有限域上运算的实现(2)
有限域上运算的实现(2)
上面定义的乘法在GF (28 )上满足结合律，且有一个本原元 上满足结合律， （‘02’）。 ）。
8) GF(2
不可约多项式
f(x)=x8+x6+x5+x+1
本原元
“02”，即“x” 02”
指数对数表的建立
利用多项式基表示，计算出所有的“02”的 利用多项式基表示，计算出所有的“02” 方幂，得到指数表， 方幂，得到指数表，然后再反排序得到对 数表 计算乘法时，先利用对数表查出两个元素 计算乘法时， 对应的对数，然后将对数相加， 对应的对数，然后将对数相加，再查指数 表得出结果 求逆为255求逆为255-i
思考
GF(216)乘法如何实现？ 乘法如何实现？
模16次不可约多项式？ 16次不可约多项式 次不可约多项式？ 乘法表？ 乘法表？ 指数对数表？ 指数对数表？
利用上面的方法，可利用GF(28)域上的指数 利用上面的方法，可利用GF(2 对数表来实现GF(2 中元素的乘法。 对数表来实现GF(216)中元素的乘法。
有限域上元素的表示形式（ 有限域上元素的表示形式（续）
指数表示法 α 是GF(pn)中的一个本原元（乘法群的生成 中的一个本原元（ ），则 元），则GF(pn)中的元素可以表示为
GF ( p ) = {0, α = 1, α , α ,K , α
n 0 1 2
pn −2
}
有限域上乘法的实现
模不可约多项式法
有限域有限域gfpgfpnn多项式基多项式基是是nn次不可约多项式次不可约多项式fx在域gfpgfpnn则则gfpgfpnn中的元素可表示为中的元素可表示为指数表示法指数表示法是是gfpgfpnn中的一个本原元乘法群的生成中的一个本原元乘法群的生成元则gfpgfpnn中的元素可以表示为中的元素可以表示为模不可约多项式法模不可约多项式法耗时较大无需额外的存储求逆需要采用扩耗时较大无需额外的存储求逆需要采用扩展的欧几里得算法展的欧几里得算法乘法表乘法表效率高需要储存乘法表效率高需要储存乘法表指数对数表指数对数表效率高但比乘法表所需查表次数多两次表效率高但比乘法表所需查表次数多两次表的大小比乘法表小很多求逆很方便的大小比乘法表小很多求逆很方便gf2定义一个由组成的字节b可表示为系数为01的二进制多项式
GF(2~m)域SM2算法的实现与优化
般 三项式求余式 的算法，同时指出文献 ［ １中Ｊｃｂ ｎ １ ａｏｉ 加重射影 坐标系下点的加法的计算公式 的三个错误 。 ］ ａ
１有限域 Ｇ （ ） Ｆ ２ 上运算 的实现与优化 ｍ
在本文讨论有限域 Ｇ （ ） 我们采用 的均是多项式 基。设 Ｇ （） Ｆ２ 时， Ｆ２ 域上 ｍ次不可约多项式 － ， 中／ ∈Ｇ ２，＝ ，， ｍ一 ） ＝ Ｆ（ ｉ０１ …， １，是 Ｇ ） 七 一 ＋． ＋ｌ ｆ （ 。 ．埙 ｆｘ ０ 其 ｘ ・ ＋
的约化多项式。Ｇ ２） Ｇ （ 域上所有次数低于 ｍ的多项式构成 ，其加法单位元是零 Ｆ（ 由 Ｆ２ ｍ ）
多项式 ，乘法单位元是 常数多项式 １ Ｇ 在下 面的加法和乘法法则定义下构成一 个有限域： 。即
Ｉ 口 ： 口 ＝ ｌｍ ＋ ａｘ＋ １＋ ０ ６ ＝ ｌ ＋ ｂｘ＋ １＋ ０ ）力 法 设 ） 口 一 …＋ ２ 口ｘ ａ， （ ６ 一 ） …＋ ２ ６ ｂ ∈Ｇ ２） 贝 （ ＋ ）ｃ ，其 中 ｃ ＝ 埘ｌ 一 … ｘ Ｆ（ ， ０ ６ ＝ ） ） ） ｃ一 ＋ Ｘ ＋ ２ ｃ ｃ， ｉ ｆ ｉ０１ …， １ ＣＸ＋ ｎ ｃ ａ④６ ＝ ， ｍ一 ；也就是说加法运算是系数按位 异或运算 。 抖 ＝ ， ，
Ｋ ｅ ｒｄ ：ｐｏｎ ｕ ｔ ｉａ ｉｎ；ｔｉ ｍｉ ｌ ｌ ｎ ｍ ｉｌ ａ ａ ｔｏ ｅ ｃａ ｓｃ ｌｅ ｌｄｅ ｎ ａｇｏ ｔ ； ｉ ｄ ｙ ｗｏ ｓ ｉｔｍ ｌｉ ｃ ｔｏ ｐｌ ｒｎｏ ａ ｙ ｏ ａ ；ｖ ｒ ｎ ｆｔ ｌｓｉ ａ ｕｃｉ ａ ｌ ｒ ｈｍ ｍ ｘｅ ｐｏ ｉ ｈ ｉ
