101.相交线垂线三线八角[1]
七年级下册相交线——三线八角
知识点四、三线八角同位角：F内错角：Z同旁内角：U三线九角图：✓找出∠B的同位角✓找出∠B的内错角✓找出∠B的同旁内角三线12角1．如图，直线AB，CD被直线EF所截，则与∠1构成内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5 2．如图，直线AB，CD被射线CE所截，与∠1构成同位角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5 3．如图，与∠4是同旁内角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠5 4．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（）A．∠1与∠5是同位角B．∠2与∠4是对顶角C．∠3与∠6是同旁内角D．∠5与∠6互为余角5.如图所示同位角一共有对，分别是；内错角一共有对，分别是；同旁内角一共有对，分别是．．6．如图，下列判断正确的是（）A．∠1，∠2，∠6互为邻补角B．∠2与∠4是同位角C．∠3与∠6是同旁内角D．∠5与∠3是内错角7.如图根据图形填空：先描线、在判断（1）直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角是；（2）直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角是；（3）直线AD和BE被直线AB所截形成的同旁内角是；（4）∠3和∠6是直线和被直线所截形成的角；（5）∠2和∠6是直线和被直线所截形成的角．三角形的三个内角，互为同旁内角找出∠C的同旁内角，并指出是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？8．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．本节思维导图。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
相交线—三线八角
2 3 P 4
1
b
6
5
7 Q8
如图， 如图，直线 l 截a、b于点P、Q
同位角： 同位角：∠1和∠5 和 ∠2和∠6 和 ∠3和∠7 和 ∠4和∠8 和 内错角： 内错角：∠3和∠5 和 ∠4和∠6 和
D O C
活动二 如图，找一找图中的同位角， 内错角和同旁内角 A
B
做一做： 、如图，直线DE， 被直线 所截， 被直线AB所截 做一做： 1、如图，直线 ，BC被直线 所截，
∠1与∠2是＿＿＿角，∠1与∠3是＿＿＿角， 与 是＿＿＿角 与 是＿＿＿角 ∠1与∠4是＿＿＿角。 与 是＿＿＿角
A 4 D 2 1 B 3 E C
l a 2 3 P 4 1
b
同旁内角： 同旁内角：∠4和∠5 和 ∠3和∠6 和
6
5
7 Q8
如图：直线AB、 被直线 被直线EF 找一找 如图：直线 、CD被直线 截的8个角中同位角、内错角、同旁内角。 截的 个角中同位角、内错角、同旁内角。 个角中同位角 E 同位角 同位角:∠ 1与∠5； 与 ； 2 ∠2与∠6； 与 1 A ∠3与∠7； 与 ； 3 4 B ∠4与∠8. 与 6 5 内错角 内错角：∠3与∠5； 与 ； C 7 ∠4与∠6. 与 8 D 同旁内角 同旁内角：∠4与∠5； 与 ； F ∠3与∠6. 与
(∠1与∠2) 3.如果把图看作是直线CD截直线AB,EF 则∠ 1,∠ 2,∠3, ∠4,∠5 ∠ 6，∠7中同位角有 1 对， 内错角有 1 对，同旁内角有 1 对 (∠3与∠4) (∠4与∠2)
102.相交线垂线三线八角(1)
相交线 垂线 三线八角(复习)090414【目标导航】1．理解对顶角与邻补角的概念和性质． 2．了解垂线的定义性质、垂线段的概念、点到直线的距离.3．了解同位角、内错角、同旁内角的概念．【基础训练】1．如图所示，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOD 的对顶角是_____，∠AOC 的邻补角是 ；若∠AOC ＝50°，则∠BOD ＝______，∠COB ＝_______．OFE D CB A1.答案：∠BOC ；∠AOD 、∠BOC ；50°；130°. 2．对顶角的性质是___________________．2.答案：对顶角相等.3．如果CD ⊥AB 于点D ，自CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD 重合，这是因为 ． 3.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.如图所示，下列说法不正确的是 ( ) A .点B 到AC 的垂线段是线段AB ； B .点C 到AB 的垂线段是线段AC ； C .线段AD 是点D 到BC 的垂线段； D .线段BD 是点B 到AD 的垂线段.DCBA4.答案：C.5.如图所示，AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB ＝a ，BC ＝b ，则BD 的范围是 ，理由是 .DCBA5.答案：b ＜BD ＜a ；垂线段最短.6． 如图：(1)∠1和∠B 是由直线 截直线 和 所成的 角.(2)∠2和∠C 是由直线 截直线 和 所成的 角.(3)∠B 和∠C 是由直线 截直线 和 所成的 角.6. 答案：（1）BE 、AD 、BC 、同位；（2）AC 、AD 、BC 、内错；（3）BC 、AC 、AB 、同旁内角.【例题解析】例1．下列说法正确的有( )①一个角的两边分别是另一角的两边的延长线的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④有一条公共边且互补的两个角是邻补角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 例1．答案：B. 例2．两两相交但无三线共点的若干条直线，将平面划分成的区域个数有如下事实：一条直线将平面划分成 个区域；两条直线将平面划分成 个区域；n 条直线将平面划分成 个区域． 例2．答案：2、4、2)1(1++n n . 例3.已知∠AOB 和∠BOC 互为邻补角，OD 是∠AOB 平分线，OE 在∠BOC 内，∠EOC ＝2∠BOE ，∠DOE ＝72°，求∠EOC .例3.答案：设∠BOE ＝x °，则∠COE ＝(2x)°，∠BOD ＝∠AOD ＝(72－x)° ∵∠AOB 和∠BOC 互为邻补角 ∴2(72－x)＋x ＋2x ＝180 得x ＝36∴∠EOC ＝72°.例4.画∠A ＝30°，在∠A 的两边上分别截取AC ＝40mm ，AB ＝26mm ，连结BC ，过C 点分别画CA ，AB 的垂线，画B 点到AC 的垂线段，并量出C 点到AB 的距离和B 点到AC 的距离. 例4. 答案：如图，C 点到AB 的距离CE ＝20㎜，B 点到AC 的距离BF ＝13㎜.