎样的方程？生5院如果设男生有x人，那么女生有(x+80)人，根据相等关系“女生人数=学校总人数伊52%”得x+80=52%(x+*+80).师:还有不同的方法或思路吗？生6院我也设这个学校的学生共有x人，根据“男生人数=男生人数”来列方程.（众生笑）生6院因为这个学校的学生共有x人，由“女生人数=学校总人数伊52%”可以知道女生有52%x和男生人数=学校总人数伊48%，那么男生人数有48%x人，又根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”知道男生人数为（52%x-80).这样，48%x和（52%x-80)都表示男生人数，从而可得方程48%x=52%x-80.师:非常好！生6同时根据两个相等关系，分别用不同的式子表示相同的量，即男生的人数，从而列出方程，为我们列方程提供了一个新的思路.在这个问题的解决中，我们可以发现:如果求什么设什么，那是直接设元，可以直接求出问题的结果;但是间接设元则不能直接求出问题的结果，需要进一■步计算.(3)甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？方式：师生共同分析，学生形成两种思路.思路一:设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了（20-x)支，根据相等关系“甲种铅笔用的钱数垣乙种铅笔用的钱数=9 ”可列出方程 0.3x+0.6 (20-x)=9.思路二:设甲种铅笔用的钱数为x元，则乙种铅笔用的钱数为(9-x)元，根据相等关系“甲种铅笔的支数+乙种铅笔的支数=20”可列出方程原^=20.0.3 0.6追问：问题(2)和问题(3)都有两个相等关系，应如何处理？教师强调：当问题中出现两个相等关系时，可以用其中一个相等关系表示两个未知数，再根据另外一个相等关系列方程;列方程的关键是找相等关系.点评设置这样三个由浅入深的例题，让学生自主找相等关系、设未知数、列方程，这样符合学生的认知规律，分散了列方程这一教学难点，化整为零地培养学生的建模能力.同时为学生自主建构一元一次方程及其相关概念作准备.整个过程中，交替灵活地使用“个人学习、小组学习、全班学习”三结合的形式，让学生充分经历实践（思维或操作)、体验(发现、归纳、论证、概括)、内化(掌握了什么？为什么？）、表达(说出来，用起来)的过程.在这个过程中，师生互动，生生互动，深度交流，达到知识、技 能、方法、经验、能力、情感、态度以及价 值观的自主建构、自觉生成.注重了学 生读题审题能力及分析问题、解决问题 能力的培养;鼓励学生用不同方法体验 解决问题策略的多样性，优化了学生的 发散性思维品质.引导学生自觉地先找 相等关系，再列方程，让学生明确找相等 关系是列方程的关键，渗透数学建模思 想，让学生从现实表述到符号表述的情 境中深刻理解方程的意义，培养学生的 创造性和发散性思维.(三)在列方程的基础上，自主建立 一元一次方程及其相关概念师：观察以上列出的方程，它们有 什么共同的特征？生1院只含有一个未知数;未知数的 次数都是1.生2院等号两边都是整式.师:我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数，因此我们把同时 具备以上三个特征的方程叫做一元一 次方程.你能用自己的语言说说什么叫 一元一次方程吗？生3院只含有一个未知数，未知数的 次数是1，等号两边都是整式，这样的方 程叫做一元一次方程.师：弓I例中所列的方程i-i= 160 70是一元一次方程吗？为什么？生4院是一元一次方程，因为它同时 具备这三个特征.师：方程i-i=1中未知数的值60 70表示A，B两地之间的路程；算式[60衣(70-60)]x70的结果也表示A，B两地之间的路程，那么方程1-^= 1中的未60 70知数的值是多少呢？生5:x=420.师:我们把x=420叫做方程i-i=60 701的解.因为当x=420时，方程i-i= 160 70等号两边相等，所以我们把x=420叫做方程^-1= 1的解.也就是说，方60 70程中未知数的值应是420.什么叫方程 的解？生6:使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.师：求出方程的解的过程叫解方程.一般地，要检验某个值是不是方程的解，怎么办？