专题20 函数与导数综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2fxxaxb．
（1）讨论()fx的单调性；
（2）是否存在,ab，使得()fx在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,ab的所有值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）01ab或41ab．
【解析】（1）2()622(3)fxxaxxxa．
令()0fx，得x=0或3ax．
若a>0，则当(,0),3axU时，()0fx；当0,3ax时，()0fx．故()fx在(,0),,3a单调递增，在0,3a单调递减；
若a=0，()fx在(,)单调递增；
若a<0，则当,(0,)3axU时，()0fx；当,03ax时，()0fx．故()fx在,,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减．
（2）满足题设条件的a，b存在．
（i）当a≤0时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递增，所以()fx在区间[0，l]的最小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab．此时a，b满足题设条件当且仅当1b，21ab，即a=0，1b． 专题20函数与导数综合 （ii）当a≥3时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递减，所以()fx在区间[0，1]的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab．此时a，b满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0
若3127ab，b=1，则332a，与0
若3127ab，21ab，则33a或33a或a=0，与0
综上，当且仅当a=0，1b或a=4，b=1时，()fx在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
【名师点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数22ln12fxxaxxx．
（1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；
（2）若0x是fx的极大值点，求a．
【答案】（1）见解析；（2）16a
【解析】（1）当0a时，()(2)ln(1)2fxxxx，()ln(1)1xfxxx．
设函数()()ln(1)1xgxfxxx，则2()(1)xgxx．
当10x时，()0gx；当0x时，()0gx．故当1x时，()(0)0gxg，且仅当0x时，()0gx，从而()0fx，且仅当0x时，()0fx．
所以()fx在(1,)单调递增．
又(0)0f，故当10x时，()0fx；当0x时，()0fx．
（2）（i）若0a，由（1）知，当0x时，()(2)ln(1)20(0)fxxxxf，这与0x是()fx的极大值点矛盾． （ii）若0a，设函数22()2()ln(1)22fxxhxxxaxxax．
由于当1||min{1,}||xa时，220xax，故()hx与()fx符号相同．
又(0)(0)0hf，故0x是()fx的极大值点当且仅当0x是()hx的极大值点．
2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)xaxxaxxaxaxahxxxaxxaxx．
如果610a，则当6104axa，且1||min{1,}||xa时，()0hx，故0x不是()hx的极大值点．
如果610a，则224610axaxa存在根10x，故当1(,0)xx，且1||min{1,}||xa时，()0hx，所以0x不是()hx的极大值点．
如果610a，则322(24)()(1)(612)xxhxxxx．则当(1,0)x时，()0hx；当(0,1)x时，()0hx．所以0x是()hx的极大值点，从而0x是()fx的极大值点
综上，16a．
【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论0a和0a，当0a时构造函数22fxaxhxx时关键，讨论函数hx的性质，本题难度较大．
【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数1lnfxxax．
（1）若0fx，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，2111111222nmL，求m的最小值．
【答案】（1）1a；（2）3
【解析】（1）fx的定义域为0，+． ①若0a，因为11ln2022fa=-+，所以不满足题意；
②若a0，由1axaf'xxx知，当0x,a时，f'x0；当，+xa时，f'x0，所以fx在0,a单调递减，在，+a单调递增，故x=a是fx在0，+的唯一最小值点．
由于10f，所以当且仅当a=1时，0fx．故a=1．
（2）由（1）知当1,x时，1ln0xx．
令112nx得11ln122nn．从而
221111111ln1ln1ln1112222222nnnLL．
故2111111e222nL．
而231111112222，所以m的最小值为3．
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
【命题意图】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）．主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算能力和逻辑推理能力．
【命题规律】导数的综合应用一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在解答题的压轴位置，难度较大．
【答题模板】
1．利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x）；
（3）由f'（x）>0（或<0）解出相应的x的取值范围，对应的区间为f（x）的单调递增（减）区间．
还可以通过列表，写出函数的单调区间．
2．证明或讨论函数的单调性
方法一：求出在对应区间上导数的正负即得结论．
方法二：（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）=0的根；
（3）利用f'（x）=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该子区间上的单调性．
【知识总结】
1．函数的极值
设函数y=f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）．极大值与极小值统称为极值．
