利用导数求解恒成立问题
第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)-2024高考数学常考题型
第10讲恒成立能成立3种常见题型
【考点分析】
考点一：恒成立问题
若函数
fx在区间D上存在最小值
minfx
和最大值
maxfx
，则
不等式
fxa在区间D上恒成立
minfxa
；
不等式
fxa在区间D上恒成立
minfxa
；
不等式
fxb在区间D上恒成立
maxfxb
；
不等式
fxb在区间D上恒成立
maxfxb
；
考点二：存在性问题
若函数
fx在区间Ｄ上存在最小值
minfx
和最大值
maxfx
，即
,fxmn
，则对不等式有解问题
有以下结论：
不等式
afx在区间D上有解
maxafx
；
不等式
afx在区间D上有解
maxafx
；
不等式
afx在区间D上有解
minafx
；
不等式
afx在区间D上有解
minafx
；
考点三：双变量问题
①对于任意的
1,xab
，总存在
2m,xn
，使得
1212maxmaxfxgxfxgx
；
②对于任意的
1,xab
，总存在
2m,xn
，使得
1212minminfxgxfxgx
；
③若存在
1,xab
，对于任意的
2m,xn
，使得
1212minminfxgxfxgx
；
④若存在
1,xab
，对于任意的
2m,xn
，使得
1212maxmaxfxgxfxgx
；
⑤对于任意的
1,xab
，
2m,xn
使得
1212maxminfxgxfxgx
；
⑥对于任意的
1,xab
，
2m,xn
使得
1212minmaxfxgxfxgx
；
⑦若存在
1,xab
，总存在
2m,xn
，使得
1212minmaxfxgxfxgx
⑧若存在
1,xab
，总存在
2m,xn
，使得
1212maxminfxgxfxgx
利用导数研究双变量恒成立问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
导数二轮复习微专题
利用导数研究双变量恒成立问题
作为进一步学习数学和其他自然学科的基础，导数在数学教学体系内具有重要的地位和广泛的应用。近些年来，导数内容受到广大教育工作者的广泛关注，并成为命题热点。作为分析问题和解决问题的有力工具，导数能够与函数、不等式、解析几何等串联起来，所以，将传统内容与导数内容相结合，在知识网络的交汇处设计问题成为趋势。这样的命题思路不仅能有效检验学生的基础功底，强化能力考察力度，同时也能使试题具有更为广泛的实践意义。因此，在实际教学过程中，我们要突出导数的重要性，强化学生运用导数知识解决数学问题的意识。
一、2022年高考命题的要求
2022高考命题优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。并坚持把创新思维和学习能力考查渗透到命题全过程，落实“重思维、重应用、重创新”的命题要求，使高考由“解答试题”转向“解决问题”。
二、2022年高考命题的十项原则
1. 方向明确，立意鲜明，情景新颖，贴近实际。
2. 考查基础，变换情景，设问科学，注重创新。
3. 入易出难，路多口小，层层设卡，步步有难。
4. 材料在外，答案在内，考查思维，体现能力。
5. 体现国情，公平公正，以生考熟，直击软肋。
6. 起点很高，高屋建瓴，落点较低，回归体系。
7. 重点必考，主干多考，次点轮考，补点选考。
8. 共性好考，个性难考，试题开放，探究创新。
9. 小口切入，深入挖掘，小中见大，思维穿透
10. 掌握理论，学以致用，学科价值，重在应用。
三、部分高考压轴题函数模型 年份 函数模型 考查内容及思想方法
2013Ⅱ理 )ln()(mxexfx 证明不等式
2014Ⅱ理 xbexaexfxx1ln)(
证明不等式
2015Ⅱ理 2()mxfxexmx 双变量恒成立问题
2016Ⅱ理 2)1()2()(xaexxfx 零点求参，双变量问题，极值点偏移问题
高考数学专题：导数恒成立问题(含答案)
第 1 页 1、 设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
2、已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2
3、设函数f(x)＝aexln x＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
4、已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；
(3)若∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
5、若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
答案： B 2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋3x.设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝（x＋3）（x－1）x2.当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
故a的取值范围是(－∞，4]．
6、已知函数f(x)＝12x2－aln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
导数第三讲：与双变量有关的恒成立问题(解析版)
1专题十六与双变量有关的恒成立问题
一、问题指引
函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题．
二、方法详解
(一)独立双变量，化为两边同函数形式
【例1】设函数
ln,kRk
fxx
x
．
（1）若曲线
yfx
在点
,efe
处的切线与直线20x
垂直，求
fx
的单调递减区间和极小值（其中e
为
自然对数的底数）；
（2）若对任何
1212120,xxfxfxxx
恒成立，求k
的取值范围．
【解析】（1）由条件得
21
0k
fxx
xx
，∵曲线
yfx
在点
,efe
处的切线与直线20x
垂直，
∴此切线的斜率为0，即
0fe
，有21
0k
ee
，得ke
，
∴
221
0exe
fxx
xxx
，由
0fx
得0xe
，由
0fx
得xe
．
∴
fx
在
0,e
上单调递减，在
,e
上单调递增，当xe
时，
fx
取得极小值
ln2e
fxe
e
．
故
fx
的单调递减区间为
0,e
，极小值为2
（2）条件等价于对任意
1211220,xxfxxfxx
恒成立，
设
ln0k
hxfxxxxx
x
．则
hx
在
0,
上单调递减，
则
21
10k
hx
xx
在
0,
上恒成立，得2
211
0
24kxxxx
恒成立，∴1
4k（对1
,0
4khx
仅在1
2x
时成立），
故k的取值范围是1
,
4
【评注】此类问题一般是根据两边式子结构构造同一个函数，利用函数单调性求解
练习1.已知函数=+𝑬n.