ｃ ｏ ｄｎａｅ ；ａ ｄ ｔｏ ．ｕ ｒ ｃｉｎｍ ｅｈ ｏ ｒ ｉ ｔ ｓ ｄ ｉｉ ｎ ｓ ｂｔａ ｔｏ ｔｏｄ
《网络安全》第5-6讲(2.4)
2.4 公钥（非对称）密码体制
2.4.2 公钥密码体制的原理
公钥密码体制的基本数学方法和基本原理如下所述。 2．用于构造公钥密码的常用单向函数 1）多项式求根 有限域GF(p)上的一个多项式
f ( x) ( x anmod p
当给定多项式的系数和x、p以后，利用Honer算法，最多进行 n次乘法，n-1次加法，就可以求得y的值。但已知多项式的系数a 和y、p以后，要求x，就需要对高次方程求根，至少要进行不小 于n2(lbp)2的整数次乘法，当n、p很大时很难求解。
定n以后求p、q的问题称为RSA问题。求n=p×q分解问题有以下几种形式：
（1）分解整数n为p、q； （2）给定整数M、C，求d使得Cd≡M mod n； （3）给定整数k、C，求M使得Mk≡C mod n； （4）给定整数x、C，决定是否存在y使得x≡y2mod n（二次剩余问题）。
遵义师范学院
给定x求y是容易的，但是当p很大时，从x=logby中要计算x是非常困难 的。如b=2，p=2100，给定x求y，只需作100次乘法，利用高速计算机可 在0.1ms内完成。而给定y求x，所需计算量为1600年。可见，有限域 GF(p)中的指数函数f(x)=bx是一个单向函数。
x=logby
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2.4 公钥（非对称）密码体制
2.4.1 公钥密码体制的基本概念 3.电子签证机关
电子签证机关（即CA）是负责颁发数字证书的权威机构。CA自 身拥有密钥对，可以使用私钥完成对其他证书的数字签名，同时也拥 有一个对外开放的证书（内含公钥）。网上的公众用户通过验证CA的 数字签名建立信任，任何人都可以得到CA的证书（含公钥），用以验 证它所签发的其他证书。如果用户想建立自己的证书，首先要向CA提 出申请证书的请求。在CA判明申请者的身份后，便为他分配一个密钥 对，并且CA将申请者的公钥与身份信息绑在一起，在为之完成数字签 名后，便形成证书发给那个用户（申请者）。如果一个用户想鉴别数 字证书是否为假冒的，可以用证书发证机构CA的公钥对该证书上的数 字签名进行验证，数字签名验证的过程是使用CA公钥解密的过程，验 证通过的证书就被认为是有效的。CA在公开密码体系中非常重要，负 责签发证书以及证书和密钥的管理等必要工作。CA相当于网上公安机 构，专门发放、验证电子身份证。
22+代数学基础+有限域(2)
• 有限域的子域：
设Fq 是阶为q = pm 的有限域( p 为素数)，则Fq 的每个子域的阶必为 pn ， 且n| m ； ， n| m ， 反之， 则恰有F 则恰有Fq 的一个阶为 pn 的子域， a∈ Fq 是Fpn 而且 是F 反之 如果 的一个元素，当且仅当a = a 。
pn
• 引理2: g(x)是Fp[x]上的不可约多项式, deg(g) = m, 那么 g(x) | x^{pm}-x. • 证明: Fp[x]/g(x)是一个pm阶有限域, β=x是这个域 的元素, g(x)是β的极小多项式. 又β ^{pm-1}-1=0, β是x^{pm-1}-1的根. 因此g(x)|x^{pm}-x. 因此任意阶为pm的有限域都有极小多项式g(x).
设 F 是一个有限域，那么 F 包含素数幂个元素，即 | F | = p （其中，
m
p 为素数，整数 m ≥ 1 ） 反之，对每一个素数幂 p m ，在同构的意义下存在 ；反之 反之，
唯一的阶为 p 的有限域，将这个域记为 Fp m 或 GF ( p ) 。
m m
有限域的阶
• 定理: 任意有限域的阶都是pn, 其中p为素数. 证明: 假设Fq是有限域, 特征为p. 则Fp = {0, 1, 21, …, (p-1)·1}为其子域. 向量空间. Fq 可以看作域Fp上的向量空间 向量空间 假设向量空间的维数为n, 那么q = pn.
