福建高考文科数学试卷与答案word版
福建省普通高考数学(文科)试题【附答案】
福建省XX年普通高考数学（文科）试题【附答案】福建省xx年普通高考数学文科试题是什么?大家都知道了吗?下面为大家带来的福建省xx年普通高考数学(文科)试题，欢送阅读。
数学(理工类)第I卷(选择题共50分)一、选择题：此题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、假设集合 ( 是虚数单位)，，那么等于A. B. C. D.2、以下函数为奇函数的是A. B. C. D.3、假设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，那么等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入 (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归本线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、假设变量满足约束条件那么的最小值等于A. B. C. D.26、阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，那么输出的结果为A.2B.1C.0D.7、假设是两条不同的直线，垂直于平面，那么“ ”是“ ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8、假设是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么的值等于A.6B.7C.8D.99、，假设点是所在平面内一点，且，那么的最大值等于A.13B.15C.19D.2110、假设定义在上的函数满足，其导函数满足，那么以下结论中一定错误的选项是A. B. C. D.第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11、的展开式中，的系数等于 .(用数字作答)12、假设锐角的面积为，且，那么等于 .13、如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，假设在矩形内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于 .14、假设函数 ( 且 )的值域是，那么实数的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)某种二元码的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为： .现一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定等于 .16.某银行规定，一张银行卡假设在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进展尝试.假设密码正确，那么完毕尝试;否那么继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF平面ADE(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18. 椭圆E：过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度.(1)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程;(2)关于的方程在内有两个不同的解1)求实数m的取值范围;2)证明：20.函数，(1)证明：当;(2)证明：当时，存在,使得对(3)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有.21.此题设有三个选考题，请考生任选2题作答.选修4-2：矩阵与变换矩阵(1)求A的逆矩阵;(2)求矩阵C，使得AC=B.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的间隔等于2，求m的值.选修4-5：不等式选讲函数的最小值为4.(1)求的值;(2)求的最小值为.数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题：本大题考查根底知识和根本运算，每题5分，总分值50分。
高考福建文科数学试题及答案word解析版
高考福建文科数学试题及答案word 分析版2015 年一般高等学校招生全国一致考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求．（ 1）【 2015 年福建，文 1，5 分】若 1 i2 3iabi （ a,b R ，i 是虚数单位），则 a,b 的值分别等于 （）（ A ） 3,-2 （B ） 3,2（C ） 3,-3（D ） -1,4【答案】 A【分析】由已知得3 2i a bi ，故 a 3 ， b 2，应选 A ．（ 2）【 2015 年福建，文 2， 5 分】若会合 Mx 2x 2 ， N0,1,2 ，则 M IN 等于（）（A ） 0（B ） 1（ C ） 0,1,2（D ） 0,1【答案】 D【分析】由交集定义得 M I N 0,1 ，应选 D ．（ 3）【 2015 年福建，文 3， 5 分】以下函数为奇函数的是（）（ A ） yx（ B ） y e x（ C ） y cosx（ D ） ye x e x【答案】 D【分析】 函数 y x 和 ye x 是非奇非偶函数； y cosx 是偶函数； y e xe x 是奇函数， 应选 D ．（ 4）【 2015 年福建，文 4， 5 分】阅读如下图的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为 1，则输出 y 的值为（）（A ）2（ B ）7（ C ）8（D ） 128【答案】 Cx2，则 f 1【分析】该程序表示分段函数y2x 9 18 ，应选 C ．9 xx2（ 5）【 2015 年福建，文 5， 5 分】若直线xy 1 a 0,b0 过点 1,1 ，则 a b 的最小值等于（）ab（D ） 5（A ）2（B ） 3（C ）4【答案】 C【分析】由已知得111 ，则 aba b11 2b a ，所以 a 0,b 0 ，所以 ba b a 2，故ab aba b aba bab 4 ，当ba，即 a b2 时取等号，应选 C ．ab（ 6）【 2015 年福建，文 6， 5 分】若 sin5，且为第四象限角，则tan 的值等于（）13（A ） 12（B ）12（C ）5（ D ）5 【答案】 D55 1212【分析】由 sin5 ，且 为第四象限角，则 cos 1 sin212，则 tansin5 ，应选 D ．13 r1,2 rr r r 13 r r cos 12（ 7）【 2015 年福建，文 7， 5 分】设 a， b 1,1 ， c a kb ．若 bc ，则实数 k 的值等于（）（ A ）3 （B ） 5（C ）5（D ）3【答案】 A233 2rrr r r1,2k 1,1k 1,k0 ，所以 k 1 k 2 0，解得 k3 ，【分析】由已知得 c2 ，由于 bc ，则 b c应选 A ．2（ 8）【2015 年福建，文 8，5 分】如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为 1,0 ．且点 C高考福建文科数学试题及答案word 分析版与点 D 在函数 fx 1x 0ABCD 内随机取一点，则该点取自x1x 1 x0 的图像上．若在矩形2暗影部分的概率等于（ ）（A ） 1（B ）1（C ）3（D ）16482【答案】 B【分析】由已知得 B 1,0 ，C 1,2 ，D2,2 ，F 0,1 ，则矩形 ABCD 面积为 3 2 6 ，暗影部分面积为13 1 3 ，3221故该点取自暗影部分的概率等于26 应选 B ．4（ 9）【 2015 年福建，文 9， 5 分】某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积等于（）（A ）8 2 2 （B ）11 2 2 （C ）14 2 2 （D ） 15【答案】 C【分析】由三视图复原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰长为 1，斜腰为2 ．底面积为 21 33 ，侧面积为则其表面2积为2242 2 82 2 ，所以该几何体的表面积为11 2 2 ，应选 C ．