“李先允：现代控制理论基础”第4章线性系统的能控性和能观测性
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现代控制理论4-1
变换后的约当标准型每个约当块的最后一行所对应 Bˆ 阵中各行的
J1
xˆ
xˆ
元素不全为0。
Bˆ u
Jn
例：判别系统的可控性
2 1 0
1)x
0
2x2u
可控
x1 x2
2 x1 2 x2
x2 2u
2 1 1
第四章 控制系统的能控性和能观性
教学内容:
1.线性控制系统能控性和能观测性概述。 2.线性连续系统的能控性。 3.线性连续系统的能观测性。 4.线性离散系统的能控性和能观测性。 5.对偶性原理。
1 0 1
x
0
3
x
0
u
y [0 1]x
6.系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系。
0 1
1 0
2 1
2 0
4 1
rankM 3n
能控
26 6 17 0 0 1 0 4 2
M
MT
6
3
2
rank(MMT)3
17 2 21
2、具有约当标准型的系统的能控性判别
1）特征值互异：xAxBu能控的充要条件是经过非奇异变
换后的约当标准型 1
解：
Mb
பைடு நூலகம்1 x
Ab
2
0 1
1 0
x2
x1
u
rankM2
满秩，能控
2 0 1
3)x0 2 x1u
X2
解： Mb
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论基础课件第四章资料
x
2
1
u
1
x
3
0
0x4 1
x1
y 1
0
0
0
x
2
x
3
x4
计算系统的能控性判别矩阵
11
计算系统的能控性判别矩阵
0 1 0 1
U [B
AB
A2 B
A3
B]10源自100 1 0 11
1 0
11
0
rankU 4 n
根据能控性秩判据，系统完全能控。
12
定理4-3[能控性PBH秩判据]线性连续定常系统 x Ax Bu
对于多输入系统有类似的关系和性质。
（2）对于多输入系统， U阵非方， UU为T 方阵，则有
( A能, B控)
非奇U异U T
则能控度即为 detU的U值T 。
10
例4－2 倒立摆系统状态空间描述为
x1 0 1 0 0 x1 0
x
2
x x
3 4
0 0 0
0 0 0
1 0 11
0
x0和任意终端状态
x(t1 )
x
，
f
存在一个无约束容许输入 u(t) ，能在有限时间区间 [t0内,t1，]
使系统状态由 x0转移到 x，f 则称此系统或 (A,对B)是状态
完全能控的，或简称此系统或 (A,对B)是能控的。否则，
则称此系统或 (A,B)对是状态不完全能控的，或简称不
能控。
说明：
•对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点
αT A iαT ， αT B 0 的特征向量 α 0。
（4—39）
证明：见教材P120
能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
现代控制理论：CH4 线性系统的能控性与能观测性
x(t1) eAt1 x0
t1 eAt1e At Bu(t)dt 0
0
x0
t1 e At Bu(t)dt
0
x0
2
x0T x0
t1 0
e
At
Bu
(t
)dt
T
x0
t1 0
u
T
(t
)
BT
e
AT
t
x0dt
0
x0 2 0 即 x0 0
此结果与假设 x0 0相矛盾，即Wc[0, t1]为奇异的反设不成
x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全能控。
16
第4章 线性系统的能控性和能观测性
必要性：已知系统完全能控，欲证Wc[0, t1] 非奇异。反
设Wc[0, t1]为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
x0TWc[0, t1]x0 0
0 x0TWc[0,t1] x0
t1 0
x0T
e
对于所有 t t0,t1，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状
态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值 不能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
14
第4章 线性系统的能控性和能观测性
4.2 线性连续系统的能控性判据（ ※ ）
一、线性定常连续系统的能控性判据（※）
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank B AB
An1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc B AB 称为系统的能控性判别阵。
An1B
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 20
第4章 线性系统的能控性和能观测性
证明：充分性：已知rankQc=n，欲证系统完全能控， 采用反证法。反设系统为不完全能控，则有：
华南农业大学现代控制理论课件第四章 能控性和能观测性1讲
10
4.1 线性定常连续系统的能控性
本节主要内容 能控性定义 能控性判据
状态能控判据 输出能控判据
11
4.1 线性定常连续系统的能控性
• 含义：
能控性：u(t)
x(t) 状态方程
一、能控性定义（可控性）
1、状态能控性 x Ax Bu
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输 入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初 始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状 态完全能控的，简称系统是能控的。
4 1 0 0 0 4 0 x x （3） 3 1 2 0 0 3 0 1 0 u 0 1
解：(1) ∵ 2 0 ∴ 系统是能控的。 (2) 系统不能控的。 (3) 系统不能控的。
29
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当R1R4≠R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控 制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。
9
引言—问题的提出
例4.3 RLC网络
同样 取x1 i L , x 2 uc , y uc 当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流 作为电路的一个状态是不能由输出变量来确 定的，称该系统是不能观测的。