例5．⑴如图，∠A 的同位角是＿＿＿＿，∠1的内错角是＿＿＿＿，∠2的同旁内角是＿＿＿＿．⑵如图所示，∠B 与∠CAD 是由直线＿＿＿＿与直线＿＿＿＿被直线＿＿＿＿所截得到的＿＿＿＿角．例5．答案：（1）∠BFG 、∠CGF ；∠CGF ；∠CGF 或∠B 或∠A ；（2）BC 、AC 、BD （或BA 或AD ）、同位. 例6．如图，AB 、CD 、EF 相交于O 点，EF⊥AB ，OG 为∠COF 的角平分线，OH 为∠DOG 的角平分线，若∠AOC ∶∠COG ＝4∶7，求∠DOF 、∠DOH 的大小.例6．答案：设一份为x ，由∠AOC ：∠COG ＝4：7得到：∠AOC ＝4x ，∠COG ＝7x ， ∵OG 平分∠COF ，∴∠COG ＝∠GOF ＝7x ， 又∵AB ⊥EF ，则4x+7x+7x ＝90°， 解得x ＝5°，∴∠COG ＝7x ＝35°， 则∠GOD ＝180°-35°＝145°， 又OH 为∠DOG 的平分线，所以∠GOH ＝21∠GOD ＝72.5°．【课堂操练】1．如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，则∠AOE +∠DOB +∠COF ＝ °OF E D CBA1．答案：180. 2．（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ） A ．∠2和∠3 B ．∠1和∠3 C ．∠1和∠4 D ．∠1和∠22．答案：A.3．两条相交直线所成的角中( ) A ．必有一个钝角 B ．必有一个锐角 C ．必有一个不是钝角 D ．必有两个锐角 3．答案：C. 4．（2011•梧州）如图，直线a 、b 相交，∠1＝65°，则∠2的度数是＿＿＿＿°．4．答案：65.5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠EOD＝______．OEDC BA5．答案：42°.6．两条直线相交于一点构成对对顶角；三条直线相交于一点，构成对对顶角；n直线相交于一点，构成对对顶角；100条直线相交于一点构成对对顶角.6．答案：2、6、n（n-1）、9900.7．平面上三条直线相互间的交点个数是；平面上四条直线相互间的交点个数是．7．答案：0个或1个或2个或3个；0或1或3或4或5或6.8．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线m的距离为( ) A．4cm B．2cmC．小于2cm D．不大于2cm 8．答案：D.9．如图，∠1的同旁内角有个．9．答案：3.10．对于下图，有以下判断：①∠1与∠3是内错角；②∠2与∠3是内错角；③∠2与∠4是同旁内角；④∠2与∠3是同位角．其中说法正确的有(填写序号) ．10.答案：①③.11.如图所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有条．DCBA11.答案：5.12．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？12．答案：（1）点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离分别是：9，12．（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D.D△ABC的面积＝21BC•AC＝21AB•CD，∴15CD＝12×9，∴CD＝536．∴点C到直线AB的距离为536．13．如图所示，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3：∠1＝8：1，求∠4的度数．34l3l2l11213．答案：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝(8x)°由∠1＋∠2＋∠3＝180°得x＋x＋8x＝180解得x＝18，∴∠4＝2∠1＝36°.【课后盘点】1．若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，则这两个角 .1．答案：相等或互补.2．已知点O，画和点O的距离是3厘米的直线可以画＿＿＿＿条.2．答案：无数.3．（2011•广西）如图，O是直线AB上一点，∠COB＝30°，则∠1＝＿＿＿＿°3．答案：150.4．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是 .4．答案：6.5．下列说法正确的个数是（）①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②对顶角的平分线在同一条直线上；③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；④两个有公共顶点的角相等，且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．A、1个B、2个C、3个D、4个5．答案：B.6．如图，线段AB的长是到的距离；点D到AB的距离是的长；线段＿＿＿＿的长是点B到AC的距离.6．答案：点A；点B；线段DE；BC.7．如图，(1)∠B、∠EDB是直线和被直线所截得角；(2)直线截直线和所得的∠AFD和∠C是角；(3)与∠CFD成内错角的有；(4)与∠C成同旁内角的有个，它们是.7．答案：（1）BE、DE、BD、同旁内角；（2）AC、DF、CD、同位；（3）∠EDF；（4）5个、∠CFD，∠CDF，∠CDE，∠A，∠B.8．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，OF平分∠BOC，∠AOC＝30°，则∠BOE＝°，∠COF＝°，∠EOF＝°，∠AOE＝°.8．答案：60°、75°、15°、120°. 9．如图，已知OA⊥OB，OD⊥OC，则下列说法不正确的是( )A.∠BOC＝∠AODB.∠AOC+∠BOD＝180°C.∠COD与∠AOB互补D.∠COB与∠BOD相等9．答案：D.10．（2011•梧州）如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°10.答案：C11．如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC＝28°，则∠EOF＝＿＿＿＿度．11．答案：62.12．如图，西部某地有四个村庄A、B、C、D，为了解决缺水问题，当地政府准备投资修建一个蓄水池P的位置，使它和四个村庄的距离之和最小，若计划把河中的水引入蓄水池P中，怎样开挖的渠道最短，并说明理由. 12．答案：如图，连结AC，BD，它们的交点是P，点P就是修建蓄水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．过点P向河岸作垂线段PH，可使开挖的渠道最短，理由是：垂线段最短.PH13．