3xy2（ 10）【 2015 年福建， 文 10，5 分】变量 x, y 知足拘束条件 x 2 y2 0 ，若 z 2 xy 的1Bmx yCx–4 –3 –2 –1O最大值为 2，则实数 m 等于（）1234–1（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）2–2【答案】 C–3【分析】 将目标函数变形为y 2x z ，当 z 取最大值， 则直线纵截距最小， 故当 m 0 时，不知足题意； –4当 m 02 2 m ．明显 O 0,02 2m 时，画出可行域， 如下图， 此中 B 1 , 不是最优解， 故只好 B ,1 2m 2m 12m 1 2m 是最优解，代入目标函数得 4 2m 1（ 11）【 2015 年福建，文 11， 5 分】已知椭圆 2m 2m 1 2xE : 22 ，解得 m 1，应选 C ． y 2 2 1 a b 0 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ， b 直线 l :3 x4 y 0 交椭圆 E 于 A, B 两点．若 AF BF4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于4，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）5（A ） 0,3 （B ） 0,3（ C ）3,1（D ） 3,12424【答案】 A【分析】设左焦点为 F ，连结 AF 1 ，BF 1 ，则四边形 BF 1 AF 是平行四边形， 故 AF 1BF ，所以 AF 1 AF 4 2a ，所以 a2 ，设 M 0,b ，则4b4，故 b 1 ，进而 a 2c 2 1 ， 0 c 23 ， 0 c3 ，所以椭圆 E 的离5 5心率的取值范围是0,3，应选 A ．2（ 12）【 2015 年福建，文 12， 5 分】 “对随意x 0, ， ksin x cosx ”是“ 1”的（）2xk（ A ）充足而不用要条件 （B ）必需而不充足条件 （C ）充足必需条件 （ D ）既不充足也不用要条件【答案】B【分析】当k 1 ， k sin xcos xksin 2 x ，结构函数 f xksin 2 x x ，则 f xk cos2x 1 0 ．故 f x 在2 2x0,单一递加， 故 f x f2 20 ，则 k sin x cosxx ；当 k 1 时，不等式 k sin x cosx x 等2价于 1sin 2x x ，结构函数 g x1 sin 2x x ，则 g xcos2 x1 0 ，故 g x 在 x0,2 递加，故22g xg0 ，则 sin x cosx x ．综上所述， “对随意 x0,， k sin xcosxx ”是 “ 1 ”的2 2k2必需不充足条件，应选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应地点．（ 13）【 2015 年福建，文 13，5 分】某校高一年级有 900 名学生，此中女生 400 名，按男女比率用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 ．【答案】 25 【分析】由题意得抽样比率为45 1 ，故应抽取的男生人数为 500 1 25 ．900 20 20（ 14）【 2015 年福建，文 14， 5 分】若 ABC 中， AB 3 ， A 45 ， C 75 ，则 BC 等于 ．【答案】 2【分析】由题意得B 180AC 60 ．由正弦定理得AC BC，则BC AC sin B A，所以sin B sin Asin3 2BC22．32（ 15）【2015 年福建，文 15，5 分】若函数 fx2 x aa R 知足 f 1xf 1 x ，且 f x在 m,单一递增，则实数 m 的最小值等于 ．【答案】 1【分析】 由 f 1xf 1 x 得函数 f x 对于 x1对称，故 a1，则 f x2x 1fx在，由复合函数单一性得 1,递加，故 m 1，所以实数 m 的最小值等于 1．（ 16）【2015 年福建，文 16，5 分】若 a,b 是函数 f x x 2 px q p0, q 0的两个不一样的零点，且 a,b, 2 这三个数可适合排序后成等差数列，也可适合排序后成等比数列，则p q 的值等于．【答案】 9【分析】由韦达定理得a bp ， a b q ，则 a 0,b 0 ，当 a,b, 2 适合排序后成等比数列时， 2 必为等比中项，故 a bq 4 ， b4 ，当适合排序后成等差数列时，2 必不是等差中项，当 a 是等差中项时， 4a 4 ；当 4是等差中项时， 82a2 ，解得 a 1，b a 2 ，解得 a 4，b 1 ，综上所述， a b p 5 ，aa a所以 pq 9 ．三、解答题：本大题共6 题，共 74 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（ 17）【 2015 年福建，文 17， 12 分】等差数列 a n中， a 2 4 ， a 4a 715 ．（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）设 b n2a n2n ，求 b 1 b 2 b 3 L b 10 的值．解：（ 1）设等差数列 a n 的公差为 d ．由已知得 a 1 d 4，解得a 13a 1 3da 1 6d15 d．1所以 a na 1n 1 d n 2 ．（ 2）由（ 1）可得 b n2n n ．所以2 11021 10 10211 255 211 53 2101 ．122（ 18）【 2015 年福建，文 18， 12分】全网流传的交融指数是权衡电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据有关报导供给的全网流传2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”交融指数的数据，对名列前 20名的“省级卫视新闻台”的交融指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数12283743（ 1）现从交融指数在 4,5和 7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求起码有 1 家的交融指数在 7,8 的概率；（2）依据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的交融指数的均匀数．解：解法一：（ 1）交融指数在 7,8 内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；交融指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2．从交融指数在4,5和 7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的全部基本领件是：A1, A2，A1,A3， A2,A3， A1,B1， A1, B2， A2, B1， A2, B2， A3, B1， A3, B2， B1, B2，共 10 个．其中，起码有 1 家交融指数在7,8 内的基本领件是：A1, A2， A1, A3， A2, A3， A1, B1， A1, B2， A2,B1，A2, B2， A3 , B1， A3 , B2，共 9 个．所以所求的概率P9 ．210873（ 2）这 20 家“省级卫视新闻台”的交融指数均匀数等于．20202020解法二：（ 1）交融指数在 7,8 内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；交融指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2．从交融指数在4,5和 7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的全部基本领件是：A1, A2，A1,A3， A2,A3， A1,B1， A1, B2， A2, B1， A2, B2， A3, B1， A3, B2， B1, B2，共 10 个．其中，没有 1 家交融指数在7,8 内的基本领件是：B1,B2，共 1 个．所以所求的概率 P119 ．（ 2）同解法一．1010（ 19）【 2015 年福建，文 19， 12 分】已知点F为抛物线 E : y2 2 px p0的焦点，点 A 2, m在抛物线 E 上，且 AF 3 ．