向量空间
向量空间 设 V 是一个加群， F 是一个域，对任何 α ∈ F ，ν ∈V ， 定 义一 个元素 αν ∈ V ， 如果 对于 任意 α , β ∈ F , u , v ∈ V ， 运算都 满足 以下性质： (1) α (u + v ) = α u + α v ; (2) (α + β )u = α u + β u ; (3) (αβ )u = α ( β u ) ; (4) 1 ⋅ v = v . 则称 V 是域 F 上的一个向量空间或线性空间。
有限域多项式乘法
有限域多项式乘法
在有限域上进行多项式乘法涉及到两个主要问题：多项式系数在有限域上的取值和多项式乘法的实现。
首先，对于一个有限域$GF(q)$，多项式系数的取值范围仅为$0,1,\ldots,q-1$，因此在进行多项式乘法时，需要将每个系数限制在这个范围内。
同时，由于有限域上的加法和乘法运算具有特殊性质，因此需要使用相应的算法来实现多项式乘法。
一个简单的多项式乘法算法是“朴素算法”，即按照多项式乘法的定义进行乘法，然后将同次幂的项相加。
但这种算法的时间复杂度为$O(n^2)$，在多项式次数很高时效率较低。
更高效的多项式乘法算法包括FFT算法和NTT算法，它们的时间复杂度为$O(n\log_2 n)$，其中$n$为多项式次数。
这些算法利用了有限域上的特殊性质，通过将多项式转换为点值形式来加速多项式乘法。
因此，在进行有限域多项式乘法时，需要注意多项式系数的取值范围，并选择适当的算法以提高计算效率。
实验二：有限域上的运算
实验二：有限域GF28上的加减乘除运算实现
2、任选两个多项式进行四则运算：
代码如下：
/*本实验需要解决的几个问题：
1、用什么方法存储多项式最好
我用的是向量来储存多项式，比如：
ployn temp ;
temp.push_back(make_pair(1,0));
说明多项式temp 中只有一项，为x^0，
如果再执行temp.push_back(make_pair(1,4));
则多项式temp 变为x^0+x^4
make_pair中第一个元素是系数，第二个是次数
2、怎么生生成域
用递归生成，我们知道成域GFpn会有2的n 次方个元素，只要能求出2的n-1个，就可以求出2的n个
因为当为n 时，n-1中的每一个多项式添加一个x^n次方就可以了。
3、实现四则运算，尤其是在乘法和除法时，还有一个模运算的
因为是在二维的情形下啊的，所以实验中的加法减法的答案是同一个，
至于乘法，乘出来的多项式的次数每循环一次都会减小至少1，所以最终会小于8的。
有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论有限域上的多项式理论在代数学中，有限域是一种特殊的数学结构，它具有有限个元素的特性。
有限域的研究在代数理论和密码学等领域起到了重要的作用。
本文将探讨有限域上的多项式理论。
一、有限域的定义有限域是一个由有限个元素构成的域。
域是一个满足一定性质的数学结构，具有加法和乘法两种运算，并满足一系列的公理。
有限域在代数学中具有重要的地位，它的性质与无限域有很大的差别。
二、有限域上的多项式运算在有限域上，多项式的定义和运算也有所不同。
在有限域上，多项式的系数和指数都必须来自有限域中的元素。
多项式的加法和乘法运算也需要根据有限域的特性进行定义。
有限域上的多项式运算是有限域理论中的重要内容。
三、有限域上的多项式方程在有限域上，多项式方程的性质与实数域或复数域上的多项式方程有所不同。
有限域上的多项式方程通常具有非常特殊的性质，这也是有限域理论的研究重点之一。
通过研究有限域上的多项式方程，人们可以得到一些关于有限域性质的重要结论。
四、有限域在密码学中的应用有限域在密码学中有广泛的应用。
在密码学中，有限域上的多项式理论可以用来设计和分析密码算法。
例如，有限域上的多项式运算可用于实现循环冗余校验（CRC）码，这是一种常用的差错检测技术。
此外，有限域上的多项式方程还可用于设计与解密很难破解的密码系统。
五、有限域的应用领域除了密码学，有限域在其他领域也有广泛的应用。
例如，在编码理论中，有限域上的多项式运算可以用于设计纠错码和编码方案。
在代数几何中，有限域上的多项式方程被广泛用于研究曲线和曲面的性质。
六、有限域上的多项式理论的发展历程有限域上的多项式理论的研究可以追溯到19世纪末，当时数学家对有限域的性质进行了初步的研究。
随着代数学的发展和计算机技术的进步，有限域上的多项式理论得到了更深入的研究和应用。
七、有限域上的多项式理论的未来发展有限域上的多项式理论在代数学和相关领域中扮演着重要的角色，其未来发展仍有很大的潜力。
有限域多项式除法
有限域多项式除法
