动态探究题

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一道动态探究性试题的解法评析

由ＡＤ＝１，ＢＣ＝３，可得ＢＨ＝４无论点Ｐ在ＡＢ上什么位置，总有上述关系成立，说明点Ｑ
所以方程无解，ＡＤＰＣ不可能是直角．
所以对角线Ｐ９与ＤＣ不可能相等．
解法３：因为四边形ＰＣＱＤ是平行四边形，
对Ａ曰的距离为定值４，那么只有当ＰＱＬＡＢ时，尸Ｑ的长最小
为４．解法２：因为四边形ＰＣＱＤ是平行四边形，
若对角线ＰＱ、ＤＣ相等，
则四边形ＰＣＱＤ是矩形，／＿ＤＰＣ＝９０。
』４Ｄ
所以不论点Ｐ在ＡＢ上何处，点Ｇ始终是ＤＣ的中点，且
即（２一）＋１＋＋３＝８．
化简，得一２ｘ＋３＝０．因为 △＝（一２）一４×１ ×３＝一８＜０，
为边作￣：ＹＰＣＱＤ．问对角线Ｐｐ的长是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，说明理由．问题３：若Ｐ为ＡＢ边上任意一点，延长肋到点Ｅ，使ＤＥ＝
３５
则／＿ＤＰＣ：９０。．
那么ＲｔＡＤＡＰＲｔＡＰＢＣ．
因为ＡＤ＃ＢＣ，
所以／＿ＡＤＣ＝Ａ＿ＤＣＨ．
ＡＤ
则
＝
．
由ＰＤｆＣＱ，得／＿＿ＰＤＣ＝／＿ＱＣＤ．
于是Ａ＿ＡＤＰ：／ＨＣＱ．
所以方程无解．
所以对角线Ｐｐ与ＤＣ不可能相等．
解法２：同解法１所述，

中考数学“动态几何探究”题型解析

中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l 经过A（6,0）和B（0,12）两点，且与直线y = x 交于点C. （1）求直线l 的表达式；（2）若点P（x，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y = x 于点D，①求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；②S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值 .【解析】（1）设直线l 的表达式为y = kx + b , 用待定系数法求出k , b 的值即可；（2）①点C 是直线l 与y = x 的交点，从而可求得点C 的坐标 .根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得S 与x 的函数关系式；②根据二次函数的性质，即可得到S 的最大值 .解：（1）设直线l 的表达式为y = kx + b ,由A（6,0）和B（0,12），得∴直线l 的表达式为y = -2x + 12 .（2）①∴点C 的坐标为（4,4），∴S△COP = 1/2 x ▪4 = 2x .∵PD∥直线l ,∴CD/OC = AP/OA .∵CD/OC = ( 1/2 h ×CD ) / ( 1/2 h ×OC ) = S / S△COP，∴S / S△COP = AP / OA , 即S / 2x = （6 - x）/ 6 ,∴△PCD 的面积S 与x 的函数关系式为S = -1/3 x^2 + 2x .②∵S = -1/3 （x - 3）^2 + 3 ,∴当S 最大时，x = 3 .【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A , C 均在坐标轴上，且OA = 4 ,OC = 3 , 动点M 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；动点N 从点C 出发沿CB 向终点B 以同样的速度移动，当两个动点运动了x 秒（0 < x < 4）时，过点N 作NP⊥BC 交OB 于点P，连接MP .（1）直接写出点B 的坐标，并求出点P 的坐标（用含x 的式子表示）；（2）当x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .解：（1）在矩形OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,∴B 点的坐标为（4,3）.如图，延长NP 交OA 于点G，则PG∥AB，OG = CN = x . ∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA .∴PG / BA = OG / OA , 即PG / 3 = x / 4 ,解得PG = 3/4 x .∴点P 的坐标为（x , 3/4 x）.（2）设△OMP 的面积为S .在△OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为3/4 x，∴S 与x 之间的函数表达式为配方，得∴当x = 2 时，S 有最大值，最大值为3/2 .二、在几何图形中探究【例题3】如图，在矩形ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P , Q 两点同时移动的时间为t 秒（0 < t < 2.5）.（1）当t 为何值时，PQ∥AB；（2）设四边形ABQP 的面积为y , 当t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .【解析】（1）首先由勾股定理求得AC = 5 米，然后根据AB∥PQ 可得到PC / AC = QC / BC , 从而得到关于t 的方程，从而可解得t 的值；（2）过点P 作PE⊥BC，由PE∥AB 可得到PC / AC = PE / AB ,从而可求得PE = 3 - 6/5 t , 然后根据y = S△ABC - S△PQC 列出t 与y 的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可 .解：（1）在Rt△ABC 中，由题意，得PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .如图①，∵AB∥PQ , ∴△CPQ∽△CAB .∴PC / AC = QC / BC , 即（5 - 2t）/ 5 = t / 4 , 解得t = 20/13 .（2）如图②，过点P 作PE⊥BC 于点E .由（1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,∵PE∥AB，∴△CPE∽△CAB .∴PC / AC = PE / AB , 即（5 - 2t）/ 5 = PE / 3 . ∴PE = 3 - 6/5 t .∴当t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为81/16 .【例题4】如图，在△ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点P 在BC 边上运动，PD∥AB，交AC 于D . 设BP 的长为x , △APD 的面积为y .（1）求AD 的长（用含x 的代数式表示）；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并回答当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）是否存在这样的点P，使得△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 ？若存在，请求出BP 的长；若不存在，请说明理由 .解：（1）∵PD∥AB，∴AD / AC = BP / BC .∵BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,∴AD / 2√3 = x / 4 ,∴AD = √3/2 x .（2）过点P 作PE⊥AC 于E .∵sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，∴PE = PC ×sin60°= √3/2（4 - x ）.∴y 与x 之间的函数关系式为∴当x = 2 时，y 的值最大，最大值是3/2 . （3）存在这样的点P .∵△ADP 与△ABP 等高不等底，∴S△ADP / S△ABP = DP / AB .∵△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 , ∴S△ADP / S△ABP = 2/3 ，∴DP / AB = 2/3 .∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB .∴DP / AB = CP / CB ,∴CP / CB = 2/3 .∴（4 - x）/ 4 = 2/3 ,∴x = 4/3 ,∴BP = 4/3 .。

