2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷含答案

2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1.已知2{*|30}A x N x x =∈-+，12{|log 0}B x x =，则AB =( )A. [3，)+∞B. [0，1]C. [1，3]D. {1，2，3}2.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11164.函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A. B.C. D..5.已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 大小关系是( )A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<6.直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A. 3B. 2C.D. 17.关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②④8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =±9.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. 1(,1)2B. 1(2，2)C. (1,2)-D. (1,3)-二、填空题（每小题5分，共25分）10.若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11.二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13.已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__. 14.在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅的值为__.的三、解答题（共50分）15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B值；（2）求cos(2)6A π+的值.16.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区 （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆. （1）求椭圆C 的离心率；的.的（2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20.设函数21(),()x ef x ax a lnxg x x e=--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. A8. D9. C二、填空题（每小题5分，共25分）10.【答案】1- 11.【答案】 12.【答案】32π13.【答案】 (1). (2). 14.【答案】三、解答题（共50分）15. （1）由1cos 4A =-，∴可得sin A =8a =，2b c -=，1cos 4A =-，∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=，可得：sin B =.（2）27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==∴71cos(2)cos2cos sin 2sin ()(66682A A A πππ+=-=-⨯16.（1）B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是1123113()()228P C =⋅⋅=.（2）B 一定被感染，∴主要考虑C 和D 的感染情况，∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，111(1)(1)(1)233P X ==-⨯-=，11111(2)(1)(1)23232P X ==⨯-+-⨯=，111(3)236P X ==⨯=， X ∴的分布列为∴数学期望11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=.17. （1）证明：四边形EDCF矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (1BE =-，2-，2)，(0AB =，2，0)，由22020m BE x y z m AB y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z =，得(2m =，0，1)，又(1DF =-，2，2)，∴0DF m =，∴DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）(0D ，0，0)，(0DE =，0，2)，(1DF =-，2，2)，(1BE =-，2-，2)，(2BF =-，0，2)， 设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ，则220220n BE a b c n BF a c ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a =，得(1n =，12，1)，设平面DEF 的法向量(p m =，n ，)t ， 则20220p DE t p DF m n t ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n =，得(2p =，1，0)，设二面角B EF D --的平面角为θ，则5||2cos ||||954n p n p θ⋅===⋅ ∴二面角B EF D --的正弦值2sin3θ=.（3）假设在线段BE 上存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 设1(P x ，1y ，1)z ，BP BE λ=，则1(1x -，12y -，1)(1z λ=-，2-，2)， 解得11x λ=-，122y λ=-，12z λ=，(1P λ∴-，22λ-，2)λ， 平面BEF 的法向量(1n =，12，1)，(AP λ=-，22λ-，2)λ， 直线AP 与平面BEF∴||||||9n AP n AP ⋅==⋅，解得29λ=或23λ=， 3BE =，23BP ∴=或2BP =.18.（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，APF ∆的面积最大，此时有1()2APFS b a c ∆=-=，即)b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，得2a c =或a c =（舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12. （2）由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=，解得x c =-或137c ， 当x c =-时，32y c =；当137x c =时，9014cy =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -， 又//OB AQ ，(,0)A a ，OBAQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----，2m ∴=，点(4,2)B -. 圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=3|(4)2|2c ----=，解得24c =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.19.（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =，4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q 或4q =-（舍去），12b =，故2n n b =.（2）222222222222111()(1)(1)(21)(21)32121n n n n n n n n n b c b b +++===------- 故222221*********()()3315156321213321n nn n S ++=-+-+⋯+-=----. （3）1(1)2nn n n a b n a n++=， 故(1)22231222(1)212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+；（4）222111111(12)21412(21)2424221412n n nn n n nnnniiiii i i i i i i i a d i i ======+--=+-=+-=+---∑∑∑∑∑∑， 即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. 20.（1）2()f x ax a lnx =--，(0,)x∈+∞.2121()2ax f x ax x x-'=-=. 当0a 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，由()f x '=∴函数()f x 在x ∈上单调递减，)+∞上单调递增.综上可得：当0a 时，函数()f x (0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在x ∈上单调递减，，)+∞上单调递增. （2）证明：当1x >时，要证明：函数()g x 无零点.即可证明：()0>g x ，即证明xe e x>.令()xe h x x=，(1,)x ∈+∞.2(1)()0x e x h x x -'=>，∴函数()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，()h x h ∴>（1）e =.∴当1x >时，()0>g x ，因此当1x >时，函数()g x 无零点.（3）解：()()f x g x >化为：2110xax a lnx e x----+>. 令211()xu x ax a lnx e x-=---+，(1,)x ∈+∞.可得0a >. u （1）0=，1122111()220x x x u x ax e ax e xxx---∴'=-+-=+-在(1,)x ∈+∞恒成立.令121()2xx v x ax e x --=+-， 11233122()22xx x v x a e a e x x x ---'=+-+=++， 当2x 时，()0v x '>. 令32()x x x ϕ-=，426()x x x ϕ-+'=. 函数()x ϕ在[1，2)上单调递增. ()v x ∴的最小值为v （1）21a =-. 10x e ->.12x ∴<<时，()0v x '>.综上可得：1x >时，()0v x '>.()v x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. ()u x u ∴'>'（1）0，即()u x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.210a ∴-，解得12a. （4）变化①：12a时，证明()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立. 变化②：()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围.。