完成下列作图：作∠AOB的平分线，并在平分线上任找一点P，过P作∠AOB两边的垂线段，并量出处线段的长度，看看它们有什么关系.13．答案：如图，量得PE＝PF.F14．如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．14．答案：图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A或∠ADE；∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED或∠A．.15．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．15．答案：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7，∴∠AOC＝180°×373＝54°，∴∠BOD＝54°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝54°÷2＝27°．（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°-63°＝117°．【课外拓展】1．如图，过P作线段PQ⊥l1，垂足为Q；再过P作直线MN⊥PQ.1．答案：如图.N2．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE．2．答案：（1）∠A和∠D是由直线AE、CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；（2）∠A和∠CBA是由直线AD、BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；（3）∠C和∠CBE是由直线CD、AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．3．如图，直线AB，CD相交于点O．写出∠1，∠2，∠3，∠4中每两个角之间的位置关系．3．答案：∠1和∠3是对顶角；∠1和∠2是邻补角，∠2与∠3是邻补角；∠1和∠4是同位角，∠2与∠4是同旁内角，∠3与∠4是内错角．4．已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗？为什么？4．答案：∠AOC与∠BOD不一定是对顶角．应分两种情况讨论：（1）如图（1），当OC，OD在直线AB的同侧时，∠AOC与∠BOD不是对顶角．（2）如图（2），当OC，OD在直线AB的两侧时，∠AOC与∠BOD是对顶角．（设计人：江云桂）。
直线的相交、垂直、三线八角
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：直线的相交、垂直、三线八角）（一）知识梳理回顾 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．【例】如图1，∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4互为邻补角． 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．【例】如图1，∠1和∠3，∠2和∠4，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．图1 图2 图3二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成90︒，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【例】如图2，AB CD ⊥，垂足为O ，可记为“AB CD ⊥于点O ”． 2．性质：4321DCBADC BAO87654321FE DCBA（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．【例】如图3，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．【例】如图3，∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．【例】如图3，∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角． 4．角的计数技巧：（1）“F ”字型中的同位角，如下图所示：（2）“Z ”字型中的内错角，如下图所示：（3）“U ”字型中的同旁内角，如下图所示：FMNDB F M N CAMNDB EMNECANMDANM B C（二）例题精讲 1、直线的相交（1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（ ）A ．平行或垂直B ．垂直或相交C ．平行，垂直或相交D ．平行或相交（2）判断正误：①两条直线的位置关系只有两种：平行或相交． （ ） ②平面内，两条线段不相交，则平行． （ ） ③平面内不平行的两条射线必定相交．（ ）（1）D ；（2）①错误，异面；②错误；③错误．（1）下列图中∠1和∠2是对顶角的有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对（2）下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（ ）NMCAMNDB（4）12（3）12（2）12（1）12αβαβαβαβA ．B ．C ．D ．（3）下列各项中，①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②如果两个角是对顶角，则这两个角相等；③相等的两个角是对顶角；④如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有________．（填序号）【解析】（1）A ；（2）C ；（3）②⑤．（1）如图3-1，AB 、CD 、EF 交于点O ，AOE ∠=25︒，DOF ∠=45︒，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．（2）如图3-2，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，BOC BOD ∠=∠-30︒，求COE ∠的度数．图3-1 图3-2【解析】（1）由对顶角相等可知，COE DOF ∠=∠=45︒，故AOC AOE COE ∠=∠+∠=25︒+45︒=70︒．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，AOD ∠=180︒-70︒=110︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角BOC ∠=110︒． （2）由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，BOC BOD ∠+∠=180︒．