生7:用这个值代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等.如果相等，那么这个值是方程的解；如果不相等，那么这个值不是方程的解.师:那么如何把方程i-i=1有根60 70有据地化为x=420的形式呢?这是我们下一节课要研究的内容——方程的解法.点评通过具体问题，引导学生自主建构相关概念，是学生原有基础上的自然提高，符合学生从特殊到一般、具体到抽象的认识过程；同时有利于归纳、概括能力的提高.(四）师生共同总结引导学生围绕以下问题进行思考、交流：⑴怎么认识“从算式到方程”是数学的进步？(2) 如何用方程表示实际问题中的数量关系？(3) 通过今天的学习，你觉得最大的收获是什么？还有什么疑问或想法？师:用方程表示实际问题中的数量关系，为我们解决问题提供了更多的方法和途径;从算式到方程使我们有了更有力、更加方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步，如果学会了正确地解方程，那么解决问题的能力就更强了.点评“问题化”引领学生自主总结，有利于发挥学生的主体作用，有利于学生归纳、整理和表达能力的提高，有利于增强学生自主反思学习过程的意识和能力.通过学生的自主反思，使得学生自主建构自己的经验世界和认知结构，自觉地达到知识、方法、技能、情感、态度和价值观的生成.(五)课后作业必做题：书P83耀84的5耀9曰选做题：书阼4的10、11.附板书设计：如图1.点评根据学生已有“列算式和方程”解决实际问题的经验构建本课的知识框图，有利于整体把握有关知识和方法，有利于能力的提高和素质的发展.同时，以知识结构框图的形式展现给学生，新颖、系统、醒目，且突出了知识的生成过程和包含关系，学生看了一目了然，便于整体理解和记忆.(E)反思和启示1.鼓励解法多样化，强化“数学建模思想”学生在小学阶段已学习了用简易方程解决实际问题，学生已经对方程有了初步的认识，积累了一些用方程表示简单情境中的数量关系的经验(但根据相等关系列方程的意识不够强烈).即学生在学习之前，习惯于算术方法解决实际问题以及模糊的方程意识.为强化“数学建模思想”，在教学过程中，对每个实际问题，都提出相同的问题:野本题的相等关系是什么或它们之间有什么关系？”看似“牵着学生走”，实质是突出(下转第39页）图12298x(1+30% )x+13%xl999x(1+25%). (960-x)解决.例2的第（1)问可以通过不等式组15-2x臆丄x袁2000x+2400x垣21600(15-2x)臆32400解决；第（2)问可 以通过函数y(财政补贴）=13%x2100x+ 13%x2500x+13%x1700(15-2x)解决.<0方案的执行当方程、不等式、函数解析式得到 以后，利用它们求解是比较容易的.当 求出未知数后，需要检验解的合理性，同时写出答案.最后，笔者再通过一例 说明笔者的应用题教学思路.例3某校团委为了教育学生，开展 了以感恩为主题的有奖征文活动，并为 获奖的同学颁发奖品.小红与小明去文 化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖 品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本 10个，共用110元;且买甲种笔记本30个 比买乙种笔记本20个少花10元.(上接第4页）教学重点、分散教学难点.野用方程表示 实际问题中的数量关系，体会建立数学 模型思想”，对后继内容的学习具有重要 的基础作用.为强化“先找问题中的相等 关系，再设未知数，利用相等关系列出方 程”的意识和能力，应鼓励学生用不同的 方法解决各个问题.在这样的过程中，通 过对话、追问、启发、思辨等，能自主思 考、表达、操作、发现并修正自身的不足 乃至错误.民主、开放的课堂氛围让学生 身心愉悦，能带给学生深人细致的思考、无拘无束的交流，使得人人都能积极参 与、积极思考.学生自主探究多种方法后 的展示、交流、评价、互纠，教师综合评 价，不仅能让学生积累相互协作、相互启 发、用方程表示数量关系的方法和经验，还能提高其数学表达和分享交流的能 力，这无疑有利于学生思维品质的提升.2.基于经验，自主构建、自觉生成所谓“生成”，是指学生知识、能力 的自主生长，逐渐生成（即“产生、生长、成型”等意思；绝不止于教师预设之外、出乎意料的课堂学习情态).