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点 G 1,0 ，延伸AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB 相切．解：解法一：（ 1）由抛物线的定义得AF2p．由于 AF3，即2p3，解得 p 2 ，所以抛物线 E 的方程为y222 4x．（ 2）由于点 A 2,m在抛物线 E : y2 2 px 上，所以m22 ，由抛物线的对称性，不如设A2,2 2．由A2,2 2 ， F1,0 可得直线AF的方程为 y22x1．由y 2 2x 1，得 2x25x20 ，y2 4 x解得 x 2或 x 1，进而B 1 , 2 ．又G1,0，所以 k GA 2 2022，k GB2022 ，222131132所以 k GA k GB0 ，进而AGF BGF ，这表示点 F 到直线 GA ， GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB 相切．解法二：（ 1）同解法一．（ 2）设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r ．由于点 A 2, m 在抛物线 E : y24x 上，所以m 2 2 ，由抛物线的对称性，不如设 A 2,22．由 A2,22， F 1,0 可得直线AF的方程为y 2 2 x1．由y2 2 x 1，得 2x25x20 ，解得x 2 或x1，进而B 1 ,2．又G 1,0 ，y24x22故直线 GA 的方程为2 2 x 3 y220 ，进而 r 2222 4 2．8917又直线 GB 的方程为2 2 x 3 y 220 ，所以点F到直线GB的距离 r 222242r ．8917这表示以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．（ 20）【 2015 年福建，文 20，12 分】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A, B的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO OB 1 ．（ 1）若D为线段AC的中点，求证AC平面 PDO ；（ 2）求三棱锥P ABC 体积的最大值；（ 3）若BC 2 ，点 E 在线段 PB 上，求 CE OE 的最小值．解：解法一：（ 1）在AOC 中，由于 OA OC ， D 为 AC 的中点，所以AC OD ．又 PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 PO AC ．由于 DO I PO O ，所以 AC平面 PDO ．（ 2）由于点C在圆O上，所以当CO AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为1．又 AB2，所以ABC 面积的最大值为1211 ．又由于三棱锥P ABC 的高 PO1，2故三棱锥 P ABC 体积的最大值为111 1 ．33（ 3）在POB 中， PO OB 1，POB90，所以 PB1212 2 ．同理PC 2 ，所以 PB PC BC ．在三棱锥 P ABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC P ，使之与平面 ABP 共面，如下图．当O， E， C 共线时， CE OE 获得最小值．又由于 OP OB， CP CB，所以OC 垂直均分 PB ，即 E 为 PB 中点．进而OC OE EC2626，亦即 CE OE 的最小值为2 6 ．2222解法二：（ 1）（2）同解法一．（ 3）在POB 中， PO OB1，POB90，所以OPB45， PB12122．同理 PC 2 ．所以 PB PC BC ，所以CPB60 ．在三棱锥P ABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC P ，使之与平面 ABP 共面，如下图．当O，E，C共线时， CE OE 获得最小值．所以在OCP中，由余弦定理得： OC 212 2 12cos 4560122221232 3 ．2222进而 OC2326．所以 CE OE 的最小值为226 ．2（ 21）【 2015 年福建，文21， 12 分】已知函数f x103sin xcosx10cos2x ．（ 1）求函数 f x222的最小正周期；（ 2）将函数 f x的图象向右平移个单位长度，再向下平移 a （a 0）个单位长度后获得函数g x 的6图象，且函数g x的最大值为2．（i ）求函数 g x 的分析式；（ii ）证明：存在无量多个互不同样的正整数解：（ 1） f x 10x x 2 x3sin x 3sin cos10cos5222所以函数 f x 的最小正周期T 2．x0，使得g x00．5cos x 5 10sin x56（ 2）（ i ）将 f x 的图象向右平移个单位长度后获得y10sin x 5 的图象，再向下平移a （ a 0 ）个单62，所以 10 5a 2 ，解位长度后获得 g x 10sin x 5 a 的图象．又已知函数g x 的最大值为 得 a 13 ．所以 gx 10sin x8 ．（ii ）要证明存在无量多个互不同样的正整数 x 0 ，使得 g x 00 ，就是要证明存在无量多个互不同样的 正整数 x 0 ，使得 10sin x 0 8 0 ，即 sin x 04．由 4 3 知，存在 0，使得 sin 04 ．5 5235由正弦函数的性质可知，当x0 ,时，均有 sin x4．由于 y sin x 的周期为 2 ，5所以当 x2k0 ,2 k0kZ 时，均有 sin x 4 ．5由于对随意的整数k ， 2k2k2 01 ，3所以对随意的正整数k ，都存在正整数x k2k0 ,2 k 0，使得 sin x k4 ．5亦即存在无量多个互不同样的正整数x 0 ，使得 gx 00 ．x2（ 22）【 2015 年福建，文 22， 14 分】已知函数 f x1ln x．2（ 1）求函数 f x 的单一递加区间； （ 2）证明：当 x 1时， f x x 1 ；（ 3）确立实数 k 的全部可能取值，使得存在解：（ 1） f x1x 1x2x 1， x0,xx故 f x 的单一递加区间是0,15 ．2x 0 1 ，当 x 1,x 0 时，恒有 fx k x 1 ． ．由 f xx 0 解得 0 x 15 ．0 得x 1x 22（2）令 F xfxx1 ， x0,．则有 F 1 x 2．当 x 1, 时， Fx0，所以 Fx 在xx1, 上单一递减，故当 x 1 时， F xF 10 ，即当 x 1 时， f xx 1 ．（ 3）由（ 2）知，当 k1 时，不存在 x 0 1知足题意．当 k 1 时，对于 x 1 ，有 f xx 1 k x 1 ，则 f xk x 1 ，进而不存在 x 01 知足题意．当 k1 时，令 G xf x kx 1 ， x0,，则有 G x 11 k x2 1k x1xx．x1 k241 k24由 G x0 得，21 k x1 0 ．解得 x 11 k ， x2 1 k 1．x22当 x1,x 2 时， G x 0 ，故 G x 在 1,x 2 内单一递加．进而当 x 1,x 2 时， G x G 10 ，即 f xk x1 ，综上， k 的取值范围是,1 ．。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解
2011福建文本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。
满分150分。
注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的标准差 s =． 其中x 为样本平均数．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于（ ）．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【解】{}0,1M N =∩．故选A ． 2．i 是虚数单位31i +等于（ ）.A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【解】31i 1i +=-．故选D ．3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ．4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题附答案(福建卷).doc