又BOC BOD ∠=∠-30︒，故BOD ∠=105︒，BOC ∠=75︒． 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠=75︒．AECBODAEF D CBO又OE 平分AOD ∠，故.AOE ∠=375︒， 从而可知，..COE ∠=375︒+105︒=1425︒．【提示】两线四角倒角，规范书写．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，COF ∠=90︒．（1）若BOE ∠=70︒，求AOF ∠的度数； （2）若::BOD BOE ∠∠=12，求AOF ∠的度数．【解析】（1）50︒；（2）54︒．求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上．【解析】如图，AB 、CD 交于点O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE 、OF 分别为AOC ∠、BOD ∠的平分线，则AOE COE AOC 1∠=∠=∠2，BOF DOF BOD 1∠=∠=∠2，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOE BOF ∠=∠． 又∵BOF DOF AOD ∠+∠+∠=180︒， ∴AOE DOF AOD ∠+∠+∠=180︒，即EOF ∠=180︒，∴OE 、OF 在同一直线上．【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直． 2、垂直（1）下列说法中正确的是（ ） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线；②两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；ECBDAOF④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2）P 为直线外一点，点A 、B 、C 为l 上的三点，且PB l ⊥，下列说法错误的是（ ） A ．P A 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B ．线段PB 叫做点P 到直线的l 的距离 C ．PB 是点P 到l 的垂线段D ．线段AB 的长是点A 到PB 的距离【解析】（1）D ；（2）B ．（1）如图7-1，直线AB 与CD 相交于点O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，DOF ∠=65︒，求BOE ∠和AOC ∠的度数．（2）如图7-2，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，OF 平分AOE ∠，COF ∠=35︒，求BOD ∠的度数．图7-1 图7-2【解析】（1）∵OF AB ⊥，∠DOF =65︒∴BOD ∠=90︒-65︒=25︒（垂直定义）． ∴AOC BOD ∠=∠=25︒（对顶角相等）． ∵OE CD ⊥，∴BOE ∠=90︒-25︒=65︒（垂直定义）． lCBAPF ACDBOEFA CDB OE（2）∵COE ∠是直角，∴COE ∠=90︒． 又∵COF ∠=35︒，∴FOE COE COF ∠=∠-∠=90︒-35︒=55︒． ∵OF 平分AOE ∠， ∴AOF FOE ∠=∠=55︒．∴AOC AOF COF ∠=∠-∠=55︒-35︒=20︒． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴BOD ∠=20︒．【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习．如图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE ．现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】由垂线段最短，可知比较D 到AE 的垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论．如右图所示，汽车由D 到AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ，连结DE ．则△AED ABCD S S 11==1843200⨯=92160022正方形，又△AED S AE DE DH DH 11=⋅=⨯1600⋅=800⋅22，解得DH =1152（米）． A BCD EHEDCBA而卡车行驶11分钟的路程为96⨯11=1056（米）<1152（米），所以11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁． 3、三线八角如图，填空：①∠1与∠2是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．②∠1与∠3是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．③∠2与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ④∠3与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ⑤∠5与∠6是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．【解析】①∠1与∠2是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的同位角．②∠1与∠3是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的同位角． ③∠2与∠4是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的内错角． ④∠3与∠4是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的内错角． ⑤∠5与∠6是两条直线l 1与l 2被第三条直线l 3所截构成的同旁内角．过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒．【解析】如图所示，点O 把7条直线分成14条射线，记为OA 1，OA 2，…，OA 14.相邻两射线组成14个角，记为α1，α2，…，α14. 其和为一个周角：ααα1214+++=360︒L . 若结论不成立，则i α≥26︒，(,,,)i =1214L . 相加，得ααα1214360︒=+++≥26︒⨯14=364︒L .l 2l 1l 3124563A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O这一矛盾说明，在α1，α2，…，α14中，必有一个角小于26︒．