举例说明矩阵位移法
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矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
结构力学基础矩阵位移法基本概念、计算程序和例题讲解
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
结构力学基础 矩阵位移法基本概念、计算程
序和例题讲解
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学之矩阵位移法
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解∙基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
∙位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K∙系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 l EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI l EI l EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得1Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI ∙解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl ∙由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解∙对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
第8章矩阵位移法例题 结构力学
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
l
1 ql
1 ql
2
2
p
1 pl 8
1 pl 8
l
l
2
2
1p
1p
2
2
第8章矩阵位移法
例题 2 （1）求各单元在局部坐标系中固端力向量
例题 2
第8章矩阵位移法
(2)将
转换成
单元①
单元②
例题 2
第8章矩阵位移法
(3)利用单元定位向量，将
中元素反号后叠加集成
第8章矩阵位移法
例题 3
图示桁架，已知结点位移列阵
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
0
0
1
第8章矩阵位移法
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结构分析方法的发展：
与人类生产活动以及科学技术水平的发展有着密切的联系。
桁架结构分析理论与分析方法， 和钢结构的广泛应用有直接关系。 刚架结构的分析方法，与钢筋混凝土结构的大量出现有关。
计算机未广泛使用前，
迭代法、 D值法、
反弯点法、 分层法等等。
计算机广泛使用后， 结构矩阵分析方法、 有限元法等。
1 2 1 FP l ql 1 2 1 i1 4 4i2 22 i2 4= q BF l M 1 M BC 8 = 4i2q B 12 2i2qC ql M AB i1q i q A 1 B P= 12 8 1 M 2 4i2 1 C 2 2i2 q 2 1 ql M = 2 i q 4 i q ql M BA = 2i1q A 4i1q B FP l CB 2 B 2 C 12 12 8
C
a) 两跨连续梁
结构分析中的有限元法
武汉理工大学出版社 出版社 科技分社
F
(1)
=k
(1)
(1)
(2)
F
(1) P
F
(2)
=k
(2)
(2)
F
(2) P
F (1)
F
为单元杆端力列阵。
(1) (2)
F
若
(1) P
为单元杆端位移列阵。
为非结点荷载引起的单元固端力列阵。
FP(2)
F
F
结构分析中的有限元法
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归纳起来，用矩阵位移法求解杆件结构的步骤为：
离散化
单元分析 整体分析 解方程组求结点位移
计算各单元杆端力
以下各节针对平面刚架结构作详细讨论
13
4i1 4i2 K = 2i2
第四步，解方程
2i2 4i2
K = F ，求 。
1 2 ql 2i2 q B 12 4i2 qC 1 ql 2 12
12
第五步，求杆端弯矩的最终值，并由此绘出原结 构的弯矩图。
A i1 B
FP
M1
q
M2
1 = 4i1q A 2i1q B FP l 8 1 = 2i1q A 4i1q B FP l 8 M
q
2
1 C FP l 4 i 2 i q 1 1 A 8 M AB l M l/2 = l/2 BA 2i1 4i1 q B 1F l P 8 (a) 两跨连续梁 i2
两跨连续梁
(c) 结点平衡MBA
B
(d) M 结点平衡 MCB BC
C
(c) 结点平衡
(d) 结点平
将结点B、C分别取出分析，如图(c)、(d)所示。
M BA M BC = M1
M CB = M 2
9
结构分析中的有限元法
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第三步，整体分析。
A i1
FP
M1 B l/2
结构分析中的有限元法
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第一节 概述
一、结构分析及其发展 结构分析，是指在一定的条件下计算结构的内力和位移； 还包括：
分析结构的几何组成关系； 分析结构失稳时的临界荷载； 分析刚度变化对结构内力的影响； 选择适当的结构型式等等。
1
结构分析中的有限元法
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F
(1) P (1)
=0
(1)
(2)
，
பைடு நூலகம்(1)
F
(2) P
=0
，则
=k
=k
(2)
(2)
(2)
为①、②两个单元的单元刚度方程。
k
(1)
、k
分别称为①、②两个单元的单元刚度矩阵。
8
结构分析中的有限元法
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k
(1)
M1
q
2
4i1 = 2i1
2i1 4i1 M
2
A =0
A
k
(2)
①
4i2 = B 2 2i
A
B
2i2 4i2②
B
C
C
C 第三步，整体分析。 i B l
A l/2 i1 l/2 (a) 两跨连续梁 FP M1 B q i2 l M2 C
=0 (b)A 离散化 ① B
②
C
M1 MBA B MBC
(b) 离散化 M1
M2 MCB C
2
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二、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法是以经典结构力学理论为基础、 以矩阵方法和线性代数作为其数学描述手段、以电子 计算机作为计算工具来实现结构分析的。 有：矩阵位移法、矩阵力法及矩阵混合法等。
矩阵位移法实际上是用矩阵形式表示的位移法分析过程。 矩阵力法则是以矩阵形式表示的力法分析过程。 矩阵混合法即为将矩阵位移法与矩阵力法结合起来
10
结构分析中的有限元法
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4i1 4i2 2i2
简记为：
1 2 1 FP l ql 2i2 q B M 1 8 12 = 4i2 qC M 2 1 ql 2 12
单元编号 结点编号
qA =0 A=0
A M1 B q M2 C ①
qB B
B (b) 离散化 M1 ②
qC C
C
结点位移编号
i2 l
6 M2
/2
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第二步，单元分析。
建立单元杆端力与杆 端位移之间的关系。 ①单元
M AB M BA
M1 B
写成矩阵形式为：
M AB 4i1 M = BA 2i1 1 Fl 2i1 q A 8 P 4i1 q B 1Fl P 8
M BC 4i2 M = CB 2i2
q i2 l
M2 C
M BA M BC = M1
M CB = M 2l/2
1 2 (a) 两跨连续梁 1 (4i1 4i2 )qB 2i2qC FPl ql = M1 12 8
1 2 2i2q B 4i2qC ql = M 2 12
合并写成矩阵形式，有
K = FJ FE
K = F
T
结 构 刚 度 方 程
= q B q C
称为结构的结点位移列阵；
F 称为结构的综合结点荷载列阵 。 F = FJ FE
FJ 称为直接结点荷载列阵。FE 称为等效结点荷载列阵。
11
结构分析中的有限元法
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K称为结构刚度矩阵，在本例中
②单元
M BC = 4i2 M CB
M BC 4i2 A ① M = CB 2i2
qA =0 A=0
1 2 qC qB B ql C 2i2 q B 12 C B ② 4i2 qC 1 2
的一种分析方法。
3
结构分析中的有限元法
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本书中将主要介绍矩阵位移法。需要指 出，矩阵位移法用于分析杆件结构（亦称一 维结构）时，也可称为杆件结构有限元法， 所得结果为精确解。而对于分析二维结构 或三维实体结构的弹性力学有限元法来说， 所得结果为近似解。
4
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三、 矩阵位移法分析杆件结构的步骤
举例说明：
FP A l/2 i1 l/2 (a) 两跨连续梁 M1 B q i2 l M2 C A
A=
求：各杆的杆端弯矩（亦称杆端力）。
5
结构分析中的有限元法
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第一步，结构的离散化。
FP A i1 l/2 l/2 (a) 两跨连续梁 M1 B q i2 l M2 C
(b) 离散化
l/2
2 ql B 12 l 1 2 = 2i2q B 4i2qC ql 12
q i2 2i
2qC
C1
ql 12
(1) P
F
F
(1)
=k
(1)
(1) M1
F
F
M2
7
(2) MBA (2)
=k
B
(2) MBC
(2) M CB P