专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)

专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）➢知识指引拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：➢知识要点：解决抛物线型问题的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.➢知识小结：（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.➢典型例题：类型一：与拱桥有关的水位升降问题【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入，得{b=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），由抛物线经过点D和点B，可得{25a＝m，100a＝m−3，解得{a＝−125，m＝−1，∴抛物线的解析式为y=－125x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的解析式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，代入得{c=0.5，a+c=0，解得{a=－0.5，c=0.5，故解析式为y=－0.5x2＋0.5；（2）如图：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求支柱EF的长度.（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,506.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴236505y x x =-+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），∴236915155052y =-⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=72m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有2363.3505x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．答：行车道最宽可以铺设13.4米．➢ 跟踪训练：1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－14x 2，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为（ ）A ．－6mB ．12mC ．16mD ．24m【解析】依题意，设A 点坐标为（－8，y ）， 代入抛物线方程得：y=－14×64=－16，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－16x 2＋bx ＋c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m【解析】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即－b 2a =b13=6．∴b=2．∵C （0，4），∴c=4．∴抛物线解析式为y=－16x 2＋2x ＋4=－16（x －6）2＋10． 当y=8时，8=－16（x －6）2＋10．解得x 1=6＋2√3，x 2=6－2√3． 则x 1－x 2=4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3． 故选：D ．3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面上升1.5m ，水面宽度为 m ．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，由已知可得，点（2，－2）在此抛物线上，则－2=a×22，解得a=－12，∴y=－12x 2，当y=－0.5时，－12x 2=－0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m ， 故填：2．4.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【解析】以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数解析式为y=kx2．将A的坐标代入，得y=－1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是－1.2和1.2，∴当x=1.2时y=－1.584，∴GH=CH－CG=4.4－1.584=2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．5.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m．（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x－h）2＋k，∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=－0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=－0.04（x－10）2＋4；（2）由题意得可设E （1，y ），把E 点坐标代入抛物线的解析式为y=－0.04（x －10）2＋4， 解得：y=－0.76， ∴DF=0.76m ．6.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点． （1）B 点的坐标为 ； （2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解析】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，－5），故答案为（4，－5）；（2）设抛物线的解析式为y=ax 2，将点B 的坐标代入上式得－5=a×42，解得a=－516，∴该抛物线的解析式为y=－516x 2；（3）将x=2代入上式，得y=－516x 2=－54，∵54＋34=2，而1.8＜2， 当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．7.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解析】（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数解析式为：y 1═a 1x 2．将F （6，－1.5）代入y 1═a 1x 2有：－1.5═36a 1，求得a 1═−124， ∴y 1═−124x 2，当x═12时，y 1═−124×122═－6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y 2═a 2（x －6）2＋1，将H （0，4）代入其解析式有：4═a 2（0－6）2＋1，求得a 2═112，∴右边钢缆所在抛物线解析式为：y 2═112（x －6）2＋1，左边钢缆所在抛物线解析式为：y 3═112（x ＋6）2＋1②设彩带的长度为Lm ，则L═y 2－y 1═112（x －6）2＋1－（−124x 2）═18x 2−x ＋4═18(x −4)2＋2，∴当x═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．。