谈谈动态探究型问题

Ａ．
４
Ｂ１．
ｃ７或ｌ．＿
４
ｎ或１或
４４
解析：因为Ａ是００Ｂ的直径，以厶４Ｂ＝０．ｔ所Ｃ９￣ＡＡＢ中，ＲＣ
ＢＣ＝４ＢＣ＝６０￣２．
所以Ａ２Ｃ４ｍ．当／ＢＥ９。，ｔＥ中，船Ｂ＝Ｂ＝ｃＦ＝０时ＲＡＢＦ＝６。则Ｂ＝Ｂ２ｍ，此时－ — Ｅ２ｍ所以Ｅ运动的距０，Ｅ２ｃ故ＥＡＢＢ＝ｃ．点离为２ｍ６ｍｃ或ｃ．
ｔ１５或２２ｓ上所述，的值为１、．５或２２ｓｇ，Ｅ＝．ｓ．５．７综当ｔ１ｓ．５￣ＡＢ腥ｓ７
直角三角形．故选Ｄ．
点评：根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形ＡＢＣ．根据３。直角三角形的性质．求出ＡＢ的长．ＢＥ再０的可 △ Ｆ
故ｔｌ或３．由于Ｏ３＝ｓｓ ≤ ＜，故ｔ３不合题意，舍去；所以当＝ｓ
ＺＢＥ９。，ｌ．当／ＢＦ９ｏ，＿Ｆ＝０时ｔｓ＝ ② ＿Ｅ＝０时同① 可求得Ｂ＝．ｃ此＿ＥＯｍ，５
时Ａ＝ＢＢ＝．ｃＥＡ — Ｅ３５ｍ，所以Ｅ点运动的距离为３ｃ或４５ｍ，．ｍ．ｃ故５
｛本文系２１０１年安徽省六安市教育科学规划重点课题（Ｍ１０８ “ 新课程相适应的学生作业设计研究 ” 部分研究成果．Ｌ１３）与的

中考数学热点专题训练冲刺4动态探究含解析

冲刺4 动态探究考向1 动点与最值1．如图，在Rt△ABO中,∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB =13,点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．（52，52）C．(83，83）D．（3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4），D（2，0),C(4,3），点D关于AO 的对称点D’(0，2），设l D’C：y=kx+b,将D'（0,2），C(4，3)代入，可得y=14x+2，与y=x联立，得，x=83，y=83，∴P（83,83）故选C．2.如图，在平面直角坐标系中,点A，B在反比例函数()0ky kx=≠的图像上运动，且始终保持线段AB=M为线段AB 的中点，连接OM。

则线段OM的长度的最小值是(用含k的代数式表示）。

A作x轴⊥AC,过点B作y轴⊥BD,垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短。

即OM垂直平分AB．设点A坐标为（a，a ＋4），则点B坐标为（a ＋4，a)，点F坐标为（a，a）。

由题意可知△AFB为等腰直角三角形，∵AB=∴AF=BF=4.∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a (a＋4)=k，解得a =42k+-.在Rt△OCF中2)=∴OM=OF＋FM=3．图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切线；(2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值。