（Ⅰ）求函数的图象在点1,1处的切线方程；
（Ⅱ）若∈，且−11恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）当>≥4时，证明：𝐵>𝐵
.
【解析】（Ⅰ）∵'
(𝐩=ln+2,∴'
(1)=2，函数𝐨𝐩的图象在点(1,1)处的切线方程=2−1；
导数恒成立问题3种基本方法
- 1 - 导数恒成立问题3种基本方法
尽管导数是一道常见的数学问题，但许多人仍然不知道如何正确地解决它。事实上，导数问题有三种基本方法，可以帮助您正确地解决它们。
第一种方法是使用公式。导数的公式是f'(x)=lim(h->0){f(x+h)-f(x)}/h。这个公式告诉我们，要计算某个函数在某个点上的导数，我们需要计算函数在该点上的两个点之间的斜率。在实践中，这通常意味着我们需要找到函数上的两个点，然后计算它们之间的斜率。
第二种方法是使用图表。如果我们有一个函数的图表，我们可以使用这个图表来计算其导数。具体来说，我们可以通过选择两个点，并计算它们之间的斜率来计算函数在某个点上的导数。这种方法特别适用于那些图表易于处理的函数。
第三种方法是使用微积分的原理。微积分的原理告诉我们，如果我们知道一个函数的导数，我们就可以通过求积分来计算这个函数。因此，我们可以使用这个原理来计算一个函数在某个点上的导数。虽然这种方法需要一些基本微积分的知识，但是它可以帮助我们更深入地理解导数的本质。
总之，导数问题可以通过使用公式、图表或微积分原理来解决。选择正确的方法取决于您的具体情况和数学水平。无论您选择哪种方法，都需要仔细分析问题，并仔细计算。
高考数学导数专题专讲 专题35 双变量恒成立与能成立问题概述(含答案)
专题35双变量恒成立与能成立问题概述
【方法总结】
1．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略
(1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端
函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围．
(2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有
关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位．
2．常见的双变量恒成立能成立问题的类型
(1)对于任意的x
1∈[a，b]，x
2∈[m，n]，使得f(x
1)≥g(x
2)⇔f(x
1)
min≥g(x
2)
max．(如图1)
(2)若存在x
1∈[a，b]，总存在x
2∈[m，n]，使得f(x
1)≥g(x
2)⇔f(x
1)
max≥g(x
2)
min．(如图2)
(3)对于任意的x
1∈[a，b]，总存在x
2∈[m，n]，使得f(x
1)≥g(x
2)⇔f(x
1)
min≥g(x
2)
min．(如图3)
(4)若存在x
1∈[a，b]，对任意的x
2∈[m，n]，使得f(x
1)≥g(x
2)⇔f(x
1)
max≥g(x
2)
max．(如图4)
(5)若存在x
1∈[a，b]，对任意的x
2∈[m，n]，使得f(x
1)＝g(x
2)⇔f(x
1)
max≥g(x
2)
max．(如图4)
(6)若存在x
1∈[a，b]，总存在x
2∈[m，n]，使得f(x
1)＝g(x
2)⇔f(x)的值域与g(x)的值域的交集非空．(如
图5)
考点一双任意与双存在不等问题
(1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x
1，x
2∈D，使得f(x
1)＞g(x
2)，等价于f(x)
min＞g(x)
max．其等
价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值．如图⑤．
(2)存在x
1，x
2∈D，使得f(x
1)＞g(x
2)，等价于f(x)
max＞g(x)
min．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一
个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图⑥．
第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练)(学生版)
第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若()afx)对xD恒成立，则只需max()afx；若()afx对xD恒成立，则只需min()afx．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(0a，0或0a，0)求解．
3、等价转化法 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
当遇到()()fxgx型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数()()()Fxfxgx或者“右减左”的函数()()()Hxgxfx，进而只需满足min()0Fx，或者max()0Hx，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．（2022·全国·高二）设a为正实数，函数322()34fxxaxa，若(,2)xaa，()0fx，则a的取值范围是（ ）
A．[2,) B．(2,) C．(0,2] D．2(0,)3
2．（2022·全国·高二）若不等式4342xxa对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．27a B．25a C．29a D．29a
3．（2022·全国·高二）已知函数22fxaxxa，对1,2x都有0fx成立，则实数a的取值范围是（ ）
利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围
利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围
- 1 - 利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题
（1）恒成立问题求参数范围：min)()(xfaxfa max)()(xfaxfa
例1已知函数()(1)ln1fxxxx。
（Ⅰ)若2'()1xfxxax，求a的取值范围；
练习1.设函数cbxaxxxf8332)(23在1x及2x时取得极值(1）求a，b的值,
（2)若对于任意的x［0，3]都有2)(cxf成立,求c的取值范围
答案：1. 解: (1）a=-3,b=4 (2）9+8c9
（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法.