年高考数学福建卷文科一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）"tan 1"α=是""4πα=的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（5）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（6）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+方 （B ）(1)1xy x x =≠-（C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠（7）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B （C （D （8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 （9）已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2019年福建省高考文科数学试卷及答案【word版】
2019年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（） .2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.0,.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈+∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）()()()()...32.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） .80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4A OM B OMC OMD OM 11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是（ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2019年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y=-的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <。
高考数学文(福建卷)WORD解析版
一．选择题1．复数z 1 2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【答案】 C【分析】此题考察的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．2．设点P( x, y)，则“x2且y 1 ”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】此题考察的知识点是逻辑中充要条件的判断．由于(2,1) 点代入直线方程，切合方x 2且 y 1 ”可推出“点P在直线 l : x y 1 0 上”；而点P在直线上，不必定程，即“就是 (2,1) 点，即“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”推不出“x 2且 y 1 ”．故“x 2且y1”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的充足而不用要条件．3．若会合A {1,2,3}, B {1,3,4} ，则A B的子集个数为（）A ． 2B ． 3 C． 4 D．16【答案】 C【分析】此题考察的是会合的交集和子集．由于 A B {1,3} ，有2个元素，因此子集个数为 22 4 个．4．双曲线x2 y2 1的极点到其渐近线的距离等于（）A ．1B．2C． 1 D ． 2 2 2【答案】 B【分析】此题考察的是双曲线的性质．由于双曲线的两个极点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个极点为(1,0) ，取一条渐近线为y x ，因此点 (1,0) 到直线 y x 的距离为2．25．函数 f ( x) ln( x21) 的图象大概是（）A ．B ．C．D．【答案】 A【分析】此题考察的是对数函数的图象．由函数分析式可知 f ( x) f ( x) ，即函数为偶函数，清除 C；由函数过(0,0) 点，清除 B,D ．x y 26．若变量x, y知足拘束条件x 1 ，则 z 2x y 的最大值和最小值分别为（）y 0A．4和 3 B．4和2 C．3和 2 D．2和0【答案】 B【分析】此题考察的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．y2O 1 2 x7．若2x 2 y 1，则 x y 的取值范围是（）A ．[0,2] B．[ 2,0] C．[ 2, ) D ．( , 2]【答案】 D【分析】此题考察的是均值不等式．由于 1 2 x 2y 2 2 x 2 y，即2x y 22，因此x y 2 ，当且仅当2x 2 y，即x y时取等号．8 ．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数n 后，输出的S (10,20) ，那么 n 的值为（）A．3B．4C． 5D． 6【答案】 B【分析】此题考察的是程序框图．循环前：S 1, k 2 ；第 1 次判断后循环：S 3,k 3 ；第 2 次判断后循环：S 7, k 4 ；第3次判断后循环：S 15,k 5 ．故 n 4 ．9．将函数f ( x) sin(2x )(2 2) 的图象向右平移( 0) 个单位长度后获得函数 g (x) 的图象，若 f ( x), g( x) 的图象都经过点 P(0, 3) ，则的值能够是（）25 5C．D．A ．B．3 6 2 6【答案】 B【分析】此题考察的三角函数的图像的平移．把P(0, 3) 代入2f ( x) sin( 2x )(2)，解得，所以 g( x) sin( 2x 2 ) ，把2 3 3P( 0, 3) 代入得，k 或k ，察看选项，应选 B 2 610．在四边形ABCD中，AC (1,2), BD ( 4,2) ，则该四边形的面积为（）A ． 5 B．2 5 C． 5 D． 10【答案】 C【分析】此题考察的是向量垂直的判断以及向量的模长．由于ACBD 1(4) 22 0，因此AC BC，因此四边形的面积为|AC| |BD| 12 22 ( 4)2 222 25，应选C11．已知x与y之间的几组数据以下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4? a假定依据上表数据所得线性回归直线方程为y bx? ?．若某同学依据上表中前两组数据(1,0) 和 ( 2,2) 求得的直线方程为y b x a ，则以下结论正确的选项是（）A ．?? B．?? C．? ? D ．??b b , a a b b ,a a b b , a a b b , a a【答案】 C【分析】此题考察的是线性回归方程．画出散点图，可大概的画出两条直线（以下列图），由?两条直线的相对地点关系可判断 b b , a? a ．应选 Cy4321O123456x12．设函数 f ( x) 的定义域为R ， x0 ( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论必定正确的选项是（）A ．x R, f (x) f (x0 ) B．x0是f ( x)的极小值点C．x0是 f ( x)的极小值点D．x0是 f ( x) 的极小值点【答案】 D【分析】此题考察的是函数的极值．函数的极值不是最值， A 错误；由于 f ( x) 和 f (x) 关于原点对称，故x0是 f ( x) 的极小值点，D正确．二．填空题2x3 , x 013．已知函数 f ( x)tan x,0，则 f ( f ( )) x 42【答案】 2【分析】此题考察的是分段函数求值． f ( f ( )) f ( tan ) f ( 1) 2( 1)3 2 ．4 414．利用计算机产生0 ~ 1之间的均匀随机数 a ，则事件“3a 10 ”发生的概率为【答案】131，因此 P11 ． 【分析】此题考察的是几何概型求概率．3a 1 0 ，即 a331 3:x 2y 215．椭圆22 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，焦距为 2c ．