生成的过 程，是智慧，是一段独特的学习经历，是(1) 求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；(2) 若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80个，总金额不超过320元，请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.分析1(1)由“买曱种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元”得野20本曱种笔记本的钱+10本乙种笔记本的钱=少10个”得“曱种笔记本的数量=2x乙种笔记本的数量-10”；由“购进两种笔记本的总数量不少于80本”得“曱种笔记本的数量+乙种笔记本的数量逸80”；由“总金额不超过320元”得“买曱种笔记本的钱+买乙种笔记本的钱臆320”.解答设本次购买乙种笔记本m个，则本次购买曱种笔记本(2m-10)个.(m+(2m-10)逸80，根据题意可得3(2m-10)+5m臆320，110元”；由“买曱种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元”得野30本曱种笔记本的钱=20本乙种笔记本的钱-10”.解答（1)设曱种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得 |20x+10y=110,解得 |x=3，[30x=20y-10, ly=3,所以曱种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是3元.分析2 (2)由“本次购进曱种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还9解这个不等式组得30臆m臆31工.因为11m为正整数，所以m可取30或31.所以本次购买的方案有：购买乙种笔记本30个，购买曱种笔记本30个；购买乙种笔记本31个，购买曱种笔记本32个.总之，笔者在应用题教学时，以基础知识和基本关系为依据，以练习和训练为桥梁，通过分析、设元、建模、解模、检验、答案等步骤，将应用题这一重点和难点化解于无形.学生“生产知识冶(郭思乐语）的一种形态.教学中，从学生已有经验出发展开学习，方程模型的建立及相关方法、概念的得出都是在教师的引导下，自主构建、自我完善、自觉生成.通过“算式和方程各有什么特点”，帮助所有学生自主生成“一般地，列方程比列算式更方便，从算式到方程是数学的进步”.通过“如何用方程表示实际问题中的数量关系”“观察列出的方程，它们有什么共同的特征”“问题中含有两个相等关系，如何来处理”等，引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界.尤其在例题教学中，通过先独立、再交流的方式，引导学生自主建构“用方程表示问题中数量关系”的经验，使得学生获得自觉利用方程模型解决问题（模型思想）的意识和能力，从而使学生的逻辑思维从经验型逐步走向理论型.通过不断追问“你还有其他方法或思路吗”，引导学生自觉地探究不同的设元方法，拓展了例题的教学功能，让学生通过做一题，学会如何处理含有“两个相等关系”的一类实际问题.3.关注教学的“后半段冶,主动建构心理学家波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的认识.有效引导学生进行自我反思，有利于学生学习力的自主提升.为此，“后半段”的教学应该是“生长”在学生“最近发展区”上进行的，使得学生在教师的有效引导下不断地在“原有认知基础上主动建构”，不断完善知识结构体系，提升思维品质，发展学习力.本课中，教师就任何一个相对独立的教学阶段，通过“问题”引领，有效引导学生进行自我反思，尽力发挥“后半段”教学的有效性.通过“算式和方程各有什么特点”，引导所有学生感知“一般地，列方程比列算式更方便”.通过问题(含课堂总结等），引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界，反思、巩固知识与技能，体会数学思想与方法，形成基本的活动经验；通过“自评、互评”，引导学生积极参与，增进师生、生生之间的多向交流，取长补短，有利于激励学生不断认识掌握，完善学习；同时又关注了个体差异，真正保护不同层次学生学习数学的信心，使得不同的学生都可以在数学学习上获得不同程度的成功感.。