常微分方程及空间解析几何单元测试题

常微分方程及空间解析几何单元测试题

（考试时间：150分钟）

一、填空题：（每小题3分，合计15分）

1．设有一个一阶微分方程的通解为22222()()x y C x y +=-，则该方程为 ． 2．方程(4)20y y y '''''-+=的通解为 ．

3．设2()(sin 2,,cos2)r t t t t = ，则(0)r ''=

． 4．如果直线λ12111:

1-=+=-z y x L 与直线1

1111:2z

y x L =-=+相交，那么常数λ的值为 ．

5．已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,,1

==a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ．

二、选择题：（每小题3分，合计15分）

１．方程22x y y xe '''-=的一个特解具有形式（ ）．

（A ）2()x x Ax B e + （B ）2x

Axe （C ）22x

Ax e （D ）2()x Ax B e +

2．已知123,,y y y 为方程12()()()y a x y a x y f x '''++=的三个线性无关的特解，123,,C C C 均为任意常数，则该方程的通解为（ ）．

（A ）1122C y C y +

（B ）112233C y C y C y ++

（C ）11223C y C y y ++

（D ）1122132()()C y y C y y y -+-+

3．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2

1y x

y x

α∆∆=

++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）．

（A ）2π （B ）4

e π

（C ）4e π

π （D ）π 4．设有直线⎩⎨

⎧=+--=+++0

31020

123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）

（A ）平行于π， （B ）在π上， （C ）垂直于π， （D ）与π斜交．

5．方程122222=-+c

z

b y a x 代表的曲面是（ ）．

(A)单叶双曲面 (B)椭圆抛物面 (C)双叶双曲面 (D)椭圆柱面

三、计算题：（每小题５分，合计30分）

1．设

1,(,)6

a b a b π=== ，求以2a b + 与a b + 为邻边的平行四边形的面积．

２.求直线102320

x y z x y z +++=⎧⎨

-++=⎩的对称式方程和参数方程．

3．求微分方程ln d (ln )d 0x x y y x x +-=满足条件1x e y ==的特解． 4．求解微分方程220y ny k y '''++=，其中,n k 为正常数． 5．设0

()sin ()()x

f x x x t f t dt =-

-⎰

，其中()f x 为连续函数，试求()f x ．

６.动点M 到点0(0,0,5)M 的距离等于它到YOZ 面的距离的2倍，求动点M 的轨迹方程，并说明动点轨迹是什么曲面．

四、（8分）求由1y x ,y x z =++=

与0z =所围立体在三个坐标平面上的投影．

五、（8分）设1y x =，22x y x e =+，23(1)x y x e =+是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程的通解及该方程． 六、（8分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑动距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大压力，使得飞机减速并停下。现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为5

6.010k =⨯）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

七、（8分）已知曲线()(0)y f x x =>是微分方程2(46)x y y y x e -'''+-=-的一条积分曲线，此曲线通过原点且在原点处的切线的斜率为0，试求曲线()y f x =到x 轴的最大距离．

八、（8分）已知直线220

:10

x y L y z +-=⎧⎨

-+=⎩和平面:10x y z π++-=，求

（1）直线L 在平面π上的投影L '； （2）L 和L '的夹角θ．

常微分方程与空间解析几何单元测试题参考答案

一、填空题：（每小题3分，合计15分）

1．2222(3)(3)x y yy y x x '-=- 2．1234x x y C C x C e C xe =+++ 3．(0,2,4)- 4．

4

5

5． 2 二、选择题：（每小题3分，合计15分）

1． A 2．D 3．C 4．D 5．B 三、计算题：（每小题5分，合计30分）

1．2

3),sin(|||||||)()2(|==⨯=+⨯+=b a a b a b b a b a S

．（5分）

2．解：取01x =-代入直线方程，得000y z ==，即求得直线上的一个点0(1,0,0)M -，（1分） 由于两个平面的交线与这两个平面的法向量12(1,1,1),(2,1,3)n n ==-

都垂直，所以可以取

121

1

1(4,1,3)213

i j k

s n n =⨯==---

（3分）

因此，所给直线的对称式方程为

1413

x y z

+==-- （4分） 参数方程为

143x t y t

z t =-+⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

（5分） 3．解：将原方程化为

11

ln y y x x x

'+

= 这是个一阶非齐次线性方程，利用公式求得其通解为1ln 2ln C

y x x

=+（4分）

代入初始条件，得12

C =， 故所求特解为11

(ln )2ln y x x =+．（5分）

4．解：特征方程为22

20r nr k ++=

，其根为1,2r n =-（2分）

分三种情况讨论：

（1）n k >，特征方程为两不同实根，解为

12()nx y e C C e -=⋅+．（3分）

（2）n k =，特征方程为两相同实根，解为 12()nx y C C x e -=+．

（4分）