若直线 与ab椭圆 的一个交点 M 知足 MF 1 F 2 2 MF 2F 1 ，则该椭圆的离心率等于【答案】3 1【分析】此题考察的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，MF 1F 2中，MF 1 2 MF 2 2 F 1 F 22(2c) 2MF 1 F 2 60 , MF 2 F 1 30 , F 1MF 290 ，因此有 MF 1 MF 2 2a，MF 23MF 1整理得 ec 3 1，故答案为3 1．a16．设 S,T 是 R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y f ( x) 知足；（ i ） T { f ( x) | x S} ；（ ii ）对随意 x , x2S ，当 xx 时，恒有 f (x )f (x ) ．11212那么称这两个会合 “保序同构 ”．现给出以下 3 对会合： ① A N , BN * ；② A { x | 1 x 3}, B { x | 8 x 10} ；③ A { x | 0x1}, BR ．此中， “保序同构 ”的会合对的序号是 （写出全部 “保序同构 ”的会合对的序号）【答案】①②③【分析】此题考察的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 yf ( x) 为单一递加函数． 对于会合对①，可取函数 f (x) 2x( x N ) ，是 “保序同构 ”；对于会合对②，可取函数y 9 x 7 ( 1 x 3) ，是 “保序同构 ”；对于会合对2 2 ③，可取函数 ytan( x)(0 x 1) ，是 “保序同构 ”．故答案为①②③．2三．解答题17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 { a n } 的公差 d 1 ，前 n 项和为 S n ．（1）若1, a1, a3成等比数列，求a1；（2）若S5a1a9，求a1的取值范围．本小题主要考察等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想、化归与转变思想．满分12 分．解：（ 1）由于数列{ a n}的公差d 1，且1,a1, a3成等比数列，因此 a12 1 (a1 2) ，即 a 2 a 2 0 ，解得 11或a1 2．1 1 a（ 2）由于数列{ a n} 的公差 d 1，且S5 a1a9，因此5a1 10 a12 8a1；即 a12 3a1 10 0 ，解得 5 a1 218．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 面ABCD ，AB / /DC，AB AD，BC 5， DC 3，AD 4 ，PAD 60o．uuurABCD 的正视图.（要求标出（1）当正视图方向与向量AD的方向同样时，画出四棱锥P尺寸，并画出演算过程）；（2）若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC；（3）求三棱锥D PBC 的体积．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的地点关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考察空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考察数形联合能力、化归与转变思想，满分 12 分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点 C 作 CE AB ，垂足为由已知得，四边形ADCE 为矩形， AE CD 3E ，在 Rt BEC 中，由 BC 5， CE 4 ,依勾股定理得：BE 3，进而 AB 6又由 PD平面ABCD得，PD AD进而在 Rt PDA 中，由 AD 4 ，PAD 60 ,得PD 4 3正视图如右图所示：（Ⅱ）取 PB 中点 N ，连接 MN ， CN在 PAB中， M 是 PA中点，∴ MN PAB，MN 1 AB3 ，又CD PAB , CD 3 2∴ MN PCD，MN CD∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴又 DM平面PBC，CN平面DM PCN PBC∴DM P平面 PBC（Ⅲ）V D PBC VP1DBC S DBC PD3又 s PBC 6 ， PD 4 3 ，因此 V D PBC 8 3解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取 AB 的中点 E ，连接 ME , DE在梯形 ABCD 中， BE PCD ，且 BE CD∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE PBC ，又 DE 平面 PBC ， BC 平面 PBC∴ DE P平面 PBC ，又在 PAB中， ME PPBME 平面 PBC , PB 平面 PBC∴ ME P平面 PBC .又DE I ME E ,∴平面 DME P平面 PBC ，又 DM 平面 DME∴平面PBCDM P（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分 12 分）某工厂有25 周岁以上（含25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪相关．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25周岁以上（含25 周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100) 分别加以统计，获得如图所示的频次散布直方图．（1）从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的频次．（2）规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成 2 2 的列联表，并判断能否有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”？附表：本小题主要考察古典概型、抽样方法、独立性查验等基础知识，考察运算求解能力、应意图识，考察必定和或然思想、化归与转变思想等，满分12 分．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人40 名因此，样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有60 0.05 3（人），记为 A1， A2 ， A3；25周岁以下组工人有40 0.05 2 （人），记为B1 ， B2从中随机抽取 2 名工人，全部可能的结果共有10 种，他们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)， (A1,B2 )， ( A2, B1)， (A2,B2 ) ， (A3 ,B1) ， ( A3 ,B2) ， (B1,B2)此中，起码闻名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：(A1, B1) ， (A1, B2 ) ，7( A2, B1) ， (A2, B2 ) ， (A3, B1) ， (A3, B2) ， (B1,B2) .故所求的概率：P10（Ⅱ）由频次散布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“周岁以上组”中的生产好手2560 0.25 15（人），“25 周岁以下组”中的生产好手 40 0.375 15（人），据此可得 2 2 列联表以下：生产好手非生产好手共计25 周岁以上组15 45 6025 周岁以下组15 25 40共计30 70 100因此得： K 2 n(ad bc)2 100 (15 25 15 45)2 25 1.79(a b)(c d )( a c)(b d ) 60 40 30 70 14由于 1.79 2.706 ，因此没有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”20（．本小题满分12 分）如图，在抛物线E : y2 4x 的焦点为 F ，准线l与 x 轴的交点为 A ．点C 在抛物线 E 上，以C为圆心OC为半径作圆，设圆C与准线l的交于不一样的两点M,N．