解：(1）过点O 作OG ⊥CD 于点G ，菱形ABCD 中，AC 是对角线， ∴AC 平分∠BCD, ∵OH ⊥BC ， ∴OH=OG ， ∵OH 是O 的半径，∴OG 等于O 的半径, ∴CD 是O 的切线.①(2)∵AC=4MC ，AC=8，∴OC=2MC=4，MC=OM=2，∴OH=OM=2，在Rt △OHC 中,OH=2，OC=4，∴=tan ∠HOC=3HCOH,∴∠HOC=60°, ∴S阴影=S △OCH －S扇形OHM=216022360CH OH =23.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.∵ON=OM=OH,∠MOH=60°, ∴∠MNH=30°，∠MNH=∠HCM,PH+PM的最小值为。

动态探究问题—“45°角的处理”

动态探究问题 “45°角的处理策略”教学目标：1．通过一道动态压轴题进行一题多解，探究45°角的处理策略；2．进一步培养学生观察、思考、分析问题、解决问题的能力，体会数学解题中的联想机制以及建模的重要性；3．通过探究学习，体会数学之美、数学之魅、数学之巧、数学之趣，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：探究一道动态压轴题的多种解法。

教学难点：在多种解法中理解建模的意义，通过比较不同解法，学会简便解决问题的操作策略。

教学过程：1.给出问题：如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，且经过点C (0，2)、D (3，72)，点P是直线CD 上方抛物线上一动点，当∠PCD =45°时，求P 点坐标．分析：45°角会让你想到什么？45°的完美只有在等腰直角三角形中才能体现出来。

抓住45°角 构造直角三角形 构造“K ”全等。

变式训练：习题2：若将条件∠PCD =45°改为∠PCD =30°呢？（或将此条件改为tan ∠PCD =12）教学反思：通过一题多解及变式训练可以看出，紧抓45°不放手，紧扣一条主线“45°”——构造等腰直角三角形——构造K 字形全等，总是可以解决此类题型。

当然也可以构造平时解题中积累的其他模型，如“半角模型”等。

其实45°仅仅只是一个特例、一个代表，将45°改为其他特殊角，或改成一般角的已知其三角函数的某个角，都可以用上面的方法解决，此时的主线变为“已知三角函数的固定角——构造直角三角形——构造K 字型相似”。

中考数学专题复习因动点产生的函数问题--动态探究问题(一)(无答案)

因动点产生的函数问题——动态探究问题（一）【课前热身】动点沿三角形或四边形或圆或直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象.1。

如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x的函数关系的图象是（）2.如图,动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（)3。

如图，△ABC中,∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16.点P是斜边AB上一点（P点与A、B两点不重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q。

设AP＝x,△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）【知识归纳】解答函数的图象问题一般遵循的步骤是：① 根据自变量的取值范围对函数进行分段;② 求出每段的解析式;③ 由每段的解析式确定每段图象的形状.【例题讲解】动点沿三角形或四边形的边运动，或者动点沿圆周运动,通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系;或者通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系;动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。

如图，抛物线n mx x y ++-=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （－1，0)、C （0，2）（1）求抛物线的解析式；(2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P 点的坐标；如果不存在,请说明理由；（本小题请同学们课后选做）（3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标。

动态问题复习

1 / 4中考数学复习专题动态探究题这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。

主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。

几何动态题的解题策略：第一：全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与不变的量及其位置关系。

这是解题的关键，审题一定要清楚和仔细，真正全面地了解这是什么类型的运动？怎样运动？沿什么方运动？甚至速度是多少都要彻底搞清楚。

理解在运动、变化的过程中哪些量在变？哪些量保持不变？理解变量之间的位置、数量关系。

在考试中很多同学往往就是因为审题不清而导致失误，甚至不少同学根本连题目都还没有读清楚就望而怯步。

第二：要按给定条件画出不同状态下的图形，将运动的点用静态的图去分析，探索在运动变化中问题的不变性，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，找到“动”与“静”的关系，做到动中觅静，以静制动，动静互化。

同时，通过建立运动中两个变量的函数关系，用联系发展的观点来研究变动元素之间的关系，达到以动制动。

第三：应用分类讨论思想，将动态问题划分为若干既不重复，也不遗漏的几个小问题加以一一解决，从而使复杂、难于解决的问题简单化，特别是当问题条件不具体而模棱两可时，通过分类讨论可以确定准确的答案。

同学们在进行分类解题时，关键是要有分类意识，克服想当然的错误习惯。

特别是应用分类讨论时要将在运动过程中导致图形本质发生变化时的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”，运用相关知识如方程、相似形进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