（三）课后作业设计1、（1）如图1-1所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______．若125∠=︒，则2∠=______，3∠=______，4∠=_______．（2）如图1-2，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，图中对顶角共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对图1-1 图1-2【解析】（1）2∠和4∠，∠3，155︒，25︒，155︒．（2）D ．2、（1）如图2-1，已知直线a 、b 、c 相交于点O ，∠1=30︒，∠2=70︒，则∠3=______．（2）如图2-2，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若BOD ∠=100︒，则AOE ∠=___________．图2-1 图2-2∴∠3=180︒-∠1-∠2=80︒．O c ba321CBODEA ACD B1234A FCEOBD（2）40︒．3、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O （AOC ∠为锐角）（1）写出AOC ∠和BOD ∠的大小关系；判断的依据是_____________． （2）过点O 作射线OE 、OF ，若COE ∠=90︒，OF 平分AOE ∠，求AOF COF ∠+∠的度数，说明你的理由．（3）在（2）的条件下，若AOD ∠=120︒，请计算COF ∠的度数．【解析】（1）AOC BOD ∠=∠；对顶角相等．（2）AOF COF ∠+∠=90︒． （3）COF ∠=15︒．4、如图，已知∠ACB =90︒．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段________的长；线段DB 的长为点________到直线________的距离．【解析】AC ，B ，CD ．5、已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】∵A 、O 、B 三点共线∴AOB ∠=180︒，∵OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠， ∴COE BOC 1∠=∠2，DOC AOC 1∠=∠2，∴()COE DOC BOC AOC BOC AOC 111∠+∠=∠+∠=∠+∠222AOB 11=∠=⨯180︒=90︒22又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠，∴DOE ∠=90︒， ∴OD OE ⊥．6、如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处． （1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？FE ODCBAAC D BE（2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短；（2）如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短．7、如图，判断下列各对角的位置关系：①∠1与∠4；②∠2与∠6；③∠5与∠8；④∠4与BCD∠；⑤∠3与∠5．【解析】①∠1与∠4是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角，∠4与BCD∠是同旁内角，∠3与∠5是内错角．。
相交线、三线八角-学生版
一、什么是相交线？如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点． 二、什么是对顶角？一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 三、什么是邻补角？两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.1.相交线如图所示，直线a 与直线b 只有一个公共点，称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．2.邻补角如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
baO相交线、三线八角知识回顾知识讲解3.对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4.垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角4321DCB ADCBA③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.板块一 相交线【例1】 判断正误：⑴ 三条直线两两相交有三个交点（ ）87654321FE DCBA FMNDB F M NCAMNDB EMNECANMDANM B CNMCAMNDB 同步练习⑵ 两条直线相交不可能有两个交点．（ ）⑶ 在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3．（ ）⑷ 同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得()112n n -个交点．（ ）⑸ 同一平面内的n 条直线经过同一点可得()21n n -个角（平角除外）．（ ）【例2】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？板块二 对顶角和邻补角【例3】 下列四个命题：①如果两个角是对顶角，则这两个角相等． ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角． ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等． ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 其中正确的命题有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例4】 下列说法中正确的有（ ）①一个角的邻补角只有一个； ②一个角的补角必大于这个角；③若两角互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角； ④互余的两个角一定都是锐角。
沪科版七年级下册数学课件 第10章 相交线、平行线与平移 第1课时 平行线的概念、基本性质及三线八角
B. ∠3
23
45
C. ∠4
D. ∠5
归纳总结 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系.