（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若AF 2AM AN ，求圆C的半径．本小题主要考察抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的地点关系等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线y 24x 的准线l的方程为x1，由点 C 的纵坐标为2，得点 C 的坐标为(1,2)因此点 C 到准线 l 的距离 d 2，又|CO| 5 ．因此 |MN | 2 |CO |2 d 2 2542.（Ⅱ）设y 2C 的方程为( xy2 2( y y0 ) 2y 4 2，C( 0 , y0 ) ，则圆0 ) 0 y04 4 16即 x2 y02 x y2 2y0 y 0 .2由 x 1，得y2 2y0 y 1 y02 02设 M ( 1, y1 ) ， N ( 1, y2 ) ，则：4 y02 4(1 y02 ) 2y02 4 02y02y1 y2 12由|AF |2 | AM | | AN | ，得 | y1 y2 | 4y021 4 ，解得 y0 6 ，此时0因此2因此圆心 C 的坐标为( 3 , 6)或( 3 , 6)2 2进而 |CO |2 33 ，|CO| 33 ，即圆 C 的半径为334 2 221 12分）如图，在等腰直角三角形OPQ 中，OPQ 90o， OP 2 2 ，（本小题满分点M 在线段 PQ上．（1）若OM 3 ，求PM的长；（ 2）若点N在线段MQ上，且MON 30o，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出头积的最小值．本小题主要考察解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考察推理论证能力、抽象归纳能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分 12 分．解：（Ⅰ）在OMP 中， OPM 45 ， OM 5 ，OP 2 2 ，由余弦定理得， OM 2 OP2 MP 2 2 OP MP cos45 ，得 MP2 4MP 3 0 ，解得 MP 1或 MP 3 ．（Ⅱ）设POM ， 0 60 ，在 OMP 中，由正弦定理，得OM OP ，sin OPM sin OMP因此同理OM OP sin 45 ，sin 45ONOP sin45sin 75故S OMN 1 OM ON sin MON21 OP2 sin 2 454 sin 45 sin 751sin 45sin 45301sin 453sin 451cos 45221 3sin2451sin 45cos 452213 1 cos 90 21sin 9024413 3sin 21cos2444131sin 2 3042由于 060 ，30 2 30 150 ，因此当30 时，sin 2 30的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值．即2POM30 时， OMN 的面积的最小值为 8 4 3 ．22（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x1 aR ， e 为自然对数的底数） ．e x （ a（1）若曲线 yf (x) 在点 (1, f (1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（2）求函数 f (x) 的极值；（3）当 a1 的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f ( x) 没有公共点，求 k 的最大值．本小题主要考察函数与导数，函数的单一性、极值、零点等基础知识，考察推理论证能力、 运算求解能力， 考察函数与方程思想、 数形联合思想、 分类与整合思想、 化归与转变思想． 满 分14分．解：（Ⅰ）由 f x x 1a ，得 f x 1a ．exex又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线平行于 x 轴，得 f 1 0 ，即 1 a0 ，解得 a e．e（Ⅱ） f x 1 a，e x①当 a 0 时， f x 0 ， f x 为, 上的增函数，因此函数 f x 无极值．②当 a 0 时，令 f x 0 ，得e x a ，x ln a ．x ,ln a ，f x 0； x ln a, ， f x 0 ．因此 f x 在,ln a 上单一递减，在ln a, 上单一递加，故 f x 在 x ln a 处获得极小值，且极小值为 f ln a ln a ，无极大值．综上，当 a 0 时，函数 f x 无极小值；当 a 0 ， f x 在 x ln a 处获得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x1 1e x令g x f x kx 1 1 k x 1 ，e x则直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于方程 g x0 在R上没有实数解．假定 k 1，此时 g 0 1 0 ，g111，k 1 1e k 1又函数 g x 的图象连续不停，由零点存在定理，可知g x 0 在R上起码有一解，与“方程 g x 0 在R上没有实数解”矛盾，故 k 1 ．又 k 1时，g x 10 ，知方程g x 0 在R上没有实数解．x因此 k 的最大值为e 1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x 1 1．xe直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于对于 x 的方程kx 1 x 1 1 在 R 上没有实数解，即对于x 的方程：e xk11 x在 R 上没有实数解． ex①当 k1 时，方程（ * ）可化为 1，在 R 上没有实数解．e x②当 k1 时，方程（ * ）化为1 xe x．k 1令 g x xe x ，则有 g x 1 x e x ．令 gx0 ，得 x1 ，当 x 变化时， g x的变化状况以下表：x, 11g xg x]1e（ * ）1,Z当 x1时，g x min1时， gx 趋于，同时当 x 趋于，e进而 gx 的取值范围为1,．e因此当1 ,1时，方程（ * ）无实数解，k 1e解得 k 的取值范围是1 e,1 ．综上，得 k 的最大值为 1．。
2021年高考真题——数学文(福建卷)word解析版
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．2．若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f =-=，故选C ．考点：程序框图． 5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式． 6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyOBCDAF【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．151112【答案】B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1212332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+221122+B ．考点：三视图和表面积．10．变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ． 考点：线性规划．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：导数的应用．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 【答案】25 【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=． 考点：分层抽样．14．若ABC ∆中，3AC ，045A =，075C =，则BC =_______．2【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以232232BC ⨯==．考点：正弦定理． 15．