（一）动点型动态探究题 1．（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？2．（09齐齐哈尔）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3．（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．4.（09济南）如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CM2 / 45.（09兰州）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由． 6. 如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

九年级中考数学复习专题十几何动态探究题

专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F 到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t 5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x ＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。

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动态探究题? 这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。

解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证。

中考题中的动态型试题是考查学生创新意识的重要题型之一。

（一）动点型动态探究题例1. 如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A（2（3（4（2）D的坐标。

（418）由（1）易知抛物线的对称轴为x＝9. 由点C（8，6）知点D坐标为（10，6）依题意有: m m t222342+=()()∴=m t85∴≤≤Q t t t()()856505，当Q在CB上时，点Q所走过的路程为2t∵OC＝10∴CQ＝2t－10∴点Q的横坐标为2t－10＋8＝2t－2∴Q（2t－2，6）（5<t≤10）（4）由条件知：梯形OABC的周长为44当Q点在OC上时，P点运动的路程为t，则Q点运动的路程为（22－t）依题意有：整理得：t2－22t＋140＝0∴这样的t不存在当Q在BC上，Q走过的路程为（22－t）∴这样的t值也不存在∴不存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积。

例2. 如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，AB＝10，BC＝3（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长。

（2）如果点M在AB上移动，（点M与A、B不重合）且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写取值范围不需推理）例3.（S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使S SABCD =12矩形？（3）当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？分析：这是一道探索性开放题，图形是不断地变化，解题关键是从特殊情形入手，总结出其中所蕴涵的规律性特征，找出S与x之间的函数关系式，判断出S与x之间变化的规律，从而对n＝k（k≥1）的一般情形作出猜想。

解：（1）当n＝1时，如图②，有AE＝BF＝CG＝DH则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点当n＝2时，如图③，AE＝CG，DH＝BF＝2AE矩形ABCD中，有BC＝2AB仍必须有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点（2）当n ＝3时，如图④ AE ＝CG ，BF ＝DH ＝3AE设AE ＝x ，则BF ＝DH ＝3x ，∴BE ＝a －x ＝DGAH ＝CF ＝3a －3x即S x ax a x a =-+≤≤663022()，配方得：S x a a =-+623222( ∵a ＝6>0，∴开口向上 ∴<<当时，随增大而减小02x a S x ， x a S x >2时，随增大而增大即点E 为AB 中点例（2）作直线QN ，使QN//PM t 的函数（2AB 上，，， ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为：S FQ PE EF t =+⋅=+23232 <2>当6≤t ≤8时，点P 在BC 运动，点Q 仍在AB 上运动，如图③设PM 与DC 交于点E ，QN 与AD 交于点F则，，AQ t AF t QF t ===1232，DF t =-42，，()，而BD=43610103=-=-=-BP t CP t PE t<3>当8≤t≤10，点P和点Q都在BC上运动，如图④=-=-()，CP t PE t10103，()=-=-2022023则，CQ t QF t∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为：例5.如图在平面直角坐标系内，点A和C的坐标分别为（4，8）（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF//CD交AC于点F（1）求经过A、C两点的直线解析式。

（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不（3E作设OD＝x，则BE＝x，BD＝4－x由（2）知：经检验：∴存在符合条件的点D，此时∴正方形C’DEF’的面积：（三）圆动型动态探究题例6.A、B（1）求A、B两点的坐标。

（2）一个圆心在坐标原点，半径为1的圆以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切？（3）在题（2）中若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个单位/秒的速度运动，问整个运动过程中，点P 在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？分析：（1）较简单（2）可先设想圆运动至与直线l 相切的位置后，再借助图形利用相似获得结果，应考虑切点在点A 的右侧的情况。

（3）点P 在动圆的圆面上运行的路程应是以点A 左侧与动圆的切点至A 点右侧与动圆的动点之间的线段长，可得结论。

解：（）在中1343y x =-令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4∴A 、B 两点的坐标分别为A （4，0），B （0，－3）（2）如图例1 （2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A→B→C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM⊥AD.1．当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；2．当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A→B 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，（当P 、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q 作直线QN ，使QN∥PM，设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t≤8），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S （cm2）.（1）求S 关于t 的函数关系式；（2）求S 的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。

而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.略解：由AP=2 ，∠A=60°得AE=1，EP= . 因此.2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此不规PG=(t+2),(t+2)-·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=.ABCD=16,S△AQF=而可得∴PG=(10-(10-t)=-t2-(10-t)2=得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当 6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=. ∴A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.ON·MN=t·2=t.2-(t-4)=6MN·OH=(6-t)t=-∴S=t·2=4×2=t-2=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2；当2＜t≤4时，=4；当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是.但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是.而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4. 综上失解，总之，。