一般地，当函数f（x）在x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，那么f（x0）是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，那么f（x0）是极小值．
注意：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f（x2）．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
（2）极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．
（3）f'（x0）=0是x0为f（x）的极值点的必要而非充分条件．例如，f（x）=x3，f'（0）=0，但x=0不是极值点．
2．函数的最值
在区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间[a，b]上连续的函数f（x）若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点． 注意：极值与最值的区别与联系
极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个．
3．利用导数解决函数单调性问题应该注意：
（1）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；
（2）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f'（x）>0与f'（x）<0这两个不等式的解集问题来处理；
（3）若可导函数f（x）在指定区间D上单调递增（减），则应将其转化为f'（x）≥0（f'（x）≤0）来处理；
（4）涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数f'（x）在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．
4．函数的图象与导函数图象的关系
理解导函数y=f'（x）的图象与函数f（x）图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等．
5．由函数的单调性求参数的取值范围的技巧
（1）由可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）求参数范围问题，可转化为f'（x）≥0（或f'（x）≤0）对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到．
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'（x）>0（或f'（x）<0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
（4）若已知f（x）在D上不单调，则f（x）在D上有极值点，且极值点不是D的端点．
6．求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法
（1）若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值；
（2）若函数在区间[a，b]内有极值，要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
高考数学(理)函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题(解析版)
函数与导数
14 导数及其应用 恒成立及存在性问题
一、具体目标：
1.导数在研究函数中的应用：
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.
2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
考点透析：
1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；
3.适度关注生活中的优化问题.
3.备考重点：
(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
二、知识概述：
一）函数的单调性：
1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0)(xf，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.
2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．
3.f(x)在区间I上可导，那么0)(xf是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，
但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定．
4. 讨论可导函数的单调性的步骤：
（1）确定)(xf的定义域； 【考点讲解】
（2）求)(xf，令0)(xf，解方程求分界点；
专题06 导数的几何意义——2020年高考数学(理)母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
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专题06 导数的几何意义
【母题来源一】函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，处的切线方程为
A．21yx B．21yx
C．23yx D．21yx
【答案】B
【解析】432fxxx，3246fxxx，11f，12f，
因此，所求切线的方程为121yx，即21yx.
故选B.
【名师点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 求得函数yfx的导数fx，计算出1f和1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________．
【答案】30xy
【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx
所以切线的斜率0|3xky，
则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30xy．
【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为
A．2yx B．yx
C．2yx D．yx
【答案】D
【解析】因为函数fx是奇函数，所以10a，解得1a，所以3fxxx，231fxx，
所以01,00ff，
所以曲线yfx在点0,0处的切线方程为00yffx，化简可得yx.
故选D.