例4.4 判别下列状态方程的能控性。
2 （1） x 0
解：（1） n 2
Qc B
1 1 x 0u 1
AB A2 B An1B
1 2 [ B AB] 0 0 rankQ 1 n c
∴ 系统状态不完全能控。
x 0
x Bu n
中，B 阵不存在全零行。
4.1 线性定常连续系统的能控性
本节主要内容 能控性定义 能控性判据
状态能控判据 输出能控判据
11
4.1 线性定常连续系统的能控性
• 含义：
能控性：u(t)
x(t) 状态方程
一、能控性定义（可控性）
1、状态能控性 x Ax Bu
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输 入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初 始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状 态完全能控的，简称系统是能控的。
4 1 0 0 0 4 0 x x （3） 3 1 2 0 0 3 0 1 0 u 0 1
解：(1) ∵ 2 0 ∴ 系统是能控的。 (2) 系统不能控的。 (3) 系统不能控的。
29
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当R1R4≠R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控 制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。
9
引言—问题的提出
例4.3 RLC网络
同样 取x1 i L , x 2 uc , y uc 当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流 作为电路的一个状态是不能由输出变量来确 定的，称该系统是不能观测的。
例4.4 判别下列状态方程的能控性。
2 （1） x 0
解：（1） n 2
Qc B
1 1 x 0u 1
AB A2 B An1B
1 2 [ B AB] 0 0 rankQ 1 n c
∴ 系统状态不完全能控。
x 0
x Bu n
中，B 阵不存在全零行。
线性系统理论4能控性和能观性
如果存在某个时刻 t1 t0，使得rankQ O (t1 ) n
t0 为不能观测的。
定义 4.1.6 对于线性时变系统
x A(t)x
, x(t0 ) x0 , t0 , t J
y C(t)x
如果状态空间中所有状态都是时刻 t0(t0 J )
的能观测状态,则称系统在时刻 t0 是完全能
观测的。如果对于任何 t0 [T1,T2] 系统均是在
t0 时刻为能观测的，则称系统在 [T1,T2 ]
在 t0 , t1 上行线性独立，即对任意 n
维非零向量 z 都有
zT (t1 , )B( ) 0, t0 t1
4.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理 4.2.3 假设系统
x A(t)x B(t)u, t J
中的 A(t) 和 B(t) 的每个元分别是 n 2和
n 1 一次连续可微函数，记 B1(t) B(t)
那么它能控的充分必要条件是:
det b Ab An1b 0
4.3.3 PBH判据
定理4.3.2 定常线性系统
x Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0
能控的充分必要条件是，对每个 (A)
都有 rank A In B n 其中， ( A)
表示 A 的特征值集合。
推论 4.3.3 定常线性系统
2
dt
x0T T
(t1 , t0 )Wc1(t1 , t0 )(t1 , t0
)x0
4.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理 4.2.2 假设 A(t) 和 B(t) 都是 t
的连续函数矩阵，则系统
x A(t)x B(t)u, t J
在t0 时刻能控的充分必要条件是存在某
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能控性定义 4．状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0转移到 x(t1) x的1 控制作用 u(t),t [t0,t1]，则称状态 x是1 t0时刻能达的。若 x1 对所有时刻都是能达的，则称状态 为x1 完全能达或一致能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0能达的， 则称系统是 t时0 刻状态能达的，简称系统是时刻 能t0 达的。
rank Qc (t) rank B1(t) B2(t) ... Bn(t) n
则称时变系统在初始时刻 t0 上状态完全能控。
例4.4.1
x1 t 1 0 x1 0
x2
0
t
0
x2
1
u
x3 0 0 t2 x3 1
0
M0 (t) B(t) 1
1
1
M1
(t)
A(t
x1(和t) x时2 (，t) 可得如下状态方程：
x1
1 RC1
x1
1 RC1
u
由上述状态方程可知，状态变量x2 (t)
的值，即电桥中电容 C2 的电压，是 自由衰减的，并不受输入的控制。
x2
1 RC2
x2
因此，该电压的值不能在有限时间内 衰减至零，即该状态变量是不能由输 入变量控制到原点。具有这种特性的
在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是 Gram矩阵
WC(t0,t1)
t1 t0
(t0
,
)B(
)
BT
(
)T
(t0
,
)d
非奇异。式中 (t,t0 ) 为时变系统状态转移矩阵。
二、能控性判据 若对初始时刻 t0 ，在时间 t1 ( t1 t0 )，使得线性时变连续系统
(A(t), B(t)) 的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)中的各元素在
x1 x2
是否具有状态能控性和输出能控性。
B
AB
1 2
2
4
秩为1，所以系统是状 态不能控的。
CB CAB 1 2 0
秩为1，等于输出变 量的个数，因此系统 是输出能控的。
4.2.5 线性时变连续系统的状态能控性
一、格拉姆矩阵判据
线性时变系统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
系统为完全能控的充要条件是，对矩阵 的A 所有特征值
均成
i (i 1, , n),
立
rank i I A, B n ， i 1, , n
或等价地
rank sI A, B n, s C
也即 (sI A) 和 B 是左互质的。
判据
，
格拉姆矩阵 判据
表4-1 能控性判据对比表
判定方法
特点
的各行函数线性独立