若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n n b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05． 解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值． 19．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-． 由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，所以()G 22022213k A -==--，()G 20221312k B --==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+． 又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =， 所以22112PB =+=． 同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ， 所以C 'O 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而C C 222''O =OE +E =+=亦即C E +OE 解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，PB =C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122222=+--⎭2=从而C 'O ==所以C E +OE 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 21．（本题满分12分）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x <<故()f x 的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：导数的综合应用．。
招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕 第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
{}13A x x =≤≤，{}2B x x =>，那么A B 等于A.{}23x x <≤ B.{}1x x ≥ C.{}23x x ≤< D.{}2x x > 2012sin 22.5-的结果等于A.12B.22C.33D.323.假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图，那么其侧面积．．．等于 A.3 B.2 C.234.i 是虚数单位，411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最小值等于A.2B.3 C6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.5223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，的零点个数为A.3B.2C.1D.0(,3)()a x x R =∈，那么“4x =〞是“||5a =〞的9.假设某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，那么这组数据的中位数和平均数分别是()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位.假设所得图象与原图象重合，那么ω的值不．可能．．等于 A.4 B.6 CO 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP FP ⋅的最大值为A.2B.3 C|||S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①假设1m =，那么|1|S =；②假设12m =-，那么114l ≤≤；③假设12l =，那么202m -≤≤.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 假设双曲线2221(0)4x y b b -=>的渐近线方程式为12y x =±，那么ｂ等于 .14. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.假设第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，那么n 等于 .15. 对于平面上的点集Ω，假如连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，那么称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下〔阴影区域及其边界〕：其中为凸集的是 〔写出所有凸集相应图形的序号〕16. 观察以下等式：① cos 22cos 1αα=-;② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+;③ 642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-;④ 8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+;⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-. 可以推测，m – n + p = .三、解答题 ：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明；证明过程或者演算步骤.17. 〔本小题满分是12分 〕 数列{n a } 中1a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭〔n ∈*N 〕. ( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ； 〔II 〕假设S 1, t ( S 1+ S 2 ), 3( S 2+ S 3 ) 成等差数列，务实数t 的值.18.〔本小题满分是12分〕设平顶向量m a ＝〔 m , 1〕, n b = ( 2 , n )，其中 m ，n ∈{1,2,3,4}.〔I 〕请列出有序数组〔 m ，n 〕的所有可能结果；〔II 〕记“使得m a ⊥〔m a -n b 〕成立的〔 m ，n 〕〞为事件A ，求事件A 发生的概率.19.〔本小题满分是12分〕抛物线C ：22(0)y px p =>过点A 〔1 , -2〕.〔I 〕求抛物线C 的方程，并求其准线方程；〔II 〕是否存在平行于OA 〔O 为坐标原点〕的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公一共点，且直线OA 与l 的间隔 55？假设存在，求直线l 的方程；假设不存在，说明理由. 20. 〔本小题满分是12分〕如图，在长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1, D 1C 1上的点〔点E 与B 1不重合〕，且EH//A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1, CC 1相交，交点分别为F ，G.〔I 〕证明：AD//平面EFGH ；〔II 〕设122AB AA a ==.在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE – D 1DCGH 内的概率为p.当点E ，F 分别在棱A 1B 1, B 1B 上运动且满足EF a =时，求p 的最小值.21．(本小题满分是12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(Ⅰ)假设希望相遇时小艇的航行间隔 最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定v 的取值范围；假设不存在，请说明理由.22.〔本小题满分是14分〕函数321()3f x x x ax b =-++的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-.(Ⅰ)务实数a,b 的值； (Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[)2,+∞上的增函数. 