1
1
12
2
2
2
1
图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.
三、同旁内角的概念
活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB、CD 之间
E1 2
B
同旁内角
A
34
4
65
5
C
第10章 相交线、平行线 与平移
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线的概念、基本事实及三线八角
回顾与思考 问题 前面我们学过两条直线的什么位置关系？ 两条直线相交 (其中垂直是相交的特殊情形).
生活中两条直线除了相交以外，还有什么其他的 情形呢？下面我们一起来体会一下.
摩托车在公路上奔驰
国旗上的线条
解： 因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
因为 c∥d，所以 a∥d.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
平行线 的概念
平行线 及三线 八角
平行线 的性质
三线八角
合作与交流： (1) 经过点 C 能画出几条直线？ 无数条
(2) 与直线 AB 平行的直线有几条？ 无数条
·C
a
A· ·B
·D
b
(3) 经过点 C 能画出几条直线与直线 AB 平行？
1条 (4) 过点 D 画一条直线与直线 AB 平行，与 (3) 中所画
七年级数学三线八角知识点
七年级数学三线八角知识点三线八角是中学数学中常见的一个知识点，也是七年级数学中必须掌握的重点内容。
在这份文章中，我们将详细介绍三线八角的定义、性质以及解题技巧。
一、定义三线八角，顾名思义，就是由三条直线和八个角所组成的图形，如图1所示。
图1其中三条直线相交于一点O，八个角分别为∠AOC、∠AOB、∠BOD、∠EOC、∠EOF、∠FOG、∠GOH和∠BOH，且每两条直线之间的夹角均相等。
二、性质1.每一对相邻的外角互补，即∠AOC+∠BOD+∠EOF+∠GOH=180°。
2.每一对相邻的内角互补，即∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。
3.相邻的外角与其对应的内角互补，即∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。
三、解题技巧对于三线八角的解题，主要是应用它的性质进行推导和运用。
以例题为例：例1 在图2中，∠AOB=30°，∠EOC=110°，则∠BOD和∠EOF的和为多少度？图2解：由三线八角的性质可知，∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。
则∠BOH+∠FOG=180°-∠AOB-∠EOC=180°-30°-110°=40°。
而∠BOD+∠EOF=（180°-∠AOC）÷2+（180°-∠EOC）÷2=(180°-∠BOH)÷2+(180°-∠FOG)÷2=80°。
因此，∠BOD和∠EOF的和为80°。
例2 在图3中，AB//CD，∠BAE=55°，∠CFE=40°，则∠BEF 为多少度？图3解：由三线八角的性质可知，∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。
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相交线与平行线测试1 相交线学习要求1．能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，掌握对顶角的性质．2．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算．(一)课堂学习检测1．填空题(1)如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为___________，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．(2)如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．(3)对顶角的重要性质是________________。
(4)如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°，①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角．②若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______°-______°=______；∠4＝∠______-∠1＝______°-______°=______.(5)如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则①与∠BOD互补的角有__________________________________________________；②与∠BOD互余的角有__________________________________________________；③与∠EOA互余的角有__________________________________________________；④若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____.2．选择题(1)图中是对顶角的是( )(2)如图，∠1的邻补角是( )．(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF(3)如图，直线AB与CD相交于O，若∠AOC＋∠BOC＋∠DOB＝242°，则∠AOC的度数为( )．(A)62°(B)118°(C)72°(D)59°(4)如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°；(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°3．判断正误(1)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( )．(2)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( )．(3)有一条公共边的两个角是邻补角．( )．(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( )．(5)对顶角的角平分线在同一直线上．( )．(6)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )．(二)综合运用诊断4．如图所示，AB，CD，EF交于点0，∠1＝20°，∠BOC＝80°，求：∠2的度数．5．已知：如图，直线a、b、c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°，求：∠4的度数．6．已知，如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1，求∠AOF的度数．7．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?(三)拓广、探究、思考8．已知：如图，O是直线CD上一点，射线OA、OB在直线CD的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角，并说明你的理由．9．