例2。 已知函数xaxxfln)(2 （1)ea2时,求函数)(xf的单调区间和极值,(2)若函数xxfxg2)()(在［1,4］是减函数，求实数a的取值范围
解得:(1)函数)(xf的单调递减区间是),0(e ，单调递增区间是（,e)，极小值是0)(ef
(2）由xxaxxg2ln)(2得222)(xxaxxg依题意0)(xg所以0222xxax即222xxa又222)(xxx在［1，4］上是减函数，故 (4）min
=263-所以263a
练习1.已知)10(cos)(xxxaexfx（1）若对任意的0)(),1,0(xfx恒成立,求实数a的取值范围。（2)求证：)10(21sin2xxxex
解：（1）1a
(2）构造函数)10(21sin)(2xxxexhx且0)0(h则xxexhxcos)(由(1）知当a=—1时,)10(0cos)(xxxexfx故h(x)在（0，1)上单调递减，h(x）
- 2 - )10(21sin2xxxex
（3） 恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性
高中数学-导数中的恒成立问题
导数的恒成立问题
一、 不等式的恒成立问题
1.若,xD()fxm在D上恒成立，等价于()fx在D上的最小值min()fxm成立．
2.若,xD()fxm在D上恒成立，等价于()fx在D上的最大值max()fxm成立．
3.对任意xD，都有()()fxgx成立，等价于构造()()()Fxfxgx，max()0Fx．
4.对任意xD，都有()()fxgx成立，等价于构造()()()Fxfxgx，max()0Fx
5.对任意12,xxD，都有12()()fxgx成立的充要条件是maxmin()()fxgx．
【例1】 已知()2ln1fxaxbx
(1)若函数()fx在3x处取得极值，且曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线
与直线:230lxy平行，求a的值。
(2)若12b，试讨论函数()yfx的单调性。
(3)若对定义域内的任意实数x，都有1()()12fxbx成立，求a的取值范围。
【解析】 (1)2()afxbx 由已知可得2(3)03(1)22afbfab 解得3,12ab
（2）()fx的定义域为(0,)，当12b时，214()22axafxxx
所以当0a时，可得()fx在(0,)上单调递增
当0a时，()fx在(0,4)a上单调递减，在(4,)a上单调递增
（3）原不等式可以等价转化为4ln0axx
令函数()4ln(0)gxaxxx 所以只需要min()0gx即可
当0a时显然符合题意
当0a时，易知()gx在(0,)上单调递增，且当14axe 时，14()10agxe
所以也不符合题意
当0a时，()fx在(0,4)a上单调递减，在(4,)a上单调递增
所以此时只需要(4)4ln(4)40gaaaa 解得04ea
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧
随着新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题成为了考试中的热点问题。这种问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力。在函数、导数中，这种问题更为明显。本文将介绍两种解题技巧。
一、利用函数的性质解决XXX成立问题
利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用。例如，对于已知函数$f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b(a,b\in
R)$，若函数$f(x)$的图象过原点，且在原点处的切线斜率是$-3$，求$a,b$的值。我们可以先求出$f'(x)$，然后令$f(0)=b=0$，$f'(-1)$和$f'(1)$的乘积小于$0$，解出$a=-3$或$a=1$。再比如，若函数$f(x)$在区间$(-1,1)$上不单调，求$a$的取值范围。我们可以利用导函数$f'(x)$在给定的区间上有零点这一性质，根据函数零点的存在性定理解出$a$的取值范围。
二、利用数形结合思想解决恒成立问题
利用数形结合思想解决恒成立问题，可以通过画图来求出函数的单调区间、极值点等信息，再结合数学方法解决问题。例如，对于已知$x=3$是函数$f(x)=a\ln(1+x)+x^2-10x$的一个极值点，求$a$。我们可以求出$f'(x)$，然后令$f'(3)=0$，解出$a=16$。再比如，若直线$y=b$与函数$y=f(x)$的图象有$3$个交点，求$b$的取值范围。我们可以根据函数$f(x)$的单调性来求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出$b$的取值范围。
这些技巧可以帮助我们更好地解决函数导数中的恒成立问题，提高我们的解题能力。
方法点评：分离参数是解决恒成立问题的一种重要方法，通过构造新函数并求其最值，可以得到参数取值范围。同时，利用两个函数的最值也可以解决恒成立问题。