〔i 〕务实数m 的最大值；(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线假设能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，那么这两个封闭图形的面积总相等?假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题考察根底知识和根本运算．每一小题5分，满分是60分．1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考察根底知识和根本运算．每一小题4分，满分是16分．13．1 14．60 15．②③ 16．962三、解答题：本大题一一共6小题；一共74分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．本小题主要考察数列、等差数列、等比数列等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想、化归与转化思想．满分是12分．18．本小题主要考察概率、平面向量等根底知识，考察运算求解才能、应用意识，考察化归与转化思想、必然与或者然思想．满分是12分．解：(Ⅰ)有序数组(,)m n 的所有可能结果为：〔1,1〕，〔1,2〕，〔1,3〕，〔1,4〕，〔2,1〕，〔2,2〕，〔2,3〕，〔2,4〕，〔3,1〕，〔3,2〕，〔3,3〕，〔3,4〕，〔4,1〕，〔4,2〕，〔4,3〕，〔4,4〕，一共16个．(Ⅱ)由()m m n a a b ⊥-得221m m n o -+-=，即2(1)n m =-．由于,m n ∈｛1,2,3,4｝，故事件A 包含的根本条件为〔2,1〕和〔3,4〕，一共2个．又根本领件的总数为16，故所求的概率21()168P A ==．19．本小题主要考察直线、抛物线等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分是12分.所以符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=.20．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等根底知识，考察空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或者然思想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 复数2
)2(i +等于（ ）
A ．i 43+
B ．i 45+
C ．i 23+
D ．i 25+ 2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=M ，下列结论成立的是（ ）
A ．M N ⊆
B ．M N M =Y
C ．N N M =I
D ．}2{=N M I 3. 已知向量)2,1(-=→
x a ，)1,2(=→
b ，则→
→⊥b a 的充要条件是（ ）
A ．2
1
-
=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱
5.已知双曲线15
2
22=-
y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．
31414 B ．324 C ．32 D ．43
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ） A ．3- B ．10- C ．0 D ．2-
7.直线023=-+
y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）
A ．25
B ．23
C ．3
D ．1 8.函数)4
sin()(π
-
=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）
A ．4
π
=
x B ．2
π
=
x
C ．4
π
-=x D ．2
π
-
=x
9.设⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0
,10,00
,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．π=x
10.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为( )
A ．1-
B ．1
C ．
2
3
D
．2 11.数列}{n a 的通项公式2
cos π
n n a n =，其前n 项和为n S ，则2012S 等于（ ）
A ．1006
B ．2012
C ．503
D ．0
12.已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(2
3
，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f 。
其中正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13.在ABC ∆中，已知060=∠BAC ，0
45=∠ABC ，3=
BC ，则=AC _______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。
按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于x 的不等式022
>+-a ax x 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。
例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中，8,1411===b b a ，}{n a 的前10项和5510=S 。
（Ⅰ）求n a 和n b ；
（Ⅱ）现分别从}{n a 和}{n b 的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
18.（本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I ）求回归直线方程a bx y +=∧
，其中-
∧
-=-=x b y a b ,20
（II ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是4
元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本）
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AA AD AB ，M 为棱1DD 上的一点。
（I ）求三棱锥1MCC A -的体积；
（II ）当MC M A +1取得最小值时，求证：⊥M B 1⊥平面MAC 。
20.（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）0
0020217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）0
0020215cos 15sin 15cos 15sin -+； （3）0
0020212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）0
2
2
48cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）0
2
2
55cos )25sin(55cos )25(sin --+-。
（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
21.（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线)
0(2:2
>=p py x E 上。
（I ）求抛物线E 的方程；
（II ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1-=y 相交于点Q 。
证明以PQ 为直
径的圆恒过y 轴上某定点。
22.（本小题满分14分）
已知函数3()sin (),2
f x ax x a R =-
∈且在]2,0[π
上的最大值为
3
2
π-。
（I ）求函数)(x f 的解析式；
（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的零点个数，并加以证明。