有限域上的多项式除法是指在有限域上的两个多项式的相除运算，其计算过程与实数域上的多项式除法类似，但存在一些特殊情况。
在有限域上进行多项式除法时，必须先确定一个有限域的特定特性，例如模运算的特殊规则。
具体的操作步骤如下：
1. 对被除式和除式进行归纳整理，使其次数以及所有项的指数都符合有限域的规定。
2. 确定一个有限域的特定特性（例如模运算的规则），以此作为除法运算的规则。
3. 将被除式和除式中的项依据特定特性进行运算，得到商式的每一项系数。
4. 将商式的每一项系数依次带入被除式中，计算得到一个中间结果。
5. 通过重复步骤4，将中间结果减去当前项的积，并将结果作为下一次计算的被减数。
6. 重复步骤4和5，直到所有项都被计算完毕。
7. 将每一次计算得到的中间结果放在一起，得到最终的商式。
需要注意的是，在有限域上进行多项式除法时，模数必须是一个不可约多项式（即不能再进行因式分解的多项式）。
如果模数不是不可约多项式，则运算结果可能不准确。
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思考
GF(216)乘法如何实现？ 乘法如何实现？
模16次不可约多项式？ 16次不可约多项式 次不可约多项式？ 乘法表？ 乘法表？ 指数对数表？ 指数对数表？
利用上面的方法，可利用GF(28)域上的指数 利用上面的方法，可利用GF(2 对数表来实现GF(2 中元素的乘法。 对数表来实现GF(216)中元素的乘法。
m( x ) = x + x + x + x + 1
上面定义的乘法在GF (28 )上满足结合律，且有一个本原元 上满足结合律， （‘02’）。 ）。
8) GF(2
不可约多项式
f(x)=x8+x6+x5+x+1
本原元
“02”，即“x” 02”
指数对数表的建立
利用多项式基表示，计算出所有的“02”的 利用多项式基表示，计算出所有的“02” 方幂，得到指数表， 方幂，得到指数表，然后再反排序得到对 数表 计算乘法时，先利用对数表查出两个元素 计算乘法时， 对应的对数，然后将对数相加， 对应的对数，然后将对数相加，再查指数 表得出结果 求逆为255求逆为255-i
有限域上的运算实现
有限域上元素的表示形式
有限域GF(p 有限域GF(pn) 多项式基 α 是n次不可约多项式f(x)在域GF(pn)中的一个根， 次不可约多项式f(x)在域 在域GF(p 中的一个根， 则GF(pn)中的元素可表示为
GF ( p n ) = {an −1α n −1 + an − 2α n − 2 + L + a1α + a0 | ai ∈ GF ( p ), f (α ) = 0}
耗时较大，无需额外的存储，求逆需要采用扩 耗时较大，无需额外的存储， 展的欧几里得算法
乘法表
效率高， 效率高，需要储存乘法表
指数对数表
效率高，但比乘法表所需查表次数多两次， 效率高，但比乘法表所需查表次数多两次，表 的大小比乘法表小很多， 的大小比乘法表小很多，求逆很方便
GF(28)
定义一个由 组成的字节b可表示为系数为 可表示为系数为{0， 定义一个由b7b6b5b4b3b2b1b0 组成的字节 可表示为系数为 ， 1}的二进制多项式： 的二进制多项式： 的二进制多项式
有限域上元素的表示形式（ 有限域上元素的表示形式（续）
指数表示法 α 是GF(pn)中的一个本原元（乘法群的生成 中的一个本原元（ ），则 元），则GF(pn)中的元素可以表示为
GF ( p ) = {0, α = 1, α , α ,K , α
n 0 1 2
pn −2
}
有限域上#43; b6 x 6 + b5 x 5 + b4 x 4 + b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0
还可以将每个字节表示为一个16进制数，即每4比特表示 还可以将每个字节表示为一个 进制数，即每 比特表示 进制数 为一个16进制数 代表较高位的4比特的符号仍在左 进制数， 为一个 进制数，代表较高位的 比特的符号仍在左 例如，01101011可表示为 可表示为6B。 边。例如，01101011可表示为6B。它们之间的运算为 中的运算。 GF (28 ) 中的运算。 8 定义在 上的加法定义为二进制多项式的加法， 定义在 GF (2 )上的加法定义为二进制多项式的加法，且其 系数模2。 系数模 。 GF (28 上的乘法（用符号 表示）定义为二进制多 ) 上的乘法（用符号·表示 表示） 定义 在 项式的乘积模一个次数为8的不可约二进制多项式 的不可约二进制多项式， 项式的乘积模一个次数为 的不可约二进制多项式，此 不可约多项式为（十六进制为‘ 不可约多项式为8 十六进制为‘163’） （ 6 5 ）