【名师点睛】该题考查的是有关曲线yfx在某个点00,xfx处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得fx，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
1
专题06 函数的奇偶性的应用
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x<0时，f(x)=
A．e1x B．e1x
C．e1x D．e1x
【答案】D
【解析】由题意知()fx是奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当0x时，0x，则()exfx1()fx，得()e1xfx．故选D．
【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff
A．50 B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为()fx是定义域为(,)的奇函数，且(1)(1)fxfx，
所以(1)(1),(3)(1)(1),4fxfxfxfxfxT，
因此(1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)ffffffffff，
因为(3)(1),(4)(2)ffff，所以(1)(2)0())(34ffff，
因为(2)(0)0ff，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff．
故选C．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量
2 转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当(,0)x时，32()2fxxx,则(2)f______________．
专题15 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知2bca，3sin4sincBaC．
（1）求cosB的值；
（2）求sin26B的值．
【答案】（1）14；（2）35716．
【解析】（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，
又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba．
又因为2bca，得到43ba，23ca．
由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa．
（2）由（1）可得215sin1cos4BB，
从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，
故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB．
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．
【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知专题15 解三角形综合 sincos()6bAaB．
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值．
【答案】（1）π3；（2）b=7，sin(2)AB=3314．
【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．
（1）在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，
又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，
即πsincos()6BB，可得tan3B．
《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)
1
专题07 三角函数求值
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=
A．−2−3 B．−2+3
C．2−3 D．2+3
【答案】D
【解析】tan255tan(18075)tan75tan(4530)=tan45tan301tan45tan30
31323.313
故选D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点1Aa，，2Bb，，且2cos23，则ab
A．15 B．55
C．255 D．1
【答案】B
【解析】根据条件，可知,,OAB三点共线，从而得到2ba，
因为22212cos22cos12131a，解得215a，即55a，
2 所以525abaa，
故选B.
【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2，，tan α=2，则πcos()4= .
【答案】31010
【解析】由tan2得sin2cos，
又22sincos1，所以21cos5，
因为π(0,)2，所以525cos,sin55，
因为πππcos()coscossinsin444，
所以π52252310cos()4525210.
【名师点睛】三角函数求值的三种类型：
(江苏专版)高考数学 母题题源系列 专题03 算法初步(含解析)-人教版高三全册数学试题
word
1 / 13 专题03算法初步
【母题来源一】【2019年高考某某卷】下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______________．
【答案】5
【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可．
【解析】执行第一次，1,1422xSSx不成立，继续循环，12xx；
执行第二次，3,2422xSSx不成立，继续循环，13xx；
执行第三次，3,342xSSx不成立，继续循环，14xx；
执行第四次，5,442xSSx成立，输出5.S
【名师点睛】识别、运行流程图和完善流程图的思路：
（1）要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；
（2）要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题；
（3）按照题目的要求完成解答并验证．
【母题来源二】【2018年高考某某卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为word
2 / 13 ______________．
【答案】8
【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8ISISIS，
因为76，所以结束循环，输出8.S
【母题来源三】【2017年高考某某卷】如图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是______________．
【答案】2
【解析】由题意得212log216y，故答案为2．
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． word
3 / 13
【命题意图】
（1）了解算法的含义，了解算法的思想.
（2）理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
（3）理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
重磅解析2019年高考数学导数压轴题，三角函数与导数结合是方向
重磅解析2019年⾼考数学导数压轴题，三⾓函数与导数结合是⽅向
本⽂通过对与三⾓函数交汇的导数压轴题的分析，给出了这类问题的五种解题策略，通过探究，突破
了思维的瓶颈，打通了知识的内在联系，提⾼了分析问题的能⼒
探究导数问题是压轴题的常客，也是整套试题中的重头戏，是最具区分度的亮丽风景所在.因此，如何
破解导数压轴题是教师和学⽣⾯临的⼀⼤难题.随着⾼考命题的深⼊开展，导数压轴题的命制并没有⾛
⼊桎梏，反⽽涌现出越来越多的经典题型，极⼤地丰富了数学教学的素材，对培养学⽣的综合能⼒也
起到不可估量的作⽤如近⼏年就兴起了⼀类与三⾓函数交汇的导数压轴题这类试题可谓多姿多彩，常
考常新.由于表达式中含有三⾓函数的函数的⽆论怎么求导函数，都会出现含三⾓函数的较为复杂的函
数表达式，因此对问题的后续处理较为困难.