【例4－8】 试判断如下系统的输出能控性
x
0 0
0 1 0 x 1 u
y [1 1]x [0]u
解： 由输出能控性的代数判据有
rank[CB CAB D] rank[2 0 0] 1 m
故系统输出完全能控。
例 判断系统
x1 x2
4
2
1 3
x1 x2
1 2
u
y 1
0
u
y 1
1 R2
x1
x2
1 R2
u
Qc B
1
AB
L1
1
R2C1
R1 L1L1
(
1 R2C1
)2
1 R1 R2C1 L1
时，
Qc 满秩，系统能控，否则不能控。
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
能控性定义 1．状态能控
对线性时变系统，如果对取定初始时刻
零初始状态 x0，存在一个时刻 t1 Td，
tt10tT，0 d的和一一个个非无
约束的的容许控制 u(t)，t t0, t1 ，使状态由 x0 转移
到 时 x(t1) 0 ，则称此 x0在 t0 时刻是能控的。
能控性定义
2．系统能控
x2
0
1
0
x2
0
x3 0
0
2 x3 3
2
0 0
u1 u2
x1 2 1
0
x2
0
2 1
0 x1 4
x2
2
x3
0
x4
0
2
5
1
x3 x4
1 3
u
x5 0
0
5 x5 0
四、PBH 判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu, x(0) x0,t 0
需要求矩阵指数函数并判定函数 相关，计算复杂
秩判据
满秩
1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些 变量(特征值/极点)能控
约当标准形 判据
约当标准形中同一特征值对 1.易于分析状态空间中哪些变量
应的B矩阵分块的最后一行 (特征值/极点)能控。
线性无关
2.缺点为需变换成约当标准形
PBH 判据
1.易于分析哪些特征值(极点)能 控。 2.缺点为需求系统的特征值
4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系
4.1 引言
线性系统的能控性(controllability)
加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从 任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有 通过控制作用随意支配状态的能力。
线性系统的能观测性(observability) 通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统 的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估 计状态的能力。
1
0
Ab
1
a1
1
A2b
a1
a2 a12
故
0 0
1
rankQc rank b Ab A2b rank 0 1
a1
3
n
1 a1 a2 a12
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 a1,a2
取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。
【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出上的电压 uc1为状态变量，分析系统 的能控性。
对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在
t时0 刻为能控的，则称系统在时刻 t是0 状态完全能控的， 简称系统在时刻 t能0 控。如果系统对于任意的 t0 Td
均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻 t0 Td
的选取无关），则称系统是一致能控的。
能控性定义
3．系统不完全能控
取定初始时刻 t0 Td ，如果状态空间中存在 一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全能控的，简称系统不能控。
解：由电路理论知识可知，若图4-1所示的
电桥系统是平衡的(例)，电容 C的2 电压 是x2不(t) 能通过输入电压 改变u(t的) ，即状态变量
是不x2能(t)控的，则系统是不完全能控的。
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压x1(t和) x2 (可t) 以通过输入电压 u控(t)制，则系统是能控的。 由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量
y (t1 )，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。
二、输出能控性判据
线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵
Qm = CB CAB CAn-1B D的 秩等于输出向量的维数m，即
rankQm rank CB CAB CAn-1B D m
4.2.4 线性定常连续系统的输出能控性
一、输出能控性定义 设线性定常连续系统
x = Ax + Bu
y
=
Cx
+
Du
式中， x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。
若存在一个无约束的容许控制 u(t，)在有限的时间间隔 [ t0 , t1 ]
内，能将任一初始输出 y(t0转) 移到任一指定的期望的最终输出
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
【例4－5】 下列系统是状态能控的：
x1
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 5
u
x1 1 1
0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
x3 0
0
2 x3 3
x1 2 1
0
0
x1 0
x2
0
2 1
x2
0
x3
x4
0
0
2 5 1
x3 x4
3 0
x5 0
0
5 x5 2
1
0
0 0
u1 u2
1
下列系统是状态不能控的：
x1
x2
1 0
0 2
x1 x2
2 0
u
x1 1 1
0 x1 4
系统称为状态不能控的。
4.2.2 状态能控性的定义
考虑线性时变系统的状态方程 x A(t)x(t) Bu(t) x(t0 ) x0 t Td y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
其中，x为 n维状态向量， 为u 维r输入向量，
为时T间d 定义区间， 分别A为, B 和 n n
n 的r 元为 的t 连续函数的矩阵。