回答下列问题：(1)三条直线AB、CD、EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(2)四条直线AB、CD、EF、GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(3)m条直线a1、a2、a3，……，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?测试2垂线学习要求1．理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线．2．理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．(一)课堂学习检测1．填空题(1)当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做____________．(2)垂线的性质性质1：平面内，过一点__________________与已知直线垂直．性质2：连结直线外一点与直线上各点的______中，______最短．(3)直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．(4)如图，直线AB、CD互相垂直，记作______；直线AB、CD互相垂直，垂足为O点，记作______；线段PO的长度是点______到直线______的距离；点M到直线AB的距离是____________．2．按要求画图(1）如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．(图a) (图b) (图c)(2)如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．(图a) (图b) (图c)(3)如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．(图a) (图b) (图c)(4)如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．(二)综合运用诊断3．判断下列语句是否正确?(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．( )．(2)若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直．( )．(3)一条直线的垂线只能画一条．( )．(4)平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直．( )．(5)度量直线l外一点到直线l的距离．( )．(6)点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离．( )．(7)画出点A到直线l的距离．( )．(8)在三角形ABC 中，若∠B ＝90°，则AC ＞AB ．( )．4．选择题(1)若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．(A)180°－2α(B)180°－α (C)α2190+ (D)2 α－90°(2)如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为P A ＝4cm ，PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．(A)3cm (B)小于3cm(C)不大于3cm (D)以上结论都不对(3)如图，BC ⊥AC ，AD ⊥CD ，AB ＝m ，CD ＝n ，则AC 的长的取值范围是( )．(A)AC ＜m (B)AC ＞n(C)n ≤AC ≤m (D)n ＜AC ＜m(4)若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是( )．(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条．(A)3 (B)4(C)7 (D)85．自钝角∠AOB 的顶点O 作射线OC ⊥OB ，若射线OC 把∠AOB 分成的两个角∠AOC ∶∠COB ＝2∶3，求∠AOB 的度数．6．已知：如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG 平分∠BOF ，求∠DOG ．(三)拓广、探究、思考7．已知平面内有一条直线m 及直线外三点A 、B 、C ．分别过这三个点作直线m 的垂线，想一想有几个不同的垂足?画图说明．8．已知点M ，试在平面内作出四条直线l 1，l 2，l 3，l 4，使它们分别到点M 的距离是1.5cm ．9．从点O 引出四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，且AO ⊥BO ，CO ⊥DO ，试探索∠AOC 与∠BOD 的数量关系．10．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边构成75直角，与钝角的另一边构成73直角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?测试3 同位角、内错角、同旁内角学习要求当两条直线被第三条直线所截时，能从所构成的八个角中识别出哪两个角是同位角、内错角及同旁内角．(一)课堂学习检测1．如图，若直线a 、b 被直线c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?(1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______；(3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______；(5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______；(7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______；(9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______．2．如图：(1)∠D的同位角是______．(2)∠D的内错角是______．(3)∠D的同旁内角是______．3．如图所示，(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的______角；(2)∠A和∠ACE可看成是直线______、______被直线______所截得的______角．4．如图所示，(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角；(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角；(3)∠EDC和∠C可看成是直线______、______被直线______所截得的______角．(二)综合运用诊断5．已知图①～④，图①图②图③图④在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有( )．(A)①、②、③、④(B)①、②、③(C)①、③(D)①6．如图，下列结论正确的是( )．(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角7．如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )．(A)AD、BC被AC所截构成(B)AB、CD被AC所截构成(C)AB、CD被AD所截构成(D)AB、CD被BC所截构成8．如图，直线AB、CD与直线EF、GH分别相交，图中的同旁内角共有( )对．(A)4对(B)8对(C)12对(D)16对(三)拓广、探究、思考9．如图，三条直线两两相交，共有几对对顶角?几对邻补角?几对同位角?几对内错角?几对同旁内角?。