通过对近年来的⼏类与三⾓函数交汇的导数压轴题的分析，探究出此类问题的解题策略
⼀、利⽤洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的⼀⼤常见⽅法是分离参数，然后转化为不含参
数的函数的最值问题的求解.对有些与三⾓函数进⾏交汇的导数问题，也是⼀⼤处理策略.但有些试
题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处
理，此时，洛必达法则可派上⽤场。⽐如例1
⼆、利⽤函数的有界性
有界性是很多函数的⼀⼤特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成⽴问题是⼀⼤热点，除了分离参
数外，分类讨论思想是这类问题的⼀⼤利器，但如何进⾏分类讨论是问题的难点.在与三⾓函数进⾏交
汇的这类导数问题中，若能有效地利⽤三⾓函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从⽽
实现问题的求解。 ⽐如例2
三、利⽤隔离直线
对于较为复杂的函数，如果直接构造⼀个函数可能很难甚或⽆法解决.此时，如能通过等价转化，并进
⾏适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能⼤⼤简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图
像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成⽴问题有着⾮常密切的联系.如果我们能够找到
2019年高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数 专题能力训练8
和任何人呵呵呵 专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围
一、能力突破训练
1.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.
(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
3.已知函数f(x)=ax+xln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;
(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.
4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
5.设函数f(x)=aln x,g(x)=x2.
(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;
(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.
和任何人呵呵呵
6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
二、思维提升训练
7.已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f. 和任何人呵呵呵
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编
考点01 利用导数求函数单调性，求参数 一、解答题
1．（2023∙年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数
ex
fxaax
．
(1)讨论
fx
的单调性；
(2)证明：当0a
时，3
2ln
2fxa
．
2．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数1
ln1fxax
x
．
(1)当1a
时，求曲线
yfx
在点
1,fx
处的切线方程．
(2)若函数
fx
在
0,
单调递增，求a
的取值范围．
3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数1
()(1)lnfxaxax
x
．
(1)当0a时，求()fx
的最大值；
(2)若()fx
恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数32
(),()fxxxgxxa
，曲线()yfx
在点
11,xfx
处的切线也是曲线()ygx
的切线．
(1)若
11x
，求a；
(2)求a的取值范围．
5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数22
()3ln1fxaxaxx，其中0a.
（1）讨论
fx
的单调性；
（2）若
yfx
的图象与x
轴没有公共点，求a的取值范围.
6．（2020年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）已知函数()(2)x
fxeax.
（1）当1a时，讨论()fx
的单调性；
（2）若()fx
有两个零点，求a
的取值范围.
7．（2020年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数1
()elnlnx
fxaxa
．
（1）当ae
时，求曲线
yfx
在点
1,1f
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
1fx
恒成立，求a的取值范围．
考点02 恒成立问题 1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x时，
sinxxxx
高考数学(理)三年真题专题演练—导数及其应用(解答题)
高考数学三年真题专题演练—导数及其应用（解答题）
1．【2021·天津高考真题】已知0a，函数()xfxaxxe．
（I）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程：
（II）证明()fx存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得()fxab对任意xR成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）(1),(0)yaxa；（II）证明见解析；（III）,e
【分析】
（I）求出fx在0x处的导数，即切线斜率，求出0f，即可求出切线方程；
（II）令0fx，可得(1)xaxe，则可化为证明ya与ygx仅有一个交点，利用导数求出gx的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令2()1,(1)xhxxxex，题目等价于存在(1,)x，使得()hxb，即min()bhx，利用导数即可求出hx的最小值.
【详解】
（I）()(1)xfxaxe，则(0)1fa，
又(0)0f，则切线方程为(1),(0)yaxa；
（II）令()(1)0xfxaxe，则(1)xaxe，
令()(1)xgxxe，则()(2)xgxxe，
当(,2)x时，()0gx，gx单调递减；当(2,)x时，()0gx，gx单调递增，
当x时，0gx，10g，当x时，0gx，画出gx大致图像如下：
所以当0a时，ya与ygx仅有一个交点，令gma，则1m，且()()0fmagm，
当(,)xm时，()agx，则()0fx，fx单调递增，
当,xm时，()agx，则()0fx，fx单调递减，
xm为fx的极大值点，故()fx存在唯一的极值点；
（III）由（II）知max